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国栋班第三次学科素养抽检数学试题
时量：120分钟 分值：120分
一、单选题（每题3分共24分）
1．若规定表示不超过a的最大整数，例如，，若，，则在此规定下的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．已知，，，那么下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则式子的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-5 D．5
4．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．图中阴影部分的正方形的边长为，若面积增加后仍然是正方形，则边长应增加（ ）
A． B． C． D．
6．用正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，设小天鹅的水平宽度为l（左右最大距离），铅垂高度为h（上下最大距离），则的值为（ ）
B．
C． D．
7．如图，正方形ABCD的顶点B在原点，点D的坐标为（4，4），将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′处，DE⊥BB′于点E，则点E的坐标为（　　）
A． B． ，C． D．
8．已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分共24分，第16题每空1分）
9．不等式组的解集是________．
10．若，求___________．
11．如图，直方图从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：1，第二组的频数为9，作品总件数为____件．
12．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______．
13．已知，求________．
14．如图，边长为2的等边的中心与半径为2的的圆心重合，E，F分别是，的廷长线与的交点，则图中阴影部分的面积为__________．
15．在一个圆形时钟表面，表示秒针，表示分针（O为两针的旋转中心）．若现在的时间恰好是12点整，则经过__________秒后，的面积第一次达到最大．
16．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：____________．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=_______．（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则_______．
三、解答题
17．（5分)计算：
(1)； (2)．
18（5分）．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，求m的值．
19（6分）．先化简后求值：，其中是不等式的整数解．
20（6分）．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
21（7分）．已知抛物线经过点，当时，y的最小值为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求n的值．
22（7分），2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
甲校10名志愿者的成绩（分）为：．
乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：．A组所对应的圆心角度数为
甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表
甲校 乙校
平均数 87 87
中位数 87.5 b
方差 79.4
众数 c 95
(1)由上表填空：_______，_______，______________；
(2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由；
(3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人．
23（8分）．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，CD为⊙O的切线，过D作，与的延长线相交于E．
(1)求证：CD＝DE；
(2)若BD＝1，DE＝，求△ADE的面积；
(3)在（2）的条件下，作的平分线CF与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求的长．
24（8分）．如图，四边形OABC为矩形，A点在x轴上，C点在y轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B落在OA边的点G处，折痕为EF，F点的坐标是(4，1)，∠FGA=30°
(1)求B点坐标.
(2)求直线EF解析式.
(3)若点M在y轴上，直线EF上是否存在点N，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
25（10分）．在平面直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
(1)如图①，当t＝3时，求DF的长；
(2)如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值；
(3)连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t＜3时的值．
26（10分）．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．

(1)求、的值；
(2)在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

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