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贵州省六盘水市盘州市2026年九年级下学期数学中考模拟检测试卷
1．下列有理数中最小的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．6
2．如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．乌蒙大草原地处贵州省盘州市，是贵州省生态体育公园和“100个旅游景区”重点建设项目之一．景区平均海拔2000米以上，最高海拔达2857米，自然风光壮阔秀美.2857这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，与相交于点E．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每位运动员10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
统计量 运动员 甲 乙 丙 丁
9.9 9.9 9.5 9.4
0.09 0.15 0.09 0.2
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．《算法统宗》中有“宝塔点灯”这样一个数学问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”题目大意：远远望去，有一座雄伟的七层宝塔，每层悬挂的红灯数量都是上一层的两倍，这座宝塔共有381盏灯，请问宝塔顶层有几盏灯？这一经典数学问题体现中国古代对算法的掌握程度，是古代算术的高水平体现．假设宝塔顶层有x盏灯，则下列方程合理的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知，，若，则的长为（　　）
A．16 B．12 C．4 D．3
10．如图是物理课上测量长方体铜块的体积实验，借助外力将铜块从离液面一定高度匀速放入烧杯直至底部静置一段时间．下列哪幅图象可以近似的刻画出液面高度h与铜块被放入时间t的关系（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．18
12．如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
13．因式分解： 　 　．
14．如图是一个被8等份的圆形飞镖靶，现将飞镖随机投向该飞镖靶，中靶时飞镖恰好落在阴影区域的概率是　 　．
15．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为　 　．
16．如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为　 　．
17．计算、解方程
（1）计算：；
（2）请从代数式：①，②，③中选择你喜欢的两个代数式组成一个方程，并求出这个方程的解．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求m的值；
（2）将一次函数图象向下平移n个单位长度，若平移后的一次函数图象与反比例函数图象在第一象限内有且仅有一个交点时，求n的值．
19．【问题背景】有关研究表明，维生素C（抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．某高中生物老师带领学生们对此项结论进行探究，随机选出牙齿长度相等且品种相同的豚鼠共20只，并平均分为甲、乙两组进行对照实验，甲、乙两组每天分别喂食和剂量的维生素C，一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度x（单位：）进行了测量，测量数据如下：
甲组：10，10，11，11，12，12，12，13，14，14；
乙组：10，11，11，12，12，14，14，14，15，16．
【数据分析】
甲、乙两组豚鼠牙齿生长长度分析表
统计量 组别 甲组 乙组
平均数
中位数 12
众数 14
甲、乙两组豚鼠牙齿生长长度统计表
牙齿长度 组别 甲组 乙组
A． 2 1
B． 5 4
C． 3 3
D． 0 2
乙组豚鼠牙齿生长长度扇形统计图
【解决问题】
（1）上述图表中　 　，　 　；
（2）扇形统计图中D所占的圆心角度数为　 　°；
（3）若每天按照乙组的剂量投喂豚鼠1200只，一周后，请估计牙齿生长长度不低于的豚鼠大约有多少只？
20．如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，连接，并求的长．
21．为破解山区农产品出山“最后一公里”难题，某农村合作社巧用无人机为当地群众打通农产品出山的“空中走廊”．该合作社目前有A，B两款无人机为农户提供吊运服务，据了解2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克．
（1）求A，B两款无人机每架满载可吊运农作物各多少千克？
（2）合作社现要吊运810千克的农作物，计划使用A，B两款无人机共12架进行吊运，为了次此吊运完成，则至少使用多少架B款无人机？
22．如图①是某大棚顶部的三角形钢架，不仅能分散荷载，而且还有一定的抗风和抗外力作用．其平面示意图如图②所示，其中，，，．
（1）求线段的长；（结果保留根号）
（2）求线段的长．（参考数据：，，，，，，结果保留两位小数）
23．如图，为的直径，，点B，E在上，延长至点A，连接，，．
（1）　 　，　 　；
（2）求证：是的切线；
（3）求阴影部分的面积．
24．在2026年央视春晚创意杂技《绘新春》表演中，演员们隔空相互抛接“空竹”，“空竹”光在空中绘制出美丽的光线，惊艳现场．“空竹”在空中的一次运动轨迹可以近似的看作一条抛物线．如图①，以其中一条抛物线的起点为坐标原点建立平面直角坐标系，该抛物线终点A在x轴上，顶点B的坐标为，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如图②，点，在抛物线上，点P为该抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标；
（3）若关于x的方程：（t为实数），在的范围内有实数根，请直接写出t的取值范围．
25．在中，，将绕点A逆时针旋转得到．
（1）【问题解决】
如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）【问题探究】
如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数；
（3）【拓展延伸】
在（2）的条件下，若，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】
解： 有理数中最小的数是 -2
故答案为：A
【分析】根据负数小于0，0小于正数，比较大小，解答即可.
2．【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】
解： ∵直线a，b相交于点O，，
∴∠1=∠2=
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等可得∠1=∠2=，解答即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解： 2857 =
故答案为：C
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
4．【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：∵，，
∴ =，
故答案为：D
【分析】根据两直线平行内错角相等，可得 =，解答即可.
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】
解： 点关于x轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】根据关于x轴对称的点的特点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，解答即可.
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
解：
∴
∴ =1
故答案为：C
【分析】先解一元二次方程得到两根分别为0和1，然后求和得到 的值，解答即可.
7．【答案】A
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
解：根据方差越小越稳定，因而可选甲和丙
但是甲的平均数高于丙的平均数，
因而 综合上述因素：选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛应选甲
故答案为：A
【分析】根据方差越小越稳定，因而可选甲和丙；再根据甲的平均数高于丙的平均数，可判断选甲更符合要求，解答即可.
8．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设宝塔顶层有x盏灯
由题意得：
故答案为：D
【分析】设宝塔顶层有x盏灯，根据有一座雄伟的七层宝塔，每层悬挂的红灯数量都是上一层的两倍，这座宝塔共有381盏灯，列出方程解答即可.
9．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的比
【解析】【解答】
解：∵，，
∴BC：DE=4：3
∵，
∴BC=16
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例得到BC：DE=，再根据DE的值，计算可得BC的值，解答即可.
10．【答案】C
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】
解： 第一阶段：铜块从初始位置到液面（未接触液体）
运动状态：铜块匀速向下运动，但此时还没有排开液体；
液面变化：液面高度 h 保持不变（图像为水平线段）；
第二阶段：铜块从接触液面到完全浸没（匀速浸入）
运动状态：铜块继续匀速向下，浸入液体的体积随时间均匀增加；
液面变化：烧杯中液体的体积被均匀挤占，因此液面高度 h 随时间 t 匀速上升（图像为倾斜上升的直线）；
第三阶段：铜块完全浸没后触底并静置 ；
运动状态：铜块完全浸没后继续匀速触底，触底后静止；
液面变化： 触底前：排开液体的体积达到最大值并保持不变，液面高度 h 继续上升至最大值；
触底后：铜块静止，排开体积不变，液面高度 h 保持最大值不变（图像变为水平线段）；
故答案为：C
【分析】根据物体在运动过程程分为三个阶段：未接触液体前； 铜块从接触液面到完全浸没；铜块完全浸没后触底并静置；逐一讨论得到函数图象，解答即可.
11．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；正弦的概念
【解析】【解答】
解： 在矩形中 ：
∵，，
∴，
∴
∴ 矩形的面积
故答案为：c
【分析】根据矩形的性质得到，再利用60°的正弦得到BC的值，利用30°直角三角形的性质得到DC的值，再利用面积公式计算可得矩形的面积，解答即可.
12．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】
解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行P(4m，m)，
∴A(4m，4m)
∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称.
∴图中阴影部分的面积等于正方形AEOF的面积
∴=32
∴=2
将P(4m，m) 代入 得，
k=4=8.
故答案为：D
【分析】根据正方形和反比例函数图象都关于原点对称得到图中阴影部分的面积等于正方形AEOF的面积，再根据P的坐标得出A的坐标，再利用待定系数法把P的坐标代入计算可得k的值，解答即可
13．【答案】m(m-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：m(m-2)
【分析】利用提公因式法因式分解即可。
14．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】
解： 由图可知，圆形飞镖靶被平均分成了8个相等的扇形.
其中阴影部分占据了3个扇形，
∴阴影部分的面积占总面积的
∴飞镖怡好落在阴影区域的概率是
故答案为：
【分析】
根据几何概率的求法，飞镖落在阴影区域的概率等于阴影部分面积与圆形飞镖靶总面积的比值.观察图形可知，圆被平均分成了8份，阴影部分占据了其中的3份，再根据概率公式计算即可解答.
15．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-作高
【解析】【解答】
解：由作图可知：
∵，
∴AF=4
故答案为：4
【分析】根据尺规作图可知，作的是，再由直角三角形的特殊性，计算可得AF的值，解答即可.
16．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：如图，延长EF， CB交于点G，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=4， AD||BC
∵E为AD的中点
∴AE =DE=AD=2
设AF =x，则BF =AB - AF =6-x
∴EF=
∵AD||BC
∴△AEF△BGF，
∴
∴
∴
∴EG=EF+FG=
CG=BC+BG=4+=
∵EG=EC
∴=
解得x=或0(舍)
∴BF=6-x=，
故答案为：.
【分析】 如图，延长EF， CB交于点G，首先求出AE =DE=AD=2 ，设AF=x，则BF =AB - AF =6-x，勾股定理表示出EF然后证明出△AEF△BGF，得到，再用含x的式子表示出BG，FG，然后表示出EG，CG，然后利用BCE=CEF得到EG=CG，然后列方程求解即可，计算即可解答.
17．【答案】（1）解：
（2）解：选择①②，
去分母得，，故方程无解；
选择①③，
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
选择②③，
去分母得，
解得
检验：将代入．
综上所述，若选①②组成方程，方程无解；若选①③组成方程，方程的解为；若选②③组成方程，方程的解为．
【知识点】零指数幂；解分式方程；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）
【解析】【分析】
（1）、先计算|-4|=4，再计算，再算，最后计算加减，解答即可；
（2）、若选择①②，得到方程组无解；若选择①③，解方程组得到，再检验即可解答；若选择②③解方程组得到，再检验即可解答.
18．【答案】（1）解：将代入，
得：，
解得，
一次函数解析式为，
将代入，
得：．
（2）解：在反比例函数的图象上，
，
一次函数图象向下平移n个单位长度后的解析式为：，
联立与，得：，
，
，即，
当两个图象在第一象限内有且仅有一个交点时，有且只有一个根，
，
解得或．
当时，方程为，
解得，符合题意；
当时，方程为，
解得，不符合在第一象限内有交点的条件，舍去，
综上可得，n的值为．
【知识点】解一元一次方程；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
(1)、根据待定系数法求函数解析式将代入解析式中，计算可得b的值，再将代入函数解析式中得到m的值，解答即可；
（2）、根据在反比例函数的图象上，计算可得k=5，设一次函数图象向下平移n个单位长度后的解析式为：，联立函数解析式整理得，根据两个图象在第一象限内有且仅有一个交点得到，计算得到n得值，再讨论得到n的值，解答即可.
19．【答案】（1）13；12
（2）72
（3）解：（只），
答：牙齿生长长度不低于的豚鼠大约有1080只．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1） 将乙组10个数从小到大进行排序，排在第5位和第6位的两个数12和14，
因此中位数a
甲组中10个数出现次数最多的是12，因此众数b=12
故答案为：13；12
（2） 扇形统计图中D所占的圆心角度数为：360
故答案为：72
【分析】
（1）根据中位数的定义：将乙组10个数从小到大进行排序，取排在第5位和第6位的两个数12和14的平均数计算可得a的值；根据众数的定义出现次数最多的是12，可得b的值；解答即可.
(2)根据公式D所占的圆心角度数为360，计算即可解答；
（3）根据样本估计总体：利用总数乘以样本所占的百分比计算即可解答.
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：如图，连接AC，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】
(1)、根据平行四边形的性质得到，，再计算线段的和差得到，再根据可判定四边形是平行四边形，解答即可；
（2）、连接AC，根据平行四边形的性质得到，再计算出，根据勾股定理计算可得AC，解答即可.
21．【答案】（1）解：设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据题意得：
，
解得：，
答：A款无人机每架满载可吊运农作物50千克，B款无人机每架满载可吊运农作物80千克
（2）解：设使用m架B款无人机，则使用架A款无人机，根据题意得：
，
解得：，
答：至少使用7架B款无人机．
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式；列二元一次方程组
【解析】【分析】
(1)设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克列出方程组，解方程组计算即可解答．
（2）设使用m架B款无人机，则使用架A款无人机，根据要吊运810千克的农作物列不等式，然后解不等式选取符合条件的m的值，解答即可.
22．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，
（2）解：在中，，
在中，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；正弦的概念；正切的概念
【解析】【分析】
（1）先根据三角形的内角和定理计算得到，再在中根据正弦的定义计算AC的值，解答即可；
（2）分别在中和在中，根据正切的定义解直角三角形得到BD，CD的值，再计算线段的和，解答即可.
23．【答案】（1）30；60
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵为的半径，
∴是的切线
（3）解：如图，过点O作于点F，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；圆的综合题；几何图形的面积计算-割补法；圆周角定理的推论
【解析】【解答】
解：（1）∵，．
∴∠C=．
∵为的直径
∴∠CBD=．
∴
故答案为：30；60
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠C=，再根据圆周角定理的推论得到∠CBD=，再根据直角三角形的两个锐角互余，计算角度解答即可；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再计算角度得到，根据切线的判定定理即可判定；
（3）过点O作于点F，根据圆的定义得到，再根据判定得到为等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理计算得到OF，再根据割补法利用扇形，三角形的面积公式计算即可解答.
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
设抛物线的解析式为，
把代入，
则，
解得：，
则抛物线的解析式为：．
（2）解：点，在抛物线上，
∴，，
∴，，
∵抛物线的对称轴直线，
∴点关于对称轴直线的对称点为，当P在直线与对称轴的交点时，最小．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
则，
当时，则，
∴．
（3）．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（3）-解：由（t为实数）可得出，可看做t关于x的二次函数，∵中，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大，
当时，则，
当时，则，
∴t的取值范围为．
故答案为：．
【分析】
(1)先写出，再设抛物线的解析式为，根据待定系数法求函数解析式把代入计算可得，再写出抛物线的解析式，解答即可；
（2）根据点，在抛物线上，代入得到m，n的值，从而得到，，根据抛物线的对称轴直线，得到点关于对称轴直线的对称点为根据将军饮马模型得到当P在直线与对称轴的交点时，最小；设直线的解析式为，利用待定系数法求函数解析式得到直线的解析式为，当时求得，解答即可．
（3）先将等式变形为t关于x的二次函数：，根据二次函数的性质抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大，再当时，当时，分别计算得到最大值和最小值，写出范围即可解答.
25．【答案】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴和为等边三角形，
则，
那么，四边形的形状为菱形
（2）解：连接，如图，
∵菱形，
∴，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
由（1）得，是等边三角形，
∴，
设，
∴，
，
∴，
∴
（3）解：过点A作于点，过点Q作于点，连接，如图，
∵菱形，，
∴，
由（1）得，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
由（2）得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
即，
设等边的边长为，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，
当时，最小，此时是等边的高，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】
(1)根据旋转的性质得到，，再判定和为等边三角形，根据等边三角形的性质可判定四边形的形状，解答即可；
（2）连接，根据菱形的性质可得，平分，再由SAS证明，根据全等三角形的性质得到，，再由旋转的性质得，从而推导出，根据等腰三角形的性质得到，据等边三角形的性质可得，设，根据三角形的内角和定理计算出，，再由角度的和差运算可得，解答即可；
（3）过点A作于点，过点Q作于点，连接，根据菱形的性质得到，据等边三角形的性质可得，根据等腰三角形三线合一的性质得到，再由勾股定理计算出AE，利用面积公式计算得出；再利用再由SAS证明，再根据割补法求面积得到，设等边的边长为，表示出，再由勾股定理表示出PF，QF，再表示出，，根据二次函数的性质得到当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，当时，最小，此时是等边的高，从而得到，代入计算即可求得面积的最大值，解答即可.
1 / 1贵州省六盘水市盘州市2026年九年级下学期数学中考模拟检测试卷
1．下列有理数中最小的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】
解： 有理数中最小的数是 -2
故答案为：A
【分析】根据负数小于0，0小于正数，比较大小，解答即可.
2．如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】
解： ∵直线a，b相交于点O，，
∴∠1=∠2=
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等可得∠1=∠2=，解答即可.
3．乌蒙大草原地处贵州省盘州市，是贵州省生态体育公园和“100个旅游景区”重点建设项目之一．景区平均海拔2000米以上，最高海拔达2857米，自然风光壮阔秀美.2857这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解： 2857 =
故答案为：C
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
4．如图，，与相交于点E．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：∵，，
∴ =，
故答案为：D
【分析】根据两直线平行内错角相等，可得 =，解答即可.
5．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】
解： 点关于x轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】根据关于x轴对称的点的特点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，解答即可.
6．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
解：
∴
∴ =1
故答案为：C
【分析】先解一元二次方程得到两根分别为0和1，然后求和得到 的值，解答即可.
7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每位运动员10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
统计量 运动员 甲 乙 丙 丁
9.9 9.9 9.5 9.4
0.09 0.15 0.09 0.2
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
解：根据方差越小越稳定，因而可选甲和丙
但是甲的平均数高于丙的平均数，
因而 综合上述因素：选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛应选甲
故答案为：A
【分析】根据方差越小越稳定，因而可选甲和丙；再根据甲的平均数高于丙的平均数，可判断选甲更符合要求，解答即可.
8．《算法统宗》中有“宝塔点灯”这样一个数学问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”题目大意：远远望去，有一座雄伟的七层宝塔，每层悬挂的红灯数量都是上一层的两倍，这座宝塔共有381盏灯，请问宝塔顶层有几盏灯？这一经典数学问题体现中国古代对算法的掌握程度，是古代算术的高水平体现．假设宝塔顶层有x盏灯，则下列方程合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设宝塔顶层有x盏灯
由题意得：
故答案为：D
【分析】设宝塔顶层有x盏灯，根据有一座雄伟的七层宝塔，每层悬挂的红灯数量都是上一层的两倍，这座宝塔共有381盏灯，列出方程解答即可.
9．如图，已知，，若，则的长为（　　）
A．16 B．12 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的比
【解析】【解答】
解：∵，，
∴BC：DE=4：3
∵，
∴BC=16
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例得到BC：DE=，再根据DE的值，计算可得BC的值，解答即可.
10．如图是物理课上测量长方体铜块的体积实验，借助外力将铜块从离液面一定高度匀速放入烧杯直至底部静置一段时间．下列哪幅图象可以近似的刻画出液面高度h与铜块被放入时间t的关系（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】
解： 第一阶段：铜块从初始位置到液面（未接触液体）
运动状态：铜块匀速向下运动，但此时还没有排开液体；
液面变化：液面高度 h 保持不变（图像为水平线段）；
第二阶段：铜块从接触液面到完全浸没（匀速浸入）
运动状态：铜块继续匀速向下，浸入液体的体积随时间均匀增加；
液面变化：烧杯中液体的体积被均匀挤占，因此液面高度 h 随时间 t 匀速上升（图像为倾斜上升的直线）；
第三阶段：铜块完全浸没后触底并静置 ；
运动状态：铜块完全浸没后继续匀速触底，触底后静止；
液面变化： 触底前：排开液体的体积达到最大值并保持不变，液面高度 h 继续上升至最大值；
触底后：铜块静止，排开体积不变，液面高度 h 保持最大值不变（图像变为水平线段）；
故答案为：C
【分析】根据物体在运动过程程分为三个阶段：未接触液体前； 铜块从接触液面到完全浸没；铜块完全浸没后触底并静置；逐一讨论得到函数图象，解答即可.
11．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．18
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；正弦的概念
【解析】【解答】
解： 在矩形中 ：
∵，，
∴，
∴
∴ 矩形的面积
故答案为：c
【分析】根据矩形的性质得到，再利用60°的正弦得到BC的值，利用30°直角三角形的性质得到DC的值，再利用面积公式计算可得矩形的面积，解答即可.
12．如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】
解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行P(4m，m)，
∴A(4m，4m)
∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称.
∴图中阴影部分的面积等于正方形AEOF的面积
∴=32
∴=2
将P(4m，m) 代入 得，
k=4=8.
故答案为：D
【分析】根据正方形和反比例函数图象都关于原点对称得到图中阴影部分的面积等于正方形AEOF的面积，再根据P的坐标得出A的坐标，再利用待定系数法把P的坐标代入计算可得k的值，解答即可
13．因式分解： 　 　．
【答案】m(m-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：m(m-2)
【分析】利用提公因式法因式分解即可。
14．如图是一个被8等份的圆形飞镖靶，现将飞镖随机投向该飞镖靶，中靶时飞镖恰好落在阴影区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】
解： 由图可知，圆形飞镖靶被平均分成了8个相等的扇形.
其中阴影部分占据了3个扇形，
∴阴影部分的面积占总面积的
∴飞镖怡好落在阴影区域的概率是
故答案为：
【分析】
根据几何概率的求法，飞镖落在阴影区域的概率等于阴影部分面积与圆形飞镖靶总面积的比值.观察图形可知，圆被平均分成了8份，阴影部分占据了其中的3份，再根据概率公式计算即可解答.
15．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-作高
【解析】【解答】
解：由作图可知：
∵，
∴AF=4
故答案为：4
【分析】根据尺规作图可知，作的是，再由直角三角形的特殊性，计算可得AF的值，解答即可.
16．如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：如图，延长EF， CB交于点G，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=4， AD||BC
∵E为AD的中点
∴AE =DE=AD=2
设AF =x，则BF =AB - AF =6-x
∴EF=
∵AD||BC
∴△AEF△BGF，
∴
∴
∴
∴EG=EF+FG=
CG=BC+BG=4+=
∵EG=EC
∴=
解得x=或0(舍)
∴BF=6-x=，
故答案为：.
【分析】 如图，延长EF， CB交于点G，首先求出AE =DE=AD=2 ，设AF=x，则BF =AB - AF =6-x，勾股定理表示出EF然后证明出△AEF△BGF，得到，再用含x的式子表示出BG，FG，然后表示出EG，CG，然后利用BCE=CEF得到EG=CG，然后列方程求解即可，计算即可解答.
17．计算、解方程
（1）计算：；
（2）请从代数式：①，②，③中选择你喜欢的两个代数式组成一个方程，并求出这个方程的解．
【答案】（1）解：
（2）解：选择①②，
去分母得，，故方程无解；
选择①③，
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
选择②③，
去分母得，
解得
检验：将代入．
综上所述，若选①②组成方程，方程无解；若选①③组成方程，方程的解为；若选②③组成方程，方程的解为．
【知识点】零指数幂；解分式方程；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）
【解析】【分析】
（1）、先计算|-4|=4，再计算，再算，最后计算加减，解答即可；
（2）、若选择①②，得到方程组无解；若选择①③，解方程组得到，再检验即可解答；若选择②③解方程组得到，再检验即可解答.
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求m的值；
（2）将一次函数图象向下平移n个单位长度，若平移后的一次函数图象与反比例函数图象在第一象限内有且仅有一个交点时，求n的值．
【答案】（1）解：将代入，
得：，
解得，
一次函数解析式为，
将代入，
得：．
（2）解：在反比例函数的图象上，
，
一次函数图象向下平移n个单位长度后的解析式为：，
联立与，得：，
，
，即，
当两个图象在第一象限内有且仅有一个交点时，有且只有一个根，
，
解得或．
当时，方程为，
解得，符合题意；
当时，方程为，
解得，不符合在第一象限内有交点的条件，舍去，
综上可得，n的值为．
【知识点】解一元一次方程；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
(1)、根据待定系数法求函数解析式将代入解析式中，计算可得b的值，再将代入函数解析式中得到m的值，解答即可；
（2）、根据在反比例函数的图象上，计算可得k=5，设一次函数图象向下平移n个单位长度后的解析式为：，联立函数解析式整理得，根据两个图象在第一象限内有且仅有一个交点得到，计算得到n得值，再讨论得到n的值，解答即可.
19．【问题背景】有关研究表明，维生素C（抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．某高中生物老师带领学生们对此项结论进行探究，随机选出牙齿长度相等且品种相同的豚鼠共20只，并平均分为甲、乙两组进行对照实验，甲、乙两组每天分别喂食和剂量的维生素C，一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度x（单位：）进行了测量，测量数据如下：
甲组：10，10，11，11，12，12，12，13，14，14；
乙组：10，11，11，12，12，14，14，14，15，16．
【数据分析】
甲、乙两组豚鼠牙齿生长长度分析表
统计量 组别 甲组 乙组
平均数
中位数 12
众数 14
甲、乙两组豚鼠牙齿生长长度统计表
牙齿长度 组别 甲组 乙组
A． 2 1
B． 5 4
C． 3 3
D． 0 2
乙组豚鼠牙齿生长长度扇形统计图
【解决问题】
（1）上述图表中　 　，　 　；
（2）扇形统计图中D所占的圆心角度数为　 　°；
（3）若每天按照乙组的剂量投喂豚鼠1200只，一周后，请估计牙齿生长长度不低于的豚鼠大约有多少只？
【答案】（1）13；12
（2）72
（3）解：（只），
答：牙齿生长长度不低于的豚鼠大约有1080只．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1） 将乙组10个数从小到大进行排序，排在第5位和第6位的两个数12和14，
因此中位数a
甲组中10个数出现次数最多的是12，因此众数b=12
故答案为：13；12
（2） 扇形统计图中D所占的圆心角度数为：360
故答案为：72
【分析】
（1）根据中位数的定义：将乙组10个数从小到大进行排序，取排在第5位和第6位的两个数12和14的平均数计算可得a的值；根据众数的定义出现次数最多的是12，可得b的值；解答即可.
(2)根据公式D所占的圆心角度数为360，计算即可解答；
（3）根据样本估计总体：利用总数乘以样本所占的百分比计算即可解答.
20．如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，连接，并求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：如图，连接AC，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】
(1)、根据平行四边形的性质得到，，再计算线段的和差得到，再根据可判定四边形是平行四边形，解答即可；
（2）、连接AC，根据平行四边形的性质得到，再计算出，根据勾股定理计算可得AC，解答即可.
21．为破解山区农产品出山“最后一公里”难题，某农村合作社巧用无人机为当地群众打通农产品出山的“空中走廊”．该合作社目前有A，B两款无人机为农户提供吊运服务，据了解2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克．
（1）求A，B两款无人机每架满载可吊运农作物各多少千克？
（2）合作社现要吊运810千克的农作物，计划使用A，B两款无人机共12架进行吊运，为了次此吊运完成，则至少使用多少架B款无人机？
【答案】（1）解：设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据题意得：
，
解得：，
答：A款无人机每架满载可吊运农作物50千克，B款无人机每架满载可吊运农作物80千克
（2）解：设使用m架B款无人机，则使用架A款无人机，根据题意得：
，
解得：，
答：至少使用7架B款无人机．
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式；列二元一次方程组
【解析】【分析】
(1)设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克列出方程组，解方程组计算即可解答．
（2）设使用m架B款无人机，则使用架A款无人机，根据要吊运810千克的农作物列不等式，然后解不等式选取符合条件的m的值，解答即可.
22．如图①是某大棚顶部的三角形钢架，不仅能分散荷载，而且还有一定的抗风和抗外力作用．其平面示意图如图②所示，其中，，，．
（1）求线段的长；（结果保留根号）
（2）求线段的长．（参考数据：，，，，，，结果保留两位小数）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，
（2）解：在中，，
在中，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；正弦的概念；正切的概念
【解析】【分析】
（1）先根据三角形的内角和定理计算得到，再在中根据正弦的定义计算AC的值，解答即可；
（2）分别在中和在中，根据正切的定义解直角三角形得到BD，CD的值，再计算线段的和，解答即可.
23．如图，为的直径，，点B，E在上，延长至点A，连接，，．
（1）　 　，　 　；
（2）求证：是的切线；
（3）求阴影部分的面积．
【答案】（1）30；60
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵为的半径，
∴是的切线
（3）解：如图，过点O作于点F，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；圆的综合题；几何图形的面积计算-割补法；圆周角定理的推论
【解析】【解答】
解：（1）∵，．
∴∠C=．
∵为的直径
∴∠CBD=．
∴
故答案为：30；60
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠C=，再根据圆周角定理的推论得到∠CBD=，再根据直角三角形的两个锐角互余，计算角度解答即可；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再计算角度得到，根据切线的判定定理即可判定；
（3）过点O作于点F，根据圆的定义得到，再根据判定得到为等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理计算得到OF，再根据割补法利用扇形，三角形的面积公式计算即可解答.
24．在2026年央视春晚创意杂技《绘新春》表演中，演员们隔空相互抛接“空竹”，“空竹”光在空中绘制出美丽的光线，惊艳现场．“空竹”在空中的一次运动轨迹可以近似的看作一条抛物线．如图①，以其中一条抛物线的起点为坐标原点建立平面直角坐标系，该抛物线终点A在x轴上，顶点B的坐标为，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如图②，点，在抛物线上，点P为该抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标；
（3）若关于x的方程：（t为实数），在的范围内有实数根，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
设抛物线的解析式为，
把代入，
则，
解得：，
则抛物线的解析式为：．
（2）解：点，在抛物线上，
∴，，
∴，，
∵抛物线的对称轴直线，
∴点关于对称轴直线的对称点为，当P在直线与对称轴的交点时，最小．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
则，
当时，则，
∴．
（3）．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（3）-解：由（t为实数）可得出，可看做t关于x的二次函数，∵中，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大，
当时，则，
当时，则，
∴t的取值范围为．
故答案为：．
【分析】
(1)先写出，再设抛物线的解析式为，根据待定系数法求函数解析式把代入计算可得，再写出抛物线的解析式，解答即可；
（2）根据点，在抛物线上，代入得到m，n的值，从而得到，，根据抛物线的对称轴直线，得到点关于对称轴直线的对称点为根据将军饮马模型得到当P在直线与对称轴的交点时，最小；设直线的解析式为，利用待定系数法求函数解析式得到直线的解析式为，当时求得，解答即可．
（3）先将等式变形为t关于x的二次函数：，根据二次函数的性质抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大，再当时，当时，分别计算得到最大值和最小值，写出范围即可解答.
25．在中，，将绕点A逆时针旋转得到．
（1）【问题解决】
如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）【问题探究】
如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数；
（3）【拓展延伸】
在（2）的条件下，若，求面积的最大值．
【答案】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴和为等边三角形，
则，
那么，四边形的形状为菱形
（2）解：连接，如图，
∵菱形，
∴，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
由（1）得，是等边三角形，
∴，
设，
∴，
，
∴，
∴
（3）解：过点A作于点，过点Q作于点，连接，如图，
∵菱形，，
∴，
由（1）得，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
由（2）得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
即，
设等边的边长为，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，
当时，最小，此时是等边的高，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】
(1)根据旋转的性质得到，，再判定和为等边三角形，根据等边三角形的性质可判定四边形的形状，解答即可；
（2）连接，根据菱形的性质可得，平分，再由SAS证明，根据全等三角形的性质得到，，再由旋转的性质得，从而推导出，根据等腰三角形的性质得到，据等边三角形的性质可得，设，根据三角形的内角和定理计算出，，再由角度的和差运算可得，解答即可；
（3）过点A作于点，过点Q作于点，连接，根据菱形的性质得到，据等边三角形的性质可得，根据等腰三角形三线合一的性质得到，再由勾股定理计算出AE，利用面积公式计算得出；再利用再由SAS证明，再根据割补法求面积得到，设等边的边长为，表示出，再由勾股定理表示出PF，QF，再表示出，，根据二次函数的性质得到当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，当时，最小，此时是等边的高，从而得到，代入计算即可求得面积的最大值，解答即可.
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