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冀教版数学八（下）第二十一章 四边形 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点P作于M，于N，
∵平分，
∴，．
∴．
∴此时，是等边三角形．
当M向方向移动，N向方向移动，且．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
∴当M向方向移动，N向方向移动，
∴是等边三角形．
同理：当M向方向移动，N向方向移动．
综上：满足条件的有无数个．
故选：D．
【分析】过点P作于M，于N，根据角平分线性质可得，根据四边形内角和可得∠MPN，根据等边三角形判定定理可得等边三角形，分情况讨论：当M向方向移动，N向方向移动，且，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边三角形判定定理即可求出答案；当M向方向移动，N向方向移动，根据等边三角形判定定理即可求出答案；同理：当M向方向移动，N向方向移动，即可求出答案.
2．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：过点作于点，于点， 如图所示：
∵点是的平分线上的一点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；故①正确；
，
，即，
∵点是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，
∴四边形的面积是一个定值，故②正确；
如图，当时，点O与点F重合，
，
，
，
∴一定与不平行， 故③错误．
故选： C．
【分析】过点作于点，于点，根据角平分线性质可得，根据四边形内角和定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可判断①，再根据割补法，结合三角形面积可判断②；当时，点O与点F重合，根据直线平行性质可得，再根据直线平行判定定理可判断③.
3．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题中作图可知：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用作图痕迹及角平分线的定义可得，再利用平行四边形的性质及等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得.
4．如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴， 即
∵，四边形是平行四边形，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
A选项，，值随着改变；
B选项，，值随着改变；
C选项，，值随着改变；
D选项，，值不变；
故答案为：D．
【分析】本题先利用平行四边形的判断证明出四边形是平行四边形，然后分别利用勾股定理求出，，最后代入四个选项判断即可．
5．在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH//BD，，
同理可得：FH//AC
，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴
故答案为：.
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH//BD，，FH//AC，，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可.
6．如图，在矩形纸片中，点为上一点，关于折叠得到，点落于线段上；为上一点，关于折叠得到，点落于线段上，连接．设的面积为，的面积为，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由折叠可得：△ADE≌△AFE，△BFM≌△NFM.
∴NF=BF，MN=MB，DE=EF，AF=AD.
∵EF=c，CE=b，
∴DE=EF=c，DC=DE+EC=b+c.
∵四边形ABCD是矩形，CF=a，设BF=x，
∴AB=CD=b+c，AD=BC=x+a，∠D=∠B=90°，
∴，AF=AD=x+a.
∴AN=AF－NF=a.
在Rt△ABF中，AB=b+c，BF=x，AF=x+a，
∴，
∴.
设BM=y，则AM=AB－BM=b+c－y.
在Rt△AMN中
，
.
∴
在中，
，
，，
，
.
.
A、，不是定值，故选项A不符合题意；
B、，是定值，故选项B符合题意；
C、，不是定值，故选项C不符合题意；
D、，不是定值，故选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由折叠得NF=BF，MN=MB，DE=EF，AF=AD.于是可得DE=EF=c，DC=b+c.设BF=x，根据矩形的性质可得AB=CD=b+c，AD=BC=x+a，∠D=∠B=90°，于是可表示出和AF以及AN的长.
在Rt△ABF中利用勾股定理，可表示出x；设BM=y，在Rt△AMN中利用勾股定理，可表示出y；于是可表示出，在Rt△EFC中利用勾股定理，可得a，b，c的关系，继而可对和进行化简，最后再对四个选项逐一计算并判断，即可得到结论.
7．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，.然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CF、CA、AF，
∵点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，
∴CF过点Q，CA过点P，
∴点Q是CF的中点，点P是CA的中点，
∴PQ是△CAF的中位线，
∴PQ=AF，
在矩形框架ABCD中，AB=5，AD=8，
∴矩形ABCD的面积为5×8=40，BC=AD=8，∠ABC=90°，
由题意得，BC=EF，CE=BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴∠BHF=∠AHF=90°，
∵扭动后四边形面积减少了8，
∴四边形BCEF的面积为40-8=32，
∴8BH=32，
∴BH=4，
∴AH=AB-BH=5-4=1，
∵BF=CE=AB=5，
∴由勾股定理得，FH===3，
在Rt△AHF中，由勾股定理得，AF===，
∴PQ=AF=，
故答案为：A.
【分析】连接CF、CA、AF，先证PQ是△CAF的中位线，得出PQ=AF，再证四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形BCEF的面积，即可求出BH的长，进一步求出AH、FH的长，根据勾股定理即可求出AF的长，从而求出PQ的长.
8．如图，在菱形ABCD中，，，BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，Q在线段Q1Q2（不包括Q2）上，如图，
∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AB=AD，OB=OD，∵ ∠BAD=60°，∴ △ABD为等边三角形，∴ OB=BD=，
∵ 四边形OBQ为平行四边形，
∴ OB=PQ=BQ2，
∴ DQ2=，
当DQ'⊥Q1Q2时，此时DQ'最小，
∵∠Q'DQ2=30°，
∴ Q'Q2=，
∴ DQ'=
故答案为：C.
【分析】先根据题意确定Q的运动轨迹，再根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质可推出DQ2=，根据垂线段最短可知DQ'最小，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得DQ'的值即可.
9．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BM=3FM；④=1：14.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC.
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC.
∴FO=FC，
∴FB垂直平分OC；
∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
易知△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴ ∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF=DF，故①正确；
∴BE=DF
又∵BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵DE=DF
∴四边形DEBF是菱形，故②正确；
易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF.
∴S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=
∵∠FCO=30°，
∴，
∴FM=3BM，故③正确；
∴S△FOM：S△BOM=1：3
∴S△FOM：S△BCM=1：6
∴△FOM：S△ABC=1：12
∴△FOM：S矩形ABCDM=1：24，故④错误。
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质可得 OB=OC，再根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形，则OB=BC，根据垂直平分线判定定理可得FB垂直平分OC，再根据等边三角形性质可得BO⊥EF，BF⊥OC，根据全等三角形判定定理可得△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，则∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，再根据角之间的关系可得∠CDE=∠DFE，再根据等腰三角形性质可判断①；再根据菱形判定定理可判断②；根据全等三角形性质可得S△AOE=S△COF，再根据三角形面积之间的关系可得S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，则FM=3BM，可判断③；再根据三角形面积之间的关系可判断④.
10．如图，正方形ABCD中，点E、H、G、F分别为AB、BC、CD、AD边上的点，点K、M、N为对角线BD上的点，四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分别表示为和，给出下面三个结论：①；②；③.上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABD=∠CBD=45°
∵四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形
∴∠BHM=∠CHM=90°，∠BKE=∠NKE=90°
∴△BEK和△BMH都为等腰直角三角形
∴
同理可得DN=NF=KN
∴
∴
∴，①错误
易知△AEF和△DFN都是等腰直角三角形
∴
∵四边形EKNF是正方形
∴FN=EF
∴DF=2AF，②正确
由①知，
∴，③正确
故答案为：C
【分析】根据正方形性质可得∠ABD=∠CBD=45°，∠BHM=∠CHM=90°，∠BKE=∠NKE=90°，根据等腰直角三角形判定定理可得△BEK和△BMH都为等腰直角三角形，则，同理可得DN=NF=KN，根据边之间的关系可得，再根据正方形面积可判断①；根据等腰直角三角形性质可得，再根据正方形性质可得FN=EF，则DF=2AF，可判断②；再根据面积之间的关系可判断③.
11．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】将绕点逆时针旋转至，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质可知：，，，
∴，
∴点三点共线，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
12．如图，在正方形中，对角线、交于点，延长到，连结，过点作，分别交、于点、，连结，则下面哪个图形的面积与的面积相等（　　）
A．四边形 B． C．四边形 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是正方形，所以DC=BC，∠DCB= ∠ BCG=90°，AC⊥BD， OC=OB，
由于DF⊥BG，所以∠DFG=90°，则∠CDH+∠DGC 90°，又因为∠GBC +∠DGC =90°，根据同角的余角相等，可得∠CDH=∠GBC，
在△DCH和△BCG中：
根据“ASA”(两角及其夹边对应相等)可判定△DCH≌△BCG，所以S△ DCH=S△ BCG，且CH=CG，
同理，可证明△DCE≌△BCH，则S△ DCE=S△ BCH，
由此可以得出：S△DEG=S△DGC-S△EGC，S△DGC=S△DCH+S△CHG，S△BCG =S△BCH+S△CHG .
又因为S△DCH=S△BCG，S△DCE =S△ BCH，
经过转化可得S△DEG=S△BCG. 故答案为：D
【分析】本题考查正方形的性质（包括边、角、对角线的性质 ）以及 全等三角形的判定与性质（ASA判定等 ），还有三角形面积的转化与等量关系，利用正方形的特殊性质构造全等三角形，通过全等三角形面积相等，对△DEG的面积进行转化，从而找到与之面积相等的图形.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，.分别以Rt△ABC的三边为边在AB 的同侧作三个正方形，顶点 H恰为DE的中点，若阴影部分(四边形KNCM)的面积为9，则正方形ABHK的面积为　 　.
【答案】45
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：45.
【分析】根据正方形的性质，利用HL得到，即可得到，进而可得，然后推理可得，即可得到，进而可得求出AC2，再根据勾股定理解答即可．
14．如图，分别以 Rt△ABC的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边三角形ACD、等边三角形 ABE，EF⊥AB 于点 F，连接 DF，当 　 　时，四边形ADFE 是平行四边形.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】当 时，四边形ADFE 是平行四边形.
因为
所以∠CAB=30°.
因为△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
所以 EF 为∠BEA 的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，
所以∠AEF=30°.
又因为∠BAC=30°，
所以∠AEF=∠BAC.
在△ABC 和△EAF 中，
所以△ABC≌△EAF.
因为∠BAC=30°，∠DAC=60°，
所以∠DAB=90°，即 DA⊥AB.
因为EF⊥AB，
所以AD∥EF.
因为△ABC≌△EAF，△ACD为等边三角形，
所以EF=AC=AD，
所以四边形ADFE是平行四边形.
故答案为：.
【分析】根据可得∠CAB=30°，然后根据等边三角形得到∠AEF=∠BAC，再根据AAS得到△ABC≌△EAF，即可得到DA⊥AB，进而得到AD∥EF，再根据等边三角形的性质得到EF=AC=AD，即可判断 ADFE 是平行四边形.
15．如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∵AB//CD，
∴四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，
∴，，
∴NG//MD.
∵、为的对角线，M为的中点，
∴为、的交点，
∴.
∵DG//MN，NG//MD，
∴四边形MNGD为平行四边形.
∴NG=DM=3.
∵MN//DG，
∴∠DGE=∠CNE.
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE.
又∵∠DEG=∠CEN，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，证明四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，得出，，证明为、的交点，可得.证明四边形MNGD为平行四边形，可得NG=DM=3.证明△DEG≌△CEN，可得，最后利用线段的和差即可求出结果．
16．如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，M是的中点，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，或 (舍去），
∴．
故答案为：2
【分析】
先由等腰三角形三线合一可得AM垂直BC，再由直角三角形两锐角互余可得 ，由等边对等角结合三角形外角性质可得，设，由平行四边形的性质可得，再利用证明，则，再利用勾股定理求出，则的长可得．
三、解答题（共8题，共72分）
17．已知，正方形ABCD，点E是边BC上任一点（与B，C不重合），连接AE，且F是AE的中点.
（1）如图1，当AB= 3，∠BAE= 30°时，
①连接DF，求DF2的值；
②过F作直线分别交AB，CD于G，H，且使GH=AE，求AG的长：
（2）如图2，过F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数.
【答案】（1）解： (1) ①如图， 过点F作交BC于Q， 交AD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABQP是矩形，
∵点F是AE的中点，
又
②如图， 过点B作BR∥GH， 交CD于R，
∵GH∥BR，AB∥CD，
∴四边形BRHG是平行四边形，
∴GH = BR， ∠BGH =∠BRH，
∵GH=AE，
∴BR=GH=AE，
又∵AB=BC，
∴ Rt△ABE≌Rt△BCR(HL)，
∴∠BAE=∠CBR=30°，
∴∠BRC = 60°= ∠AEB，
∴∠BRH = 120°= ∠BGH，
∴∠AGH=60°，
∴∠AFG=180°-60°-30°= 90°，
∵∠BAE=30°，
∴AG =2GF，
如图， 过点A作AR∥GH， 交CD于R， 过点G作G 于O，
同理可证：
∵AR∥GH，
综上所述：AG的长为或2；
（2）如图， 连接AO， 过点O作( 于点Q， OP '于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD =∠CBD=45°，
∵OQ⊥AB， OP⊥BC，
∴OQ=OP，
∵MN⊥AE， AF=EF，
∴AO=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵OA=OE，OQ=OP，
∴ Rt△AOQ=Rt△EOP(HL)，
∴∠OAQ=∠OEP，
∵∠BEA+∠AEO+∠OEP = 180°，
∴60°+∠AEO+∠OAE+30°= 180°，
∴∠AEO = 45°.
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)①由“ASA”可证 可得.PF= 可求AP的长，由勾股定理可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解；
(2)由角平分线的性质可得OQ=OP，由线段垂直平分线的性质可得.AO=OE，由“HL”可证 可得由平角的性质可求解.
18．如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P在直线上，且的面积为，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．
【答案】（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）①根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，设直线交轴于点，设，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，P坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②由（1）（2）知，，，，设点，根据平行四边形性质分情况讨论：以为对角线，、以为对角线，以为对角线，根据线段中点坐标公式建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
19．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
（1）当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
（2）当，求的最小值．
【答案】（1）解：①如图，
；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据勾股定理，结合边之间的关系可得，根据正方形性质可得，，再代入等式即可求出答案.
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，则，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
20．如图：在平面直角坐标系中， ，，，将绕点B顺时针旋转得．
（1）求直线解析式．
（2）点P是第一象限直线上一点，当时，求点P的坐标．
（3）在（2）的前提下，点N是直线上的点，点M是x轴上的点，当点B、P、M、N四点构成平行四边形时，请求出点M的横坐标．
【答案】（1）解：过E作轴于K，如图：
∵ ，，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为
（2）解：连接，如图：
设，
，
，
解得，
（3）解：设，，
由，，
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时的横坐标为；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
综上所述，的横坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过E作轴于K，利用点A、B、C的坐标可求出AB、OB的长，再利用旋转的性质可证得，，同时可求出BD的长，即可得到点D的坐标，利用AAS可证得△COB≌△BKE，利用全等三角形的性质可求出BK、EK的长，即可得到OK的长，由此可得到点E的坐标；利用待定系数法求出DE函数解析式.
（2）连接，设，，利用三角形的面积可求出四边形BOCP的面积，再根据，可得到关于p的方程，解方程求出p的值，即可得到点P的坐标.
（3）设，，分情况讨论：当，为对角线，则，的中点重合；当，为对角线；当，为对角线；分别求出点M的坐标.
（1）解：过E作轴于K，如图：
∵ ，，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为；
（2）连接，如图：
设，
，
，
，
，
解得，
；
（3）设，，
由，，
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时的横坐标为；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
综上所述，的横坐标为．
21．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到．
（1）求出a，b的值；
（2）如图1，若点D为中点，延长交于点F，求的长；
（3）如图2，若，点M为线段上的动点，求的最小值．
【答案】（1）解：，
，
解得：.
（2）解：由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为.
（3）解：过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）连接，设，则，，利用勾股定理可得，列出方程，最后求出x的值即可；
（3）过点M作于点N，连接，先证出为等边三角形，求出，利用勾股定理求出ON的长，再结合，可得的最小值为．
（1）解：，
，
解得：；
（2）由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为；
（3）过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
22．【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．
【数学思考】
如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由．
【深入探究】
如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连结交于点．
①若是的中点，，，求的长．
②过点作交于点，若，求证：是的中点．
【答案】解：[数学思考]是“倍线平行四边形”．理由：在中，，．
，
，
，
，
，
，
是“倍线平行四边形”．
[深入探究]
①是“倍线平行四边形”，
，
．
设，则．
，，
，
，
，
．
是的中点，且，
．
②证明：如图，过点作的延长线于点．
，
．
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
，．
又，
，
∴，
，，
，
，
是的中点
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题综合考查了平行四边形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题需灵活运用相关几何知识。
[数学思考] 由条件可得是菱形，已知，则对角线。运用勾股定理计算得，因此，满足的关系，故该平行四边形符合"倍线平行四边形"的定义。
[深入探究]
① 根据"倍线平行四边形"的性质可得，即。设，则，通过勾股定理解得。再利用勾股定理求，结合30°直角三角形的性质可得的值。
② 作辅助线延长线于点。先证四边形为平行四边形，得且。再证明两对全等三角形：和，最终得出的结论。
23．
（1）【基础巩固】如图1，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的线段分别交AD、BC于点E、F，求证：OE=OF.
（2）【尝试运用】如图2，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，分别交AD、BC于点E、F，连结OE、OF，试猜想OE、OF的数量关系，并证明你的猜想.
（3）【拓展提高】如图3，在矩形ABCD中，点M，N是对角线BD的三等分点，过点M作分别交AD、BC于点E、F，连结EN、FN，已知，，求线段MF的长.
【答案】（1）证明：∵ABCD是矩形，AC，BD是对角线，
∴，，
∴，，
（2）解：延长FO交AD于点H，
由（1）得，即O是FH的中点.
∵，
∴是直角三角形，
∴
（3）解：过点N作于点P，
∵M，N是对角线BD的三等分点，
∴点N是BM的中点，点M是ND的中点，
∴，
∴，
设，则，解得：，
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，通过证明后得到对应边与相等；
（2）延长FO交AD于点H，由（1）得到，然后通过证明是直角三角形，即可利用直角三角形斜边中线的性质得到；
（3）结合（2）的结论以及线段三等分条件，得到，设，则MF=2x，运用勾股定理，通过等量关系建立关于x的方程，求解后乘以2即为MF的长.
24．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，试求的值．
（1）小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到（1）解决（如图②），并写出推理和计算过程．
（2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数．
【答案】（1）解：
四边形是平行四边形，
（2）解：连接．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，将求 转化为求BF的值，最后利用勾股定理即可求解；
（2） 连接， 由平行四边形的性质和矩形的性质求得．． 进而求证 四边形是平行四边形． 再根据平行四边形的性质得到，结合， 证明是等边三角形，从而得到，最后由平行线的性质即可求解.
1 / 1冀教版数学八（下）第二十一章 四边形 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
5．在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．如图，在矩形纸片中，点为上一点，关于折叠得到，点落于线段上；为上一点，关于折叠得到，点落于线段上，连接．设的面积为，的面积为，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，.然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
8．如图，在菱形ABCD中，，，BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．
9．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BM=3FM；④=1：14.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形ABCD中，点E、H、G、F分别为AB、BC、CD、AD边上的点，点K、M、N为对角线BD上的点，四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分别表示为和，给出下面三个结论：①；②；③.上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
11．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形中，对角线、交于点，延长到，连结，过点作，分别交、于点、，连结，则下面哪个图形的面积与的面积相等（　　）
A．四边形 B． C．四边形 D．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，.分别以Rt△ABC的三边为边在AB 的同侧作三个正方形，顶点 H恰为DE的中点，若阴影部分(四边形KNCM)的面积为9，则正方形ABHK的面积为　 　.
14．如图，分别以 Rt△ABC的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边三角形ACD、等边三角形 ABE，EF⊥AB 于点 F，连接 DF，当 　 　时，四边形ADFE 是平行四边形.
15．如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为　 　．
16．如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．已知，正方形ABCD，点E是边BC上任一点（与B，C不重合），连接AE，且F是AE的中点.
（1）如图1，当AB= 3，∠BAE= 30°时，
①连接DF，求DF2的值；
②过F作直线分别交AB，CD于G，H，且使GH=AE，求AG的长：
（2）如图2，过F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数.
18．如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P在直线上，且的面积为，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．
19．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
（1）当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
（2）当，求的最小值．
20．如图：在平面直角坐标系中， ，，，将绕点B顺时针旋转得．
（1）求直线解析式．
（2）点P是第一象限直线上一点，当时，求点P的坐标．
（3）在（2）的前提下，点N是直线上的点，点M是x轴上的点，当点B、P、M、N四点构成平行四边形时，请求出点M的横坐标．
21．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到．
（1）求出a，b的值；
（2）如图1，若点D为中点，延长交于点F，求的长；
（3）如图2，若，点M为线段上的动点，求的最小值．
22．【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．
【数学思考】
如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由．
【深入探究】
如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连结交于点．
①若是的中点，，，求的长．
②过点作交于点，若，求证：是的中点．
23．
（1）【基础巩固】如图1，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的线段分别交AD、BC于点E、F，求证：OE=OF.
（2）【尝试运用】如图2，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，分别交AD、BC于点E、F，连结OE、OF，试猜想OE、OF的数量关系，并证明你的猜想.
（3）【拓展提高】如图3，在矩形ABCD中，点M，N是对角线BD的三等分点，过点M作分别交AD、BC于点E、F，连结EN、FN，已知，，求线段MF的长.
24．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，试求的值．
（1）小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到（1）解决（如图②），并写出推理和计算过程．
（2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点P作于M，于N，
∵平分，
∴，．
∴．
∴此时，是等边三角形．
当M向方向移动，N向方向移动，且．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
∴当M向方向移动，N向方向移动，
∴是等边三角形．
同理：当M向方向移动，N向方向移动．
综上：满足条件的有无数个．
故选：D．
【分析】过点P作于M，于N，根据角平分线性质可得，根据四边形内角和可得∠MPN，根据等边三角形判定定理可得等边三角形，分情况讨论：当M向方向移动，N向方向移动，且，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边三角形判定定理即可求出答案；当M向方向移动，N向方向移动，根据等边三角形判定定理即可求出答案；同理：当M向方向移动，N向方向移动，即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：过点作于点，于点， 如图所示：
∵点是的平分线上的一点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；故①正确；
，
，即，
∵点是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，
∴四边形的面积是一个定值，故②正确；
如图，当时，点O与点F重合，
，
，
，
∴一定与不平行， 故③错误．
故选： C．
【分析】过点作于点，于点，根据角平分线性质可得，根据四边形内角和定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可判断①，再根据割补法，结合三角形面积可判断②；当时，点O与点F重合，根据直线平行性质可得，再根据直线平行判定定理可判断③.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题中作图可知：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用作图痕迹及角平分线的定义可得，再利用平行四边形的性质及等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴， 即
∵，四边形是平行四边形，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
A选项，，值随着改变；
B选项，，值随着改变；
C选项，，值随着改变；
D选项，，值不变；
故答案为：D．
【分析】本题先利用平行四边形的判断证明出四边形是平行四边形，然后分别利用勾股定理求出，，最后代入四个选项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH//BD，，
同理可得：FH//AC
，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴
故答案为：.
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH//BD，，FH//AC，，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由折叠可得：△ADE≌△AFE，△BFM≌△NFM.
∴NF=BF，MN=MB，DE=EF，AF=AD.
∵EF=c，CE=b，
∴DE=EF=c，DC=DE+EC=b+c.
∵四边形ABCD是矩形，CF=a，设BF=x，
∴AB=CD=b+c，AD=BC=x+a，∠D=∠B=90°，
∴，AF=AD=x+a.
∴AN=AF－NF=a.
在Rt△ABF中，AB=b+c，BF=x，AF=x+a，
∴，
∴.
设BM=y，则AM=AB－BM=b+c－y.
在Rt△AMN中
，
.
∴
在中，
，
，，
，
.
.
A、，不是定值，故选项A不符合题意；
B、，是定值，故选项B符合题意；
C、，不是定值，故选项C不符合题意；
D、，不是定值，故选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由折叠得NF=BF，MN=MB，DE=EF，AF=AD.于是可得DE=EF=c，DC=b+c.设BF=x，根据矩形的性质可得AB=CD=b+c，AD=BC=x+a，∠D=∠B=90°，于是可表示出和AF以及AN的长.
在Rt△ABF中利用勾股定理，可表示出x；设BM=y，在Rt△AMN中利用勾股定理，可表示出y；于是可表示出，在Rt△EFC中利用勾股定理，可得a，b，c的关系，继而可对和进行化简，最后再对四个选项逐一计算并判断，即可得到结论.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CF、CA、AF，
∵点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，
∴CF过点Q，CA过点P，
∴点Q是CF的中点，点P是CA的中点，
∴PQ是△CAF的中位线，
∴PQ=AF，
在矩形框架ABCD中，AB=5，AD=8，
∴矩形ABCD的面积为5×8=40，BC=AD=8，∠ABC=90°，
由题意得，BC=EF，CE=BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴∠BHF=∠AHF=90°，
∵扭动后四边形面积减少了8，
∴四边形BCEF的面积为40-8=32，
∴8BH=32，
∴BH=4，
∴AH=AB-BH=5-4=1，
∵BF=CE=AB=5，
∴由勾股定理得，FH===3，
在Rt△AHF中，由勾股定理得，AF===，
∴PQ=AF=，
故答案为：A.
【分析】连接CF、CA、AF，先证PQ是△CAF的中位线，得出PQ=AF，再证四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形BCEF的面积，即可求出BH的长，进一步求出AH、FH的长，根据勾股定理即可求出AF的长，从而求出PQ的长.
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，Q在线段Q1Q2（不包括Q2）上，如图，
∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AB=AD，OB=OD，∵ ∠BAD=60°，∴ △ABD为等边三角形，∴ OB=BD=，
∵ 四边形OBQ为平行四边形，
∴ OB=PQ=BQ2，
∴ DQ2=，
当DQ'⊥Q1Q2时，此时DQ'最小，
∵∠Q'DQ2=30°，
∴ Q'Q2=，
∴ DQ'=
故答案为：C.
【分析】先根据题意确定Q的运动轨迹，再根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质可推出DQ2=，根据垂线段最短可知DQ'最小，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得DQ'的值即可.
9．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC.
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC.
∴FO=FC，
∴FB垂直平分OC；
∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
易知△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴ ∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF=DF，故①正确；
∴BE=DF
又∵BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵DE=DF
∴四边形DEBF是菱形，故②正确；
易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF.
∴S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=
∵∠FCO=30°，
∴，
∴FM=3BM，故③正确；
∴S△FOM：S△BOM=1：3
∴S△FOM：S△BCM=1：6
∴△FOM：S△ABC=1：12
∴△FOM：S矩形ABCDM=1：24，故④错误。
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质可得 OB=OC，再根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形，则OB=BC，根据垂直平分线判定定理可得FB垂直平分OC，再根据等边三角形性质可得BO⊥EF，BF⊥OC，根据全等三角形判定定理可得△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，则∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，再根据角之间的关系可得∠CDE=∠DFE，再根据等腰三角形性质可判断①；再根据菱形判定定理可判断②；根据全等三角形性质可得S△AOE=S△COF，再根据三角形面积之间的关系可得S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，则FM=3BM，可判断③；再根据三角形面积之间的关系可判断④.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABD=∠CBD=45°
∵四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形
∴∠BHM=∠CHM=90°，∠BKE=∠NKE=90°
∴△BEK和△BMH都为等腰直角三角形
∴
同理可得DN=NF=KN
∴
∴
∴，①错误
易知△AEF和△DFN都是等腰直角三角形
∴
∵四边形EKNF是正方形
∴FN=EF
∴DF=2AF，②正确
由①知，
∴，③正确
故答案为：C
【分析】根据正方形性质可得∠ABD=∠CBD=45°，∠BHM=∠CHM=90°，∠BKE=∠NKE=90°，根据等腰直角三角形判定定理可得△BEK和△BMH都为等腰直角三角形，则，同理可得DN=NF=KN，根据边之间的关系可得，再根据正方形面积可判断①；根据等腰直角三角形性质可得，再根据正方形性质可得FN=EF，则DF=2AF，可判断②；再根据面积之间的关系可判断③.
11．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】将绕点逆时针旋转至，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质可知：，，，
∴，
∴点三点共线，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是正方形，所以DC=BC，∠DCB= ∠ BCG=90°，AC⊥BD， OC=OB，
由于DF⊥BG，所以∠DFG=90°，则∠CDH+∠DGC 90°，又因为∠GBC +∠DGC =90°，根据同角的余角相等，可得∠CDH=∠GBC，
在△DCH和△BCG中：
根据“ASA”(两角及其夹边对应相等)可判定△DCH≌△BCG，所以S△ DCH=S△ BCG，且CH=CG，
同理，可证明△DCE≌△BCH，则S△ DCE=S△ BCH，
由此可以得出：S△DEG=S△DGC-S△EGC，S△DGC=S△DCH+S△CHG，S△BCG =S△BCH+S△CHG .
又因为S△DCH=S△BCG，S△DCE =S△ BCH，
经过转化可得S△DEG=S△BCG. 故答案为：D
【分析】本题考查正方形的性质（包括边、角、对角线的性质 ）以及 全等三角形的判定与性质（ASA判定等 ），还有三角形面积的转化与等量关系，利用正方形的特殊性质构造全等三角形，通过全等三角形面积相等，对△DEG的面积进行转化，从而找到与之面积相等的图形.
13．【答案】45
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：45.
【分析】根据正方形的性质，利用HL得到，即可得到，进而可得，然后推理可得，即可得到，进而可得求出AC2，再根据勾股定理解答即可．
14．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】当 时，四边形ADFE 是平行四边形.
因为
所以∠CAB=30°.
因为△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
所以 EF 为∠BEA 的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，
所以∠AEF=30°.
又因为∠BAC=30°，
所以∠AEF=∠BAC.
在△ABC 和△EAF 中，
所以△ABC≌△EAF.
因为∠BAC=30°，∠DAC=60°，
所以∠DAB=90°，即 DA⊥AB.
因为EF⊥AB，
所以AD∥EF.
因为△ABC≌△EAF，△ACD为等边三角形，
所以EF=AC=AD，
所以四边形ADFE是平行四边形.
故答案为：.
【分析】根据可得∠CAB=30°，然后根据等边三角形得到∠AEF=∠BAC，再根据AAS得到△ABC≌△EAF，即可得到DA⊥AB，进而得到AD∥EF，再根据等边三角形的性质得到EF=AC=AD，即可判断 ADFE 是平行四边形.
15．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∵AB//CD，
∴四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，
∴，，
∴NG//MD.
∵、为的对角线，M为的中点，
∴为、的交点，
∴.
∵DG//MN，NG//MD，
∴四边形MNGD为平行四边形.
∴NG=DM=3.
∵MN//DG，
∴∠DGE=∠CNE.
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE.
又∵∠DEG=∠CEN，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，证明四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，得出，，证明为、的交点，可得.证明四边形MNGD为平行四边形，可得NG=DM=3.证明△DEG≌△CEN，可得，最后利用线段的和差即可求出结果．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，M是的中点，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，或 (舍去），
∴．
故答案为：2
【分析】
先由等腰三角形三线合一可得AM垂直BC，再由直角三角形两锐角互余可得 ，由等边对等角结合三角形外角性质可得，设，由平行四边形的性质可得，再利用证明，则，再利用勾股定理求出，则的长可得．
17．【答案】（1）解： (1) ①如图， 过点F作交BC于Q， 交AD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABQP是矩形，
∵点F是AE的中点，
又
②如图， 过点B作BR∥GH， 交CD于R，
∵GH∥BR，AB∥CD，
∴四边形BRHG是平行四边形，
∴GH = BR， ∠BGH =∠BRH，
∵GH=AE，
∴BR=GH=AE，
又∵AB=BC，
∴ Rt△ABE≌Rt△BCR(HL)，
∴∠BAE=∠CBR=30°，
∴∠BRC = 60°= ∠AEB，
∴∠BRH = 120°= ∠BGH，
∴∠AGH=60°，
∴∠AFG=180°-60°-30°= 90°，
∵∠BAE=30°，
∴AG =2GF，
如图， 过点A作AR∥GH， 交CD于R， 过点G作G 于O，
同理可证：
∵AR∥GH，
综上所述：AG的长为或2；
（2）如图， 连接AO， 过点O作( 于点Q， OP '于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD =∠CBD=45°，
∵OQ⊥AB， OP⊥BC，
∴OQ=OP，
∵MN⊥AE， AF=EF，
∴AO=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵OA=OE，OQ=OP，
∴ Rt△AOQ=Rt△EOP(HL)，
∴∠OAQ=∠OEP，
∵∠BEA+∠AEO+∠OEP = 180°，
∴60°+∠AEO+∠OAE+30°= 180°，
∴∠AEO = 45°.
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)①由“ASA”可证 可得.PF= 可求AP的长，由勾股定理可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解；
(2)由角平分线的性质可得OQ=OP，由线段垂直平分线的性质可得.AO=OE，由“HL”可证 可得由平角的性质可求解.
18．【答案】（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）①根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，设直线交轴于点，设，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，P坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②由（1）（2）知，，，，设点，根据平行四边形性质分情况讨论：以为对角线，、以为对角线，以为对角线，根据线段中点坐标公式建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
19．【答案】（1）解：①如图，
；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据勾股定理，结合边之间的关系可得，根据正方形性质可得，，再代入等式即可求出答案.
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，则，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
20．【答案】（1）解：过E作轴于K，如图：
∵ ，，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为
（2）解：连接，如图：
设，
，
，
解得，
（3）解：设，，
由，，
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时的横坐标为；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
综上所述，的横坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过E作轴于K，利用点A、B、C的坐标可求出AB、OB的长，再利用旋转的性质可证得，，同时可求出BD的长，即可得到点D的坐标，利用AAS可证得△COB≌△BKE，利用全等三角形的性质可求出BK、EK的长，即可得到OK的长，由此可得到点E的坐标；利用待定系数法求出DE函数解析式.
（2）连接，设，，利用三角形的面积可求出四边形BOCP的面积，再根据，可得到关于p的方程，解方程求出p的值，即可得到点P的坐标.
（3）设，，分情况讨论：当，为对角线，则，的中点重合；当，为对角线；当，为对角线；分别求出点M的坐标.
（1）解：过E作轴于K，如图：
∵ ，，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为；
（2）连接，如图：
设，
，
，
，
，
解得，
；
（3）设，，
由，，
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时的横坐标为；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
综上所述，的横坐标为．
21．【答案】（1）解：，
，
解得：.
（2）解：由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为.
（3）解：过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）连接，设，则，，利用勾股定理可得，列出方程，最后求出x的值即可；
（3）过点M作于点N，连接，先证出为等边三角形，求出，利用勾股定理求出ON的长，再结合，可得的最小值为．
（1）解：，
，
解得：；
（2）由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为；
（3）过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
22．【答案】解：[数学思考]是“倍线平行四边形”．理由：在中，，．
，
，
，
，
，
，
是“倍线平行四边形”．
[深入探究]
①是“倍线平行四边形”，
，
．
设，则．
，，
，
，
，
．
是的中点，且，
．
②证明：如图，过点作的延长线于点．
，
．
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
，．
又，
，
∴，
，，
，
，
是的中点
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题综合考查了平行四边形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题需灵活运用相关几何知识。
[数学思考] 由条件可得是菱形，已知，则对角线。运用勾股定理计算得，因此，满足的关系，故该平行四边形符合"倍线平行四边形"的定义。
[深入探究]
① 根据"倍线平行四边形"的性质可得，即。设，则，通过勾股定理解得。再利用勾股定理求，结合30°直角三角形的性质可得的值。
② 作辅助线延长线于点。先证四边形为平行四边形，得且。再证明两对全等三角形：和，最终得出的结论。
23．【答案】（1）证明：∵ABCD是矩形，AC，BD是对角线，
∴，，
∴，，
（2）解：延长FO交AD于点H，
由（1）得，即O是FH的中点.
∵，
∴是直角三角形，
∴
（3）解：过点N作于点P，
∵M，N是对角线BD的三等分点，
∴点N是BM的中点，点M是ND的中点，
∴，
∴，
设，则，解得：，
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，通过证明后得到对应边与相等；
（2）延长FO交AD于点H，由（1）得到，然后通过证明是直角三角形，即可利用直角三角形斜边中线的性质得到；
（3）结合（2）的结论以及线段三等分条件，得到，设，则MF=2x，运用勾股定理，通过等量关系建立关于x的方程，求解后乘以2即为MF的长.
24．【答案】（1）解：
四边形是平行四边形，
（2）解：连接．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，将求 转化为求BF的值，最后利用勾股定理即可求解；
（2） 连接， 由平行四边形的性质和矩形的性质求得．． 进而求证 四边形是平行四边形． 再根据平行四边形的性质得到，结合， 证明是等边三角形，从而得到，最后由平行线的性质即可求解.
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