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(共37张PPT)
课题名称：第四章平行四边形小结与反思
第四章：平行四边形
初中数学
学习目标
能熟练运用多边形内角和、平行四边形的性质与判定、三角形中位线等知识解决几何计算、证明问题,掌握图形旋转的应用方法.
02
系统梳理本章知识,构建完整的知识体系,明确各知识点间的内在联系,深化对平行四边形核心知识的理解.
01
理解反证法的基本思路,能运用转化、从一般到特殊的数学思想分析和解决几何问题,提升逻辑推理和知识迁移能力.
03
总结本章解题的常见方法和易错点,培养严谨的几何思维和规范的解题书写习惯,增强几何学习的综合应用意识.
04
提问引导:
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ,这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
情景创设
本章知识结构图
探究新知
探究一：回顾与反思
1.多边形的内角和与边数之间有怎样的关系？多边形的外角和是多少？与边数之间有关系吗？
内角和:边形内角和=(为整数)
外角和:任意多边形外角和(与边数无关)
探究新知
探究一：回顾与反思
2.平行四边形有哪些性质？有哪些判定方法？
性质:边:对边平行且相等;角:对角相等,邻角互补;
对角线:互相平分;对称性:中心对称图形.
判定:两组对边分别平行;两组对边分别相等;
一组对边平行且相等;对角线互相平分.
探究新知
探究一：回顾与反思
3.一个图形经过旋转,所得的图形和原图形有怎样的关系？图形的旋转有什么性质？中心对称图形有怎样的性质？
旋转前后的图形全等;
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角.
对称中心平分每一组对称点的连线.
探究新知
探究一：回顾与反思
4.三角形的中位线有怎样的性质？
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
5.什么是反证法？反证法与举反例的主要区别是什么？
①假设命题结论不成立
②推出与已知、定理、公理矛盾
③否定假设,原命题成立
探究新知
探究二：典型例题
例1:一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°,
(1)求这个多边形的边数;
(2)若该多边形为正多边形,求它的每一个内角的度数.
解:(1)设边数为,多边形外角和为360°,
由题意得,解得;
(2)正九边形内角和为,
每个内角度数为.
探究新知
探究二：典型例题
解:(1)∵四边形是平行四边形,∴,
∵,∴中,,
∵平行四边形对角线互相平分,
∴,故;
(2).
例2:在中,对角线,相交于点,
(1)求和的长度;
(2)求的面积.
探究新知
探究二：典型例题
解:(1)∵ ∥ , = ,
∴四边形 是平行四边形,
∴ ∥ 且 = ,
∵ = ,
∴ ∥ 且 = ,
∴四边形 是平行四边形;
例3:如图,在四边形中,,点分别在上,且,连接交于点,连接交于点,
(1)求证:四边形是平行四边形;
探究新知
探究二：典型例题
解:(2)由(1)知四边形是平行四边形,
∴,
∵,∴,又,
∴四边形是平行四边形,∴,
∵,∴四边形是平行四边形.
例3:如图,在四边形中,,点分别在上,且,连接交于点,连接交于点,
(2)求证:四边形是平行四边形.
探究新知
探究二：典型例题
例4:下列图形中,是中心对称图形的是( )
探究新知
探究二：典型例题
解:(1)∵是中点,
∴,又,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形;
例5:如图,在中,分别是的中点,点在的延长线上,且,连接,
(1)求证:四边形是平行四边形;
探究新知
探究二：典型例题
解:(2)∵是中点,
∴是中位线,
∴且,
∵,
∴.
例5:如图,在中,分别是的中点,点在的延长线上,且,连接,
(2)若是直角三角形,,求的长度.
探究新知
探究二：典型例题
解:(1)假设一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形,
如图,作一个等腰梯形,其中,该四边形满足“一组对边平行,另一组对边相等”,但等腰梯形不是平行四边形,
与假设矛盾,故假设不成立,原命题成立;
例6:(1)用反证法证明:一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形;
探究新知
探究二：典型例题
解:(2)补充条件:另一组对边也平行
证明:已知四边形中,,
∵且,
∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
例6:(2)补充一个条件,使“一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形”,并证明.
课堂练习
1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
2.下面给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A.;
B.;
C.;
D..
B
B
课堂练习
3.如图,在中,对角线相交于点,是的中点,若,则的长为(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
4.如图,平行四边形中,对角线AC,BD相交于点O,,分别是的中点,下列结论:①;②;③四边形是菱形;④平分.其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
C
课堂练习
5.已知一个多边形的每一个内角都相等,且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍,则这个多边形的边数为　　.
6.如图,的对角线相交于点O,,两条对角线长的和为,则的周长为　 　.
7.已知点与点关于原点对称,则m的值是　 　.
20
18cm
1
课堂练习
8.在一个各内角都相等的多边形中,每一个内角都恰为相邻外角的3倍.
(1)求这个多边形的边数;
(2)求这个多边形的内角和.
(1)解:设多边形的一个外角为,则与其相邻的内角等于,
由题意得,,
解得.即多边形的每个外角为.
又多边形的外角和为,
多边形的外角个数为.
多边形的边数为8;
(2)解:这个多边形的内角和为.
课堂练习
(1)证明:是等边三角形,
,
又,
是等边三角形;
9.如图为等边三角形,在上分别取点,使,连接.
(1)求证:是等边三角形.
(2)点分别是的中点,连接,当绕点旋转到如图的位置时,求的度数.
课堂练习
(2)解:是等边三角形
,,
,,
,
点分别是的中点,
.
,
,
,
,
;
课堂小结
知识点：
1.掌握多边形内角和,外角和公式,能进行角度计算.
2.熟练运用平行四边形性质与判定进行证明与计算.
3.理解旋转与中心对称性质,会判断中心对称图形.
4.会用三角形中位线定理解决平行,长度计算问题.
5.掌握反证法步骤,能进行简单证明.
6.体会转化思想,提升几何推理与综合应用能力.
知识梳理
课后提升
1.下列图形是中心对称图形的是(　　)
2.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是(　　)
A.(2,3)　　　　B.(-3,2)　　　　C.(3,-2)　　　　D.(-3,-2)
3.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 (　　)
A.有一个内角大于60°　　　　 B.有一个内角小于60°
C.每一个内角都大于60°　　　　 D.每一个内角都小于60°
B
D
C
课后提升
4.如图,的对角线相交于,交于,已知的周长为,则的周长为 (　　)
A.4cm　　　　B.6cm　　　　C.9cm　　　　D.12cm
5.如图,四边形中,,分别是的中点,则线段的长的取值范围是　 (　　)
A.16.如图,人字梯保险杠两端点D,E分别是梯柱AB,AC的中点,梯子打开时DE=38cm,此时梯脚的距离BC为　　　　cm.
B
D
76
课后提升
7.一个多边形的内角和是其外角和的4倍,则这个多边形的边数是　　　　.
8.如图,a∥b,点A在直线a上,点B,C在直线b上,AC⊥直线b,如果AB=5,BC=4,那么平行线a,b之间的距离为　　　　.
9.如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,交BA的延长线于点E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为　　　　.
37°
课后提升
10.如图,在平面直角坐标系中, AOBC的顶点B在x轴上,点A的坐标为(1,2),以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E,再分别以点D,点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内相交于点F,作射线OF交AC于点P,则点P的坐标是　　　　.
11.如图,E,F分别是平行四边形ABCD的边AB,CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APD=15cm2,S△BQC=25cm2,则阴影部分的面积为　　　　cm2.
40
课后提升
12.求证:在一个三角形中不能有两个角是钝角.(画出图形,写出已知,求证,并借助反证法进行证明)
解:已知:△ABC.
求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是钝角.
证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角,不妨设∠A,∠B为钝角,
,
∴∠A+∠B>180°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,故假设不成立,
原命题正确.
课后提升
解:,
,
,
平分,
,
.
13.如图,在平行四边形中,,平分
,求的大小.
课后提升
解:(1)证明:分别为的中点,
,且.
,
.
14.如图,等边的边长是,分别为的中点,延长至点使,连结和.(1)求证:;(2)求的长.
课后提升
解: (2)由(1)知,且,
四边形为平行四边形.
是等边三角形,点是的中点,
,
,
四边形为平行四边形,.
14.如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连结CD和EF.(1)求证:DE=CF;(2)求EF的长.
课后提升
15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点E,点E是BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD,连结AF.
(1)求证:AE=CE;
(2)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(3)若AD=,AF=4,DF=,则四边形ABCF的面积为　　　　.
课后提升
解:(1)证明:点是的中点,,
,,
在和中,
,
.
课后提升
(2)证明:由(1)知,,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,,
四边形是平行四边形.
课后提升
(3)如图,过作于.设,
,
,
解得,
,
四边形的面积.
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分课时学案
课题 第四章平行四边形小结与反思 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.系统梳理本章知识，构建完整的知识体系，明确各知识点间的内在联系，深化对平行四边形核心知识的理解。 2.能熟练运用多边形内角和、平行四边形的性质与判定、三角形中位线等知识解决几何计算、证明问题，掌握图形旋转的应用方法。 3.理解反证法的基本思路，能运用转化、从一般到特殊的数学思想分析和解决几何问题，提升逻辑推理和知识迁移能力。 4.总结本章解题的常见方法和易错点，培养严谨的几何思维和规范的解题书写习惯，增强几何学习的综合应用意识。
重点 1.平行四边形的性质与判定定理的综合运用，以及三角形中位线定理的灵活应用。 2.梳理本章知识体系，掌握将四边形问题转化为三角形问题的核心解题方法。
难点 综合运用平行四边形、图形旋转、三角形中位线等多个知识点解决复杂几何综合题，形成系统的几何解题思路。
教学过程
导入新课 本章知识结构图
新知讲解 1.多边形的内角和与边数之间有怎样的关系？多边形的外角和是多少？与边数之间有关系吗？ 2.平行四边形有哪些性质？有哪些判定方法？ 3.一个图形经过旋转，所得的图形和原图形有怎样的关系？图形的旋转有什么性质？中心对称图形有怎样的性质？ 4.三角形的中位线有怎样的性质？ 探究活动二：典型例题 例题1（多边形内角和与外角和） 一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°, （1）求这个多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求它的每一个内角的度数。 例题2（平行四边形性质综合应用） 在中，对角线、相交于点, （1）求和的长度； （2）求的面积。 例题3（平行四边形判定与性质综合） 如图，在四边形中，，点、分别在、上，且，连接、交于点，连接、交于点, （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：四边形是平行四边形。 例题4（中心对称图形） 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 例题5（三角形中位线与平行四边形综合） 如图，在中，、分别是、的中点，点在的延长线上，且，连接、、, （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是直角三角形，，求的长度。 例题6（反证法与平行四边形判定综合） （1）用反证法证明：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形； （2）补充一个条件，使“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”，并证明。
课堂练习 课堂练习： 1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B.C. D. 2.下面给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB=AD,CB=CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AD∥BC,∠A=∠B D.AB=AD,∠B=∠D 3.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点，若OE＝3，则AB的长为（　　） A.3 B.6 C.9 D.12 4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AD＝AC,M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论： ①CN⊥BD; ②MN=NP; ③四边形MNCP是菱形； ④ND平分∠PNM. 其中正确的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，则这个多边形的边数为　　. 6.如图，的对角线相交于点O,，两条对角线长的和为，则的周长为　　. 7.已知点A（-1,-2）与点B（m,2）关于原点对称，则m的值是　　. 8.在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都恰为相邻外角的3倍。 （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的内角和。 9.如图为等边三角形，在、上分别取点、，使，连接. （1）求证：是等边三角形。 （2）点、分别是、的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求的度数。
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点：
课后提升 1.下列图形是中心对称图形的是（　　） ABCD 2.在平面直角坐标系中，点（3,2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A.(2,3)　　　　B.(-3,2)　　　　C.(3,-2)　　　　D.(-3,-2) 3.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中　(　　) A.有一个内角大于60°　　　　B.有一个内角小于60° C.每一个内角都大于60°　　　　D.每一个内角都小于60° 4.如图， ABCD的对角线相交于O,OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周长为3cm，则 ABCD的周长为 (　　) A.4cm　　　　B.6cm　　　　C.9cm　　　　D.12cm 5.如图，四边形ABCD中，AB=2,CD=3,M、N分别是AD,BC的中点，则线段MN的长的取值范围是　 (　　) A.1典型例题：
例1：解：（1）设边数为，多边形外角和为360°，由题意得，解得;
（2）正九边形内角和为，每个内角度数为.
例2：解：（1）∵四边形是平行四边形，∴,
∵,∴中，,
∵平行四边形对角线互相平分，∴，故;
(2).
例3：解：（1）∵,
∴四边形是平行四边形，
∴且,
∵,
∴且,
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）知四边形是平行四边形，
∴,
∵,
∴，又,
∴四边形是平行四边形，
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形。
例4：B
例5：解：（1）∵是中点，
∴，又,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形；
（2）∵、是、中点，
∴是中位线，
（3）∴且,
∵,
∴.
例6. 解：（1）假设一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形，
如图，作一个等腰梯形，其中，该四边形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但等腰梯形不是平行四边形，
与假设矛盾，故假设不成立，原命题成立；
（2）补充条件：另一组对边也平行
证明：已知四边形中，,
∵且,
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
课堂练习：
1.B;2.B;3.B;4.C;5.20;6.;7.1;
8.（1）解：设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于,
由题意得，,
解得.
即多边形的每个外角为.
又多边形的外角和为,
∴多边形的外角个数为.
∴多边形的边数为8;
（2）解：这个多边形的内角和为.
9.（1）证明：是等边三角形，
,
又,
是等边三角形；
（2）解：是等边三角形
,
≌
点、分别是、的中点，
.
,
≌,
,
,
;
（3）解：如图，作EF⊥AB于点F,
∵,
∴,
∴,
点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H,
∴,
取AB中点P，连接MP,
则,
∴,
∴,
∴,
在中，.
∴.
课后提升：
1.B　选项B中的图形绕某一点旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形。
2.D　根据平面直角坐标系内关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数，可得点（3,2）关于原点对称的点的坐标是（-3,-2）。
3.C　用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.
故选C.
4.B　∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC.
∵OE⊥AC,∴EO垂直平分AC,∴AE=CE.
∴△ABE的周长=AB+BC=3cm,
根据平行四边形的对边相等得，
ABCD的周长为2×3=6cm.
故选B.
5.D　如图，连结BD，取BD的中点G，连结MG,NG.
∵M是边AD的中点，G是BD的中点，
∴MG是△ABD的中位线，∴MG=×2=1,
∵N是BC的中点，G是BD的中点，
∴NG是△BCD的中位线，∴NG=,
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG-MG∴,
当点G在线段MN上时，易知MN=MG+NG=,
∴线段MN的长的取值范围是.
6.76
解析　∵人字梯保险杠两端点D,E分别是梯柱AB,AC的中点，梯子打开时DE=38cm,
∴此时BC=2DE=76cm.
7.10
解析　设这个多边形的边数是n，则180(n-2)=4×360，解得n=10.
8.3
解析　∵AC⊥直线b,AB=5,BC=4,
∴AC==3.
∵a∥b,AC⊥直线b,∴线段AC的长即为a,b之间的距离，故答案为3.
9.37°
解析　如图，设AD与CE交于点F.
∵CE⊥AB,∴∠E=90°.
∵∠EAD=53°,∴∠EFA=90°-53°=37°,
∴∠DFC=37°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,
∴∠BCE=∠DFC=37°.
10.(1+,2)
解析　由作图可知OP平分∠AOB,∴∠AOP=∠BOP,
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AC∥OB,∴∠APO=∠POB,
∴∠AOP=∠APO,
∴OA=AP,
∵A(1,2),
∴OA=,
∴P(1+,2).
11.40
解析　如图，连结EF,
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF=S△DEF,
∴S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF,
即S△APD=S△EPF=15cm2,
同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2,
∴阴影部分的面积=S△EPF+S△EFQ=15+25=40(cm2).
12.解：已知：△ABC.
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角。
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，∴∠A>90°,∠B>90°,
∴∠A+∠B>180°,∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确。
13.解：∵AD∥BC,
∴∠D+∠BCD=180°,∠DAC=∠ACB,
∴∠BCD=180°-116°=64°,
∵CA平分∠BCD,
∴∠ACB=×64°=32°,
∴∠DAC=∠ACB=32°.
14.解：（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE=BC，且DE∥BC.
∵CF=BC,
∴DE=CF.
（2）由（1）知DE∥CF，且DE=CF,
∴四边形DCFE为平行四边形。
∵△ABC是等边三角形，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB,BD=AB=1,
∴CD=,
∵四边形DCFE为平行四边形，∴EF=DC=.
15.解：（1）证明：∵点E是BD的中点，∴BE=DE,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBE,
在△ADE和△CBE中，
∴△ADE≌△CBE(ASA),
∴AE=CE.
（2）证明：由（1）知，AE=CE,BE=DE,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD,
∵DF=CD,∴DF=AB,∵AB∥CD,∴DF∥AB,
∴四边形ABDF是平行四边形。
（3）如图，过D作DQ⊥AF于Q.设QF=x,
∵AD=,AF=4,DF=,DF2-QF2=AD2-AQ2,
∴-(4-x)2,
解得x=,∴QD==1,
∴四边形ABCF的面积=3S△ADF=3××4×1=6.
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第四章平行四边形小结与反思教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 第四章平行四边形小结与反思 课时 1
课标要求 依据2022版初中数学新课标，学生需掌握多边形内角和，外角和公式，探索并证明平行四边形的性质与判定定理；理解图形旋转及中心对称的性质，掌握三角形中位线定理，了解反证法的基本思路和步骤。能运用相关知识解决几何计算，证明及实际问题，体会转化，从一般到特殊的数学思想，发展几何直观，逻辑推理和数学建模能力，提升图形探究与分析的核心素养。
教材分析 本节是浙教版八下第四章的小结与反思，是对全章知识的系统梳理与方法提炼。教材以平行四边形为核心，串联多边形，图形旋转，中心对称，三角形中位线和反证法等内容，构建了“一般多边形—特殊四边形—相关图形变换与推理方法”的知识体系。章内注重知识间的转化，如将平行四边形问题转化为三角形问题，用平行四边形性质证明三角形中位线定理，同时渗透多种数学思想，既是对前期几何知识的整合，也为后续特殊平行四边形学习奠定基础。
学情分析 八年级学生已掌握本章各知识点，能解决单一性质，判定的基础问题，具备一定的几何推理和图形分析能力。但学生对知识的系统性整合不足，易混淆平行四边形性质与判定的应用场景，对图形旋转，中心对称与平行四边形的关联理解不深，综合运用多个知识点解决复杂几何问题的能力较弱，对反证法的思路和步骤掌握也较为生疏，知识的迁移应用能力有待提升。
教学目标 1.系统梳理本章知识，构建完整的知识体系，明确各知识点间的内在联系，深化对平行四边形核心知识的理解。 2.能熟练运用多边形内角和，平行四边形的性质与判定，三角形中位线等知识解决几何计算，证明问题，掌握图形旋转的应用方法。 3.理解反证法的基本思路，能运用转化，从一般到特殊的数学思想分析和解决几何问题，提升逻辑推理和知识迁移能力。 4.总结本章解题的常见方法和易错点，培养严谨的几何思维和规范的解题书写习惯，增强几何学习的综合应用意识。
教学重点 1.平行四边形的性质与判定定理的综合运用，以及三角形中位线定理的灵活应用。 2.梳理本章知识体系，掌握将四边形问题转化为三角形问题的核心解题方法。
教学难点 综合运用平行四边形，图形旋转，三角形中位线等多个知识点解决复杂几何综合题，形成系统的几何解题思路。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 本章知识结构图 呈现空白知识结构框架，明确补充要求，巡视指导学生梳理知识关联。 结合教材自主填充知识结构图，回顾核心概念，定理要点。 构建系统的知识体系，强化知识间的衔接与整合。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动一：回顾与反思 1.多边形的内角和与边数之间有怎样的关系？多边形的外角和是多少？与边数之间有关系吗？ 内角和：边形内角和=（为整数） 外角和：任意多边形外角和（与边数无关） 2.平行四边形有哪些性质？有哪些判定方法？ 性质：边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相平分； 对称性：中心对称图形。 判定：两组对边分别平行； 两组对边分别相等； 一组对边平行且相等； 对角线互相平分。 3.一个图形经过旋转，所得的图形和原图形有怎样的关系？图形的旋转有什么性质？中心对称图形有怎样的性质？ 旋转前后的图形全等； 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 对称中心平分每一组对称点的连线。 4.三角形的中位线有怎样的性质？ 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 5.什么是反证法？反证法与举反例的主要区别是什么？ ①假设命题结论不成立 ②推出与已知，定理，公理矛盾 ③否定假设，原命题成立 引导学生按“定义—性质—判定—应用”梳理知识，搭建本章结构图。 自主回忆，小组补充，完善知识框架，辨析易混概念。 系统整合全章内容，形成结构化知识网络，强化知识关联性。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动二：典型例题 例题1（多边形内角和与外角和） 一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°, （1）求这个多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求它的每一个内角的度数。 解：（1）设边数为，多边形外角和为360°，由题意得，解得; （2）正九边形内角和为，每个内角度数为. 例题2（平行四边形性质综合应用） 在中，对角线相交于点, （1）求和的长度； （2）求的面积。 解：（1）∵四边形是平行四边形，∴, ∵,∴中，, ∵平行四边形对角线互相平分，∴，故; （2）. 例题3（平行四边形判定与性质综合） 如图，在四边形中，，点分别在上，且，连接交于点，连接交于点, （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：四边形是平行四边形。 解：（1）∵, ∴四边形是平行四边形， ∴且, ∵, ∴且, ∴四边形是平行四边形； （2）由（1）知四边形是平行四边形， ∴, ∵, ∴，又, ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵, ∴四边形是平行四边形。 例题4（中心对称图形） 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 答案：B. 例题5（三角形中位线与平行四边形综合） 如图，在中，分别是的中点，点在的延长线上，且，连接, （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是直角三角形，，求的长度。 解：（1）∵是中点， ∴，又, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形； (2)∵是中点， ∴是中位线， ∴且, ∵, ∴. 例题6（反证法与平行四边形判定综合） （1）用反证法证明：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形； （2）补充一个条件，使“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”，并证明。 解：（1）假设一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形， 如图，作一个等腰梯形，其中，该四边形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但等腰梯形不是平行四边形， 与假设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）补充条件：另一组对边也平行 证明：已知四边形中，, ∵且, ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 精讲典型例题，点拨转化思想，辅助线技巧，规范推理步骤。 独立解题，交流思路，总结解题方法与易错点。 提升综合运用能力，提炼几何解题通法，落实逻辑推理素养。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习： 1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B.C. D. 2.下面给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB=AD,CB=CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AD∥BC,∠A=∠B D.AB=AD,∠B=∠D 3.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点，若OE＝3，则AB的长为（　　） A.3B.6C.9D.12 4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AD＝AC,M,N,P分别是OA,OB,CD的中点，下列结论： ①CN⊥BD;②MN＝NP;③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM.其中正确的有（　　） A.1个B.2个C.3个D.4个 5.已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，则这个多边形的边数为　　. 6.如图，的对角线相交于点O,，两条对角线长的和为，则的周长为　　. 7.已知点A（-1,-2）与点B（m,2）关于原点对称，则m的值是　　. 8.在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都恰为相邻外角的3倍。 （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的内角和。 9.如图为等边三角形，在上分别取点，使，连接. （1）求证：是等边三角形。 （2）点分别是的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求的度数。
1.B;2.B;3.B;4.C;5.20;6.;7.1; 8.（1）解：设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于,
由题意得，,
解得.
即多边形的每个外角为.
又多边形的外角和为,
∴多边形的外角个数为.
∴多边形的边数为8; （2）解：这个多边形的内角和为. 9.（1）证明：是等边三角形， , 又, 是等边三角形； （2）解：是等边三角形 , ≌ 点分别是的中点， . , ≌, , , ; 巡视课堂迅速掌握学情。 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.掌握多边形内角和，外角和公式，能进行角度计算。 2.熟练运用平行四边形性质与判定进行证明与计算。 3.理解旋转与中心对称性质，会判断中心对称图形。 4.会用三角形中位线定理解决平行，长度计算问题。 5.掌握反证法步骤，能进行简单证明。 6.体会转化思想，提升几何推理与综合应用能力。 教师以提问的形式小结。 学生思考自由回答，自我小结。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 第四章平行四边形小结与反思 一、知识结构 多边形→平行四边形→旋转→中位线→反证法 二、核心结论 平行四边形：对边等，对角等，对角线平分 判定：平行/相等/对角线平分 中位线：平行且等于第三边一半 反证法：假设→矛盾→结论 三、思想方法 转化思想，数形结合，逻辑推理 利用简洁的文字，符号，图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
课后提升 1.下列图形是中心对称图形的是（　　） A B C D 2.在平面直角坐标系中，点（3,2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A.(2,3)　　　　B.(-3,2)　　　　C.(3,-2)　　　　D.(-3,-2) 3.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中　(　　) A.有一个内角大于60°　　　　B.有一个内角小于60° C.每一个内角都大于60°　　　　D.每一个内角都小于60° 4.如图， ABCD的对角线相交于O,OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周长为3cm，则 ABCD的周长为 (　　) A.4cm　　　　B.6cm　　　　C.9cm　　　　D.12cm 5.如图，四边形ABCD中，AB=2,CD=3,M,N分别是AD,BC的中点，则线段MN的长的取值范围是　 (　　) A.11.B　选项B中的图形绕某一点旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形。 2.D　根据平面直角坐标系内关于原点对称的两点的横，纵坐标互为相反数，可得点（3,2）关于原点对称的点的坐标是（-3,-2）。 3.C　用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°. 故选C. 4.B　∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC. ∵OE⊥AC,∴EO垂直平分AC,∴AE=CE. ∴△ABE的周长=AB+BC=3cm, 根据平行四边形的对边相等得， ABCD的周长为2×3=6cm. 故选B. 5.D　如图，连结BD，取BD的中点G，连结MG,NG. ∵M是边AD的中点，G是BD的中点， ∴MG是△ABD的中位线，∴MG=×2=1, ∵N是BC的中点，G是BD的中点， ∴NG是△BCD的中位线，∴NG=, 在△MNG中，由三角形三边关系可知NG-MG90°,∠B>90°, ∴∠A+∠B>180°,∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确。 13.解：∵AD∥BC, ∴∠D+∠BCD=180°,∠DAC=∠ACB, ∴∠BCD=180°-116°=64°, ∵CA平分∠BCD, ∴∠ACB=×64°=32°, ∴∠DAC=∠ACB=32°. 14.解：（1）证明：∵D,E分别为AB,AC的中点， ∴DE=BC，且DE∥BC. ∵CF=BC, ∴DE=CF. （2）由（1）知DE∥CF，且DE=CF, ∴四边形DCFE为平行四边形。 ∵△ABC是等边三角形，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB,BD=AB=1, ∴CD=, ∵四边形DCFE为平行四边形，∴EF=DC=. 15.解：（1）证明：∵点E是BD的中点，∴BE=DE, ∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBE, 在△ADE和△CBE中， ∴△ADE≌△CBE(ASA), ∴AE=CE. （2）证明：由（1）知，AE=CE,BE=DE, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,AB=CD, ∵DF=CD,∴DF=AB,∵AB∥CD,∴DF∥AB, ∴四边形ABDF是平行四边形。 （3）如图，过D作DQ⊥AF于Q.设QF=x, ∵AD=,AF=4,DF=,DF2-QF2=AD2-AQ2, ∴-(4-x)2, 解得x=,∴QD==1, ∴四边形ABCF的面积=3S△ADF=3××4×1=6.
教学反思 本节小结与反思课以新课标为指导，通过知识梳理和典型例题，帮助学生构建了本章知识体系，强化了核心知识点的应用。但教学中仍存在不足：部分学生对平行四边形性质与判定的综合应用思路不清晰，对复杂几何题的分析能力较弱；对图形旋转与平行四边形的关联理解不够深入，反证法的应用仍显生疏。课堂上对学生易错点的针对性讲解不足，小组合作探究的深度不够。后续教学中，需增加几何综合题的分层练习，强化解题思路的引导；针对易错点设计专项纠错练习，同时加强数学思想的渗透，让学生在解题中形成系统的几何思维，提升综合应用能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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