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冀教版数学八（下）第二十一章 四边形 单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是度，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．如图，在 ABCD中， ∠D=5∠CAB，在AC上取点P，使PC=BC，连接BP，过点 P作EF⊥CD交AB， CD分别于点E， F.已知BE=2， AE=x， BP=y，当x， y发生变化时，下列代数式值不变的是(　　)
A．x+y B．x-y C．xy D．
3．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
5．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点、分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为4，则菱形的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
7．如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（　　）
A．2 B． C． D．3
8．下列命题中：
①对角线垂直且相等的四边形是正方形；
②对角线互相垂直平分的四边形为菱形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相等．
是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在矩形ABCD中，AB═3，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于点E，MF∥OD交AD于点F，若ME=MF，则EF的值为（　　)。
A．3 B． C． D．4
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O， AE平分∠CAD交CD于点E，若AE=BD，则∠CAD=（　　)
A．22.5° B．30° C．36° D．37.5°
11．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是BC和CD的中点，NP⊥AB于点P，连结MP。若∠DAB=40°，则∠MPB的度数为（　　)。
A．125° B．120° C．115° D．110°
12．如图，在正方形中，，F是对角线的中点，点G、E分别在、边上运动，且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，下列结论：
①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；
④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为8，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①③④ D．③④⑤
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为　 　．
14．如图，在四边形中，，连接，点E，F分别是的中点，，则　 　．
15．如图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为1，现将它剪拼成一个“天平”造型放入一个矩形框架中（如图2），天平的上下两侧以及左右两侧均与框架重合，则该矩形框架的周长为　 　．
16．如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少．
（1）求这个多边形的边数．
（2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
18．如图，已知的周长为，为钝角，由点D向分别引垂线，垂足分别为点E，F，且，，求的面积．
19．如图，E，F是的对角线AC上的两点，且。
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形。
（2）若，求四边形ABCD的面积。
20．如图，在中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使，连接CE、AF.
证明：.
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．
22．已知：如图，在四边形中，与不平行，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当与满足条件 时，四边形是菱形；
当与满足条件 时，四边形是矩形．
23．如图，点E在梯形ABCD的边BC上，∠B=∠C=90°，CD=CE=1，AE=2，AD=．
（1）求∠AEC的度数．
（2）求梯形ABCD的面积．
24．北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）.
如图，△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？
我们需利用图形的旋转与图形全等，并把特殊角度一般化.
（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE.求证：BD=CE.
（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别在CB、DC的延长线上，连接AE、AF、EF，当∠EAF=45°，BE=1时，求△AEF的面积.
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=90°，AD=CD，，，请求BC的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意得，（n－2） 180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5＜n 2＜6，
∴ 7＜n＜8，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程，再根据 0°＜x＜180° 推出7＜n＜8，再根据n取整数即可求得.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设 则
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 中，
如图，在AE上取QE=BE=2，连接PQ，
∵EF⊥CD， AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴EF是QB的垂直平分线，
∴PQ=PB，
∴∠PQB=∠PBQ=2α，
∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α，
∴∠QPA=∠CAB=α，
∴AQ=QP=BP=y，
∵AE=x，
∴AE-AQ=QE=2，即x-y=2，
∴x， y发生变化时， x-y不变.
故答案为：B .
【分析】设再依次求出 ，由此想到在AE上取QE=BE=2，连接PQ，推出QA=QP=BP=y，进而可利用线段间的和差关系解决问题.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D选项正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABD=∠CDB；如果添加BE=FD，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加BF=DE，能推出BE=DF，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加∠1=∠2，可用“ASA”证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，由等角的补角相等推出∠AEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行推出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，据此即可逐一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A．
【分析】
先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD的长，再利用勾股定理可得AD的长，则CD可得，再根据等腰三角形三线合一可得AE平分BC，再利用三角形中位线定理即可．
5．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵EF⊥BD，
∴∠EOD=∠BOF=90°，
∴∠EDO=90°-∠DEO=30°，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，∠DEO=∠BFO=60°，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由邻补角求出∠DEO=60°，由直角三角形两锐角互余求出∠EDO=30°，由矩形性质得及AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及等边对等角得出，∠DEO=∠BFO=60°，由三角形外角性质求出∠FOC=30°，根据等角对等边得出OF=FC；根据含30°角直角三角形的性质求出OF=BF，在Rt△BOF中，利用勾股定理建立方程可求出OF的长，从而即可得出CF的长.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
如图所示，连接，过点作延长线于点，
当点重合，点重合时，是最大值，最大值为，当时，是最小值，最小值为，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴菱形的边长为，
故答案为：D ．
【分析】先根据菱形的性质得到，，连接，过点作延长线于点，当点重合，点重合时，是最大值，最大值为，当时，是最小值，最小值为，进而根据勾股定理求出AE，设，则，再根据勾股定理即可求出AB，从而即可求解。
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180° 150°）＝15°，∠OAF＝45° 15°＝30°，
∴AF＝2OF＝2，
∴OA＝ ＝＝，
∴AB＝OA＝，
故选：B．
【分析】
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理. 解题关键在于先结合正方形和等边三角形的性质，证明为等腰三角形，求出的度数，再推导，利用含角的直角三角形性质求AF，最后用勾股定理求OA，进而得到AB的长度.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题，不符合题意；
②对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故原命题是真命题，符合题意；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意；
④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线互相垂直，故原命题是假命题，不符合题意；
综上，真命题有1个，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的判定定理。菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，中点四边形的判定定理分别判断，即可求解.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 如图，连接AE，
∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD，
∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线，
∴AB=2ME，OD=2MF，
∵ME=MF，
∴AB=OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，OB=OD，
∴OD=OA=OB，
∴AB=AO=BO=3，
∴△ABO是等边三角形，BD=6，
∴AD=，
∵△ABO是等边三角形，点E是BO中点，
∴AE⊥BO，
又∵点F是AD的中点，
∴EF=，
故答案为：.
【分析】 由三角形中位线定理可得AB=2ME，OD=2MF，可得AB=OD，由矩形的性质可得OD=OA=OB=AB，可证△ABO是等边三角形，可得AE⊥BO，由直角三角形的性质可求EF的长.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，AE平分 交CD于点E，过点D作DF∥AE交BA延长线于点F，设
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形DFAE是平行四边形，
解得：
故选： C.
【分析】如图，过点D作 交BA延长线于点F，设 表示出然后表示出证明出四边形DFAE是平行四边形，得到 表示出 进而利用 求解即可.
11．【答案】D
【知识点】菱形的性质；等腰梯形的性质；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解： 如图，连接AC、BD交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠ADC=∠ABC=140°，
∴∠DBC=∠DBA=70°，∠CBP=40°，
∵DN=CN，CM=MB，
∴OM∥CD，MN∥BD，
∴四边形DNMO是平行四边形，
∴OM∥CD，MN=OD=OB，
∵PN⊥CD，
∴OM⊥PN，
∵PB∥OK∥DN，OD=OB，
∴NK=PK，
∴MN=PM，
∴PM=OB，
∴四边形OMPB的等腰梯形，
∴∠MPB=∠OBP=70°+40°=110°．
故答案为：D.
【分析】 如图，连接AC、BD交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K．求出∠OBP=110°，只要证明四边形OMPB是等腰梯形即可解决问题．
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵F是对角线的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故①正确；
∵，
∴当时，四边形是矩形，
∵，
∴此时四边形是正方形，
∴四边形可能为正方形，
故②错误；
作于点H，则，
∴，
∵，
∴当点G与点H重合时最小，此时最小，
∵，
∴的最小值为，
故③正确；
∵，
∴，
∴四边形的面积保持不变，
故④正确；
∵，
∴当时，，此时，
∴面积的最大值为8，
故⑤正确，
故选：B．
【分析】连接DF，可证明△FAG≌△FDE，得FG=FE，∠AFG=∠DFE， 则∠GFE=∠AFD=90°，所以△GFE是等腰直角三角形，可判断①正确；∠GFE=∠GDE=90°， FG=FE， 所以当∠FGD=90°时， 四边形DGFE是正方形，可判断②错误；作FH⊥AD于点H，则 当点G与点H重合时FG最小，此时GE最小，GE的最小值为，可判断③正确；由， S△FDE，得所以四边形DGFE的面积保持不变，可判断④正确；因为 所以当FG=FH=4时， 此时， 可判断⑤正确，于是得到问题的答案.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∵点向左平移个单位得到点，
∴点向左平移个单位得到点，
∴，即：；
故答案为：．
【分析】本题考查平行四边形的性质和平面直角坐标系中的平移规律，平行四边形的对边平行且相等，因此和的平移规律完全相同，先分析点到点的横坐标、纵坐标变化，再将点按照相反的平移规律移动，即可得到点的坐标。
14．【答案】4
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴；
故答案为：4．
【分析】
先由三角形中位线定理得EF等于AB的一半，再利用勾股定理求出AB即可．
15．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴矩形框架的周长为．
故答案为：．
【分析】
如图，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一知BC＝MN＝4，再由线段的和差关系求出的长即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：正方形
，
F为的中点，
设
，
在中，
即
解得
故，
在中
解得（负值舍去）
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，，根据线段中点可得BE，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，故，，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设这个多边形的边数是
由题意得，
解得，
答：这个多边形的边数是
（2）解：剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）设多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式、外角和是列方程并求解即可；
（2）由于截去一个角后所得的多边形边不确定，因此可分类讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
（1）解：设这个多边形的边数是
由题意得，
解得，
答：这个多边形的边数是；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或．
18．【答案】解：连接，
∵四边形是平行四边形，周长为，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质及面积计算。解题核心在于利用“平行四边形面积等于底乘以高”这一性质，通过连接对角线DB，将平行四边形面积转化为两个三角形面积之和，进而推导出AB DE = BCDF。结合周长条件AB + BC = 18cm，设未知数建立方程求解AB，最终计算平行四边形的面积。
19．【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
，
在和中，
四边形AFCE是平行四边形（证明方法不唯一）
（2）四边形AFCE是平行四边形，，
，
在中，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC求得∠ADE=∠CBF，根据全等三角形的性质得到AE=CF，∠AED=∠CFB，求得∠AEF=∠CFE，根据平行四边形的判定定理得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AE=4，根据勾股定理得到BE=6，根据平行四边形的面积公式即可得到结论.
20．【答案】证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴，，
，
∴，，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE∥AC，AC=2DE，由已知条件可知EF=2DE，则EF∥AC，EF=AC，推出四边形ACEF为平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论.
21．【答案】解：（1）由题意得：
令x=0时，则有y=4，
∴，
令y=0时，则有-2x+4=0，解得：x=2，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴，
∴，
∵CD⊥x轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形FEDC是矩形，理由如下：
由（1）可得：，OA=4，
∵点E，F分别是OB，AB的中点，
∴，EF∥OA，
∴，
∴四边形FEDC是平行四边形，
∵，
∴四边形FEDC是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据等腰直角三角形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得OD，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）由（1）可得：，OA=4，根据三角形中位线定理可得，EF∥OA，再根据矩形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）；．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）①∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
当时，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：；．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据三角形中位线定理可得，，再根据菱形判定定理即可求出答案.
②根据直线平行性质可得，，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）①∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
当时，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：；．
23．【答案】（1）解：连接，如图所示，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角△CDE中，有，
，，
，
是直角三角形，且，
．
（2）解：由（1），已知，
．
，
=45°，
．
在中，，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；直角梯形
【解析】【分析】本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理以及梯形面积的计算等知识。（1）连接DE之后，首先等腰直角三角形的性质求出∠DEC=45°，并结合勾股定理求出DE，最后利用勾股定理的逆定理求出∠AED=90°，即可求出∠AEC的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质可以求出AB和BE的长度，最后根据梯形的面积公式计算即可。
（1）解：如图，连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理，得．
，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
（2）由（1）得，
．
，
，
．
在中，，
，
，
．
24．【答案】（1）证明：
（2）解：将 绕点A逆时针旋转 得到 如图可得DG=BE=1，AE=AG，∠EAB=∠DAG，
∴∠EAG=90°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠GAF=45°，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=3，
∴CE=BC+BE=3+1=4，CG=DC-DG=3-1=2，
∴GF=2+CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，即42+CF2=(2+CF)2，
解得CF=3，
∴；
（3）解：过点D作DE⊥BD， 连接BE， CE， 过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，如图：
∵DE⊥DB， ∠ADC = 90°，
∴∠BDE =∠ADC = 90°，
∵∠CDE+∠BDC =∠BDE， ∠ADB+∠BD
C=∠ADC，
∴∠CDE=∠ADB，
∵CD=AD， DE=BD，
∴△ABD≌△CED(SAS)，
，
∵∠ABD+∠CBD =∠ABC =60°，
∴∠CED+∠CBD=60°，
根据外角的性质可得∠BCE=∠BCG+∠ECG=∠C
=3，
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，证明△AGF≌△AEF得出GF=EF， 在Rt△ECF中，根据勾股定理求出CF的值，然后求出三角形的面积即可；
(3)过点D作DE⊥BD， 连接BE， CE， 过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，先证明△ABD≌△CED， 得出AB=CE， 然后求出BF和CF即可解答.
1 / 1冀教版数学八（下）第二十一章 四边形 单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是度，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意得，（n－2） 180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5＜n 2＜6，
∴ 7＜n＜8，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程，再根据 0°＜x＜180° 推出7＜n＜8，再根据n取整数即可求得.
2．如图，在 ABCD中， ∠D=5∠CAB，在AC上取点P，使PC=BC，连接BP，过点 P作EF⊥CD交AB， CD分别于点E， F.已知BE=2， AE=x， BP=y，当x， y发生变化时，下列代数式值不变的是(　　)
A．x+y B．x-y C．xy D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设 则
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 中，
如图，在AE上取QE=BE=2，连接PQ，
∵EF⊥CD， AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴EF是QB的垂直平分线，
∴PQ=PB，
∴∠PQB=∠PBQ=2α，
∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α，
∴∠QPA=∠CAB=α，
∴AQ=QP=BP=y，
∵AE=x，
∴AE-AQ=QE=2，即x-y=2，
∴x， y发生变化时， x-y不变.
故答案为：B .
【分析】设再依次求出 ，由此想到在AE上取QE=BE=2，连接PQ，推出QA=QP=BP=y，进而可利用线段间的和差关系解决问题.
3．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D选项正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABD=∠CDB；如果添加BE=FD，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加BF=DE，能推出BE=DF，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加∠1=∠2，可用“ASA”证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，由等角的补角相等推出∠AEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行推出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，据此即可逐一判断得出答案.
4．如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A．
【分析】
先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD的长，再利用勾股定理可得AD的长，则CD可得，再根据等腰三角形三线合一可得AE平分BC，再利用三角形中位线定理即可．
5．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵EF⊥BD，
∴∠EOD=∠BOF=90°，
∴∠EDO=90°-∠DEO=30°，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，∠DEO=∠BFO=60°，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由邻补角求出∠DEO=60°，由直角三角形两锐角互余求出∠EDO=30°，由矩形性质得及AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及等边对等角得出，∠DEO=∠BFO=60°，由三角形外角性质求出∠FOC=30°，根据等角对等边得出OF=FC；根据含30°角直角三角形的性质求出OF=BF，在Rt△BOF中，利用勾股定理建立方程可求出OF的长，从而即可得出CF的长.
6．如图，点、分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为4，则菱形的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
如图所示，连接，过点作延长线于点，
当点重合，点重合时，是最大值，最大值为，当时，是最小值，最小值为，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴菱形的边长为，
故答案为：D ．
【分析】先根据菱形的性质得到，，连接，过点作延长线于点，当点重合，点重合时，是最大值，最大值为，当时，是最小值，最小值为，进而根据勾股定理求出AE，设，则，再根据勾股定理即可求出AB，从而即可求解。
7．如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180° 150°）＝15°，∠OAF＝45° 15°＝30°，
∴AF＝2OF＝2，
∴OA＝ ＝＝，
∴AB＝OA＝，
故选：B．
【分析】
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理. 解题关键在于先结合正方形和等边三角形的性质，证明为等腰三角形，求出的度数，再推导，利用含角的直角三角形性质求AF，最后用勾股定理求OA，进而得到AB的长度.
8．下列命题中：
①对角线垂直且相等的四边形是正方形；
②对角线互相垂直平分的四边形为菱形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相等．
是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题，不符合题意；
②对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故原命题是真命题，符合题意；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意；
④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线互相垂直，故原命题是假命题，不符合题意；
综上，真命题有1个，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的判定定理。菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，中点四边形的判定定理分别判断，即可求解.
9．如图，在矩形ABCD中，AB═3，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于点E，MF∥OD交AD于点F，若ME=MF，则EF的值为（　　)。
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 如图，连接AE，
∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD，
∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线，
∴AB=2ME，OD=2MF，
∵ME=MF，
∴AB=OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，OB=OD，
∴OD=OA=OB，
∴AB=AO=BO=3，
∴△ABO是等边三角形，BD=6，
∴AD=，
∵△ABO是等边三角形，点E是BO中点，
∴AE⊥BO，
又∵点F是AD的中点，
∴EF=，
故答案为：.
【分析】 由三角形中位线定理可得AB=2ME，OD=2MF，可得AB=OD，由矩形的性质可得OD=OA=OB=AB，可证△ABO是等边三角形，可得AE⊥BO，由直角三角形的性质可求EF的长.
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O， AE平分∠CAD交CD于点E，若AE=BD，则∠CAD=（　　)
A．22.5° B．30° C．36° D．37.5°
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，AE平分 交CD于点E，过点D作DF∥AE交BA延长线于点F，设
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形DFAE是平行四边形，
解得：
故选： C.
【分析】如图，过点D作 交BA延长线于点F，设 表示出然后表示出证明出四边形DFAE是平行四边形，得到 表示出 进而利用 求解即可.
11．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是BC和CD的中点，NP⊥AB于点P，连结MP。若∠DAB=40°，则∠MPB的度数为（　　)。
A．125° B．120° C．115° D．110°
【答案】D
【知识点】菱形的性质；等腰梯形的性质；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解： 如图，连接AC、BD交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠ADC=∠ABC=140°，
∴∠DBC=∠DBA=70°，∠CBP=40°，
∵DN=CN，CM=MB，
∴OM∥CD，MN∥BD，
∴四边形DNMO是平行四边形，
∴OM∥CD，MN=OD=OB，
∵PN⊥CD，
∴OM⊥PN，
∵PB∥OK∥DN，OD=OB，
∴NK=PK，
∴MN=PM，
∴PM=OB，
∴四边形OMPB的等腰梯形，
∴∠MPB=∠OBP=70°+40°=110°．
故答案为：D.
【分析】 如图，连接AC、BD交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K．求出∠OBP=110°，只要证明四边形OMPB是等腰梯形即可解决问题．
12．如图，在正方形中，，F是对角线的中点，点G、E分别在、边上运动，且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，下列结论：
①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；
④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为8，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①③④ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵F是对角线的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故①正确；
∵，
∴当时，四边形是矩形，
∵，
∴此时四边形是正方形，
∴四边形可能为正方形，
故②错误；
作于点H，则，
∴，
∵，
∴当点G与点H重合时最小，此时最小，
∵，
∴的最小值为，
故③正确；
∵，
∴，
∴四边形的面积保持不变，
故④正确；
∵，
∴当时，，此时，
∴面积的最大值为8，
故⑤正确，
故选：B．
【分析】连接DF，可证明△FAG≌△FDE，得FG=FE，∠AFG=∠DFE， 则∠GFE=∠AFD=90°，所以△GFE是等腰直角三角形，可判断①正确；∠GFE=∠GDE=90°， FG=FE， 所以当∠FGD=90°时， 四边形DGFE是正方形，可判断②错误；作FH⊥AD于点H，则 当点G与点H重合时FG最小，此时GE最小，GE的最小值为，可判断③正确；由， S△FDE，得所以四边形DGFE的面积保持不变，可判断④正确；因为 所以当FG=FH=4时， 此时， 可判断⑤正确，于是得到问题的答案.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∵点向左平移个单位得到点，
∴点向左平移个单位得到点，
∴，即：；
故答案为：．
【分析】本题考查平行四边形的性质和平面直角坐标系中的平移规律，平行四边形的对边平行且相等，因此和的平移规律完全相同，先分析点到点的横坐标、纵坐标变化，再将点按照相反的平移规律移动，即可得到点的坐标。
14．如图，在四边形中，，连接，点E，F分别是的中点，，则　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴；
故答案为：4．
【分析】
先由三角形中位线定理得EF等于AB的一半，再利用勾股定理求出AB即可．
15．如图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为1，现将它剪拼成一个“天平”造型放入一个矩形框架中（如图2），天平的上下两侧以及左右两侧均与框架重合，则该矩形框架的周长为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴矩形框架的周长为．
故答案为：．
【分析】
如图，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一知BC＝MN＝4，再由线段的和差关系求出的长即可．
16．如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：正方形
，
F为的中点，
设
，
在中，
即
解得
故，
在中
解得（负值舍去）
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，，根据线段中点可得BE，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，故，，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少．
（1）求这个多边形的边数．
（2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
【答案】（1）解：设这个多边形的边数是
由题意得，
解得，
答：这个多边形的边数是
（2）解：剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）设多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式、外角和是列方程并求解即可；
（2）由于截去一个角后所得的多边形边不确定，因此可分类讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
（1）解：设这个多边形的边数是
由题意得，
解得，
答：这个多边形的边数是；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或．
18．如图，已知的周长为，为钝角，由点D向分别引垂线，垂足分别为点E，F，且，，求的面积．
【答案】解：连接，
∵四边形是平行四边形，周长为，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质及面积计算。解题核心在于利用“平行四边形面积等于底乘以高”这一性质，通过连接对角线DB，将平行四边形面积转化为两个三角形面积之和，进而推导出AB DE = BCDF。结合周长条件AB + BC = 18cm，设未知数建立方程求解AB，最终计算平行四边形的面积。
19．如图，E，F是的对角线AC上的两点，且。
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形。
（2）若，求四边形ABCD的面积。
【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
，
在和中，
四边形AFCE是平行四边形（证明方法不唯一）
（2）四边形AFCE是平行四边形，，
，
在中，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC求得∠ADE=∠CBF，根据全等三角形的性质得到AE=CF，∠AED=∠CFB，求得∠AEF=∠CFE，根据平行四边形的判定定理得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AE=4，根据勾股定理得到BE=6，根据平行四边形的面积公式即可得到结论.
20．如图，在中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使，连接CE、AF.
证明：.
【答案】证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴，，
，
∴，，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE∥AC，AC=2DE，由已知条件可知EF=2DE，则EF∥AC，EF=AC，推出四边形ACEF为平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论.
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）由题意得：
令x=0时，则有y=4，
∴，
令y=0时，则有-2x+4=0，解得：x=2，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴，
∴，
∵CD⊥x轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形FEDC是矩形，理由如下：
由（1）可得：，OA=4，
∵点E，F分别是OB，AB的中点，
∴，EF∥OA，
∴，
∴四边形FEDC是平行四边形，
∵，
∴四边形FEDC是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据等腰直角三角形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得OD，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）由（1）可得：，OA=4，根据三角形中位线定理可得，EF∥OA，再根据矩形判定定理即可求出答案.
22．已知：如图，在四边形中，与不平行，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当与满足条件 时，四边形是菱形；
当与满足条件 时，四边形是矩形．
【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）；．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）①∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
当时，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：；．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据三角形中位线定理可得，，再根据菱形判定定理即可求出答案.
②根据直线平行性质可得，，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）①∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
当时，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：；．
23．如图，点E在梯形ABCD的边BC上，∠B=∠C=90°，CD=CE=1，AE=2，AD=．
（1）求∠AEC的度数．
（2）求梯形ABCD的面积．
【答案】（1）解：连接，如图所示，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角△CDE中，有，
，，
，
是直角三角形，且，
．
（2）解：由（1），已知，
．
，
=45°，
．
在中，，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；直角梯形
【解析】【分析】本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理以及梯形面积的计算等知识。（1）连接DE之后，首先等腰直角三角形的性质求出∠DEC=45°，并结合勾股定理求出DE，最后利用勾股定理的逆定理求出∠AED=90°，即可求出∠AEC的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质可以求出AB和BE的长度，最后根据梯形的面积公式计算即可。
（1）解：如图，连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理，得．
，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
（2）由（1）得，
．
，
，
．
在中，，
，
，
．
24．北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）.
如图，△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？
我们需利用图形的旋转与图形全等，并把特殊角度一般化.
（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE.求证：BD=CE.
（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别在CB、DC的延长线上，连接AE、AF、EF，当∠EAF=45°，BE=1时，求△AEF的面积.
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=90°，AD=CD，，，请求BC的长.
【答案】（1）证明：
（2）解：将 绕点A逆时针旋转 得到 如图可得DG=BE=1，AE=AG，∠EAB=∠DAG，
∴∠EAG=90°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠GAF=45°，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=3，
∴CE=BC+BE=3+1=4，CG=DC-DG=3-1=2，
∴GF=2+CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，即42+CF2=(2+CF)2，
解得CF=3，
∴；
（3）解：过点D作DE⊥BD， 连接BE， CE， 过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，如图：
∵DE⊥DB， ∠ADC = 90°，
∴∠BDE =∠ADC = 90°，
∵∠CDE+∠BDC =∠BDE， ∠ADB+∠BD
C=∠ADC，
∴∠CDE=∠ADB，
∵CD=AD， DE=BD，
∴△ABD≌△CED(SAS)，
，
∵∠ABD+∠CBD =∠ABC =60°，
∴∠CED+∠CBD=60°，
根据外角的性质可得∠BCE=∠BCG+∠ECG=∠C
=3，
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，证明△AGF≌△AEF得出GF=EF， 在Rt△ECF中，根据勾股定理求出CF的值，然后求出三角形的面积即可；
(3)过点D作DE⊥BD， 连接BE， CE， 过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，先证明△ABD≌△CED， 得出AB=CE， 然后求出BF和CF即可解答.
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