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第二章 匀变速直线运动的规律
第4节 匀变速直线运动规律的应用
1.理解速度与位移的关系式，会应用公式进行计算。
2.能应用速度方程、位移方程和速度-位移公式解决匀变速直线运动问题。
3.能推导匀变速直线运动中间位置的瞬时速度公式和位移差公式。
4.能推导初速度为0的匀变速直线运动的几个比例式。
a不变
位移
v=v0+at
？
时间
位移
速度
速度时间关系
位移时间关系
速度位移关系
例题：把飞机起飞看做是在跑道上做匀加速直线运动。若加速运动时加速度,当飞机速率达到85时就可以升空，则跑道的长度至少应当设计为多长？
分析：根据vt= v0 +at可求出时间t，再根据x＝v0t+ at2据得出飞机起飞前在跑道上滑行的位移x。
知识点一：匀变速直线运动的位移—速度关系
位移与时间的关系式：x＝v0t+ at2
速度与时间的关系式：vt= v0 +at
将上述两个公式联立求解，消去时间 t 可得到
在上面问题中，已知条件和所求的结果都不涉及时间t，它只是一个中间量，能否将两个公式联立，消去t，只用一个关系式表示位移s与速度vt的关系呢？
解：以飞机滑行的起点为坐标原点，以飞机滑行的方向为正方向建立坐标轴。飞机在跑道上运动的初速度是0，飞机起飞时的速度，加速度。用计算飞机起飞时的位移，由上式可得
所以，飞机跑道的长度至少应当设计为904m。
拓展：在研究匀变速直线运动的规律时，我们得出以下三个公式
① ②x＝v0t+ at2 ③
这三个方程中，只有两个是独立的。在涉及的五个物理量中，已知其中的三个，就可以运用三个方程中的任意两个，联合求解得出另外两个未知量。
例题：出于安全考虑，还必须允许飞机在起飞前的滑行过程中的任意时刻，若发现突发情况（或只是感到异常）则立即停止加速，改为减速滑行，并最终停止在跑道上。仍以上面的飞机为例，若机场跑道长度为1700 m，极限情况下，它加速滑行已经达到起飞速率的瞬间因故终止起飞，为确保飞机不滑出跑道，则减速过程中的加速度至少要多大？
分析：本题中飞机仍沿直线运动，所不同的是做减速运动，以初速度方向为正，则加速度方向与它相反，应为负值。
解：以飞机滑行起点为原点，沿飞机滑行的方向建立坐标轴。飞机达到最大速度瞬间，即减速阶段的初速度，末速度，为保证安全，共最大位移。仍运用速度与位移的关系式，有
负号表示它的方向与初速度方向相反，即加速度的最小值为
拓展：
（1）飞机减速时主要靠空气阻力产生加速度，这主要由机翼上的副翼承担，加速度的数值越大，就越困难，必要时（如航天飞机岸落时）可以打开携带的降落伞。
（2）飞机在航母上降落时，由于航母上甲板长度有限，一般都采用设置拦阻索的方式，也就是借助外力增大降落滑行时的加速度大小。
例题：88式狙击步枪是我国自主研制的小口径狙击步枪，其有效射程为800m，于1996年完成生产试制任务，1997年首先装备驻港部队，2006年上海上合组织峰会期间，执行保卫任务的狙击小组使用的就是这种狙击步枪。该步枪枪管长620 mm，子弹出口的初速度为895 m/s。如果把子弹从被击发到射出枪口的运动看作匀变速直线运动，求子弹在枪管内的运动时间。
分析：本题讨论子弹在检管内的运动，初速度，未速度，位移，求运动时间。运用匀变速直线运动的规律，可联立求解。
解：根据匀交速直线运动速度与位移的关系及速度方程，有
①
②
由①式，得
①
②
代入到②式，解出子弹在枪管内的运动时间为
公式意义
适用范围
优点
矢量性
两种特 殊形式
速度与位移的关系
匀变速直线运动
该式不涉及时间，研究的问题中若不涉及时间，利用该式求解更加方便
其中的x、v、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。
若选初速度v0的方向为正方向：
(1)物体做匀加速直线运动，a取正值；
(2)物体做匀减速直线运动，a取负值
(1)当v0＝0时，v2＝2ax→初速度为零的匀加速直线运动；
(2)当v＝0时，－v02＝2ax→末速度为零的匀减速直线运动。
推导：
某物体做初速度为v0的匀变速直线运动，运动一段位移后末速度为v
前一半位移内：
后一半位移内：
联立得：
？
重要推论一：中间位置的瞬时速度
推论：在匀变速直线运动中，某段位移中间位置的瞬时速度与这段位移的初速度和末速度之间的关系：
t
O
v
t
O
v
x
x
结论：
无论匀加速还是匀减速直线运动，中间位置的瞬时速度总是大于中间时刻的瞬时速度。
在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度与中间位置的瞬时速度哪一个大？
则有：
· · · · · ·
0
1
2
3
4
5
上图为物体运动时,打点计时器打出的纸带。设相邻两测量
点间的时间间隔为T，打0号测量点时瞬时速度为 v0
x1
x2
x3
x4
x5
重要推论二：逐差相等
x1=v0T+
x2=T+]-(v0T+)=v0T+
x3=T+]-[T+]=v0T+
x4=T+]-[T+]=v0T+
所以：
结论：匀变速直线运动，在连续相同相邻时间内的位移之差是定值，即
Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT 2
进一步推论
在匀变速直线运动中，不相邻的相等时间T内的位移满足：
其中T为相等的时间间隔，xm为第m个时间间隔内的位移，xn为第n个时间间隔内的位移。
xm－xn＝(m－n)aT 2
,
T
T
T
T
v1
v2
v3
v0
1T秒末，2T秒末，3T秒末……瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶……vn＝1∶2∶3∶……n
1.设一物体做初速度为0的匀加速直线运动，求1T末、2T末、3T末…的瞬时速度之比。
知识点二：初速度为0得匀变速直线运动的推论
1T内，2T内，3T内……位移之比为：
x1∶x2∶x3∶……xn＝12∶22∶32∶……n2
x1=aT2
x2=a(2T)2
x3=a(3T)2
T
T
T
T
v0
x1
x2
x3
v1
v2
v3
2.设一物体做初速度为0的匀加速直线运动，求其在1T内、2T内、3T内…的位移之比。
第一个T秒内，第二个T秒内，第三个T秒内，……第n个T秒内位移之比为： xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……xN＝1∶3∶5∶……(2n-1)
T
T
T
T
v0
xI
xIII
xII
x1
x2
x3
xⅠ=x1=aT2
xⅡ=x2-x1=a(2T)2-aT2=3 aT2
xⅢ=x3-x2=a(3T)2-a(2T)2=5 aT2
3.设一物体做初速度为0的匀加速直线运动，求此物体在第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比。
由x=at12
t1=
t2= t3=
x
x
x
x
tⅠ
tⅡ
tⅢ
t1
t2
t3
4.设一物体做初速度为0的匀加速直线运动,通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为
5.设一物体做初速度为0的匀加速直线运动,通过连续相同的位移所用时间之比为：
tⅠ：tⅡ：tⅢ：……tN=1：(
t1:t2:t3:……tn=1::…..
知识小结
1.初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1).
2.按位移等分(设相等的位移为x)，则：
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：
t1：t2：t3：…：tn=1：：：…：
(2)通过连续相同的位移所用时间之比为：
tⅠ：tⅡ：tⅢ：……tN=1：(
一、匀变速直线运动速度与位移的关系
1、公式：
v2－v02＝2ax
2、适用条件
3、矢量性
4、两种特殊形式
二、初速度为0的匀变速直线运动的推论
连续相等时间间隔末的瞬时速度之比
5、两个重要推论
任意两个连续相等的时间间隔的位移之差
Δx=aT2
中间位置的瞬时速度
nT内的位移之比
连续相等时间间隔内的位移之比
连续相等位移所用时间之比
v1:v2:v3:……：vn=1：2：3：…：n
x1:x2:x3:……：xn=12：22：32：…：n2
x1:x2:x3:……：xn=1：3：5：…：(2n-1)
t1:t2:t3:…:tN=1：：：…:

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