资源简介

甘肃天水市武山县第一高级中学 2025-2026 学年度第二学期高
一第一次月考数学试卷
一、单选题
1．若 f x 2sin x
π
0 π f π 的最小正周期为 ，则
3

3
（ ）

A．0 B．1 C． 3 D．2
π
2．为了得到函数 f x sin 2x 的图象，只需要把函数 y sinx图象（ ）
4
1 πA．先将横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位4
B 1 π．先将横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 8 个单位
π
C．先向左平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）
4
D π．先向右平移 8 个单位，再将横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）
3

．已知向量 AB a 3b， BC 5a 3b，CD 3a 3b ，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
4．已知 ABC的三边满足 a :b : c 5:11:13，则 ABC（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
a
5．在 ABC中，若 A 60 ，b 1，△ABC的面积 S 3，则 （ ）sinA
2
A．3 3 B．
3
C 2 2 2 39． D．
3 3
6．在 ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，根据下列条件解三角形，其中有两解的
是（ ）
A．b 6, A 60 ,C 45 B．b 15,c 6,B 60
C． a 3,b 2, A 45 D． a 8,b 4, A 80
7．已知 ABC的三边长分别为 2,3,4，则 ABC的外接圆的面积为（ ）
试卷第 1页，共 4页
64π 32π
A． B． C．15π D 8 15π．
15 15 15
8．在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a, b, c，若bc 6, b2 c2 a2 8 2 ，则 ABC的
面积为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
二、多选题

9．已知向量a 4,3 ，b 7,1 ，下列说法正确的是（ ）

A． a b a B． a b 5 5
4 , 3

C．与向量 a平行的单位向量仅有 D．向量a与向量b的夹角为5 5 135


10．已知函数 f x Asin( x )（其中 A 0, 0,| | π）的部分图象如图所示.则下列结
论正确的是（ ）
A．函数 f x 的图象关于直线 x π 2 对称
π
B．函数 f x 的图象关于点 ,0 对称
12
C．函数 f x π π 在区间 , 上单调递增 3 6
π 23π
D 8π． y 1与图象 y f x x 的所有交点的横坐标之和为
12 12 3
1
11．已知 ABC内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，O为 ABC的重心， cosA , AO 2 ，则
5
（ ）
1 1
A． AO AB AC B．
4 4 AB AC 3
C． ABC的面积的最大值为3 6 D． a的最小值为 2 6
试卷第 2页，共 4页
三、填空题
1
12．已知 tan ，则 sin cos ________．
3
2
13 ．已知 b 3,a 在 b方向上的投影数量是 ，则 ______．
3 a b
14．在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若
a sin A bsinB 3c sinB,sinC 2 3sinB ，则 A __________.
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 P 3, 4 ．
(1)求 sin ，cos 的值；
sin π α 2cos π α
(2)求 sin 3π α

cos
π α 的值．
2 2
16．已知 ABC内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a 2 b 2 c 2 ab，且bsinC 2 3sinB .
(1)求角 C及边 c的值；
(2)求 a b的最大值.
1 π
17．已知函数 f x sin 2x , x R．2 3
(1)求 f x 的最小正周期及 f x 在区间 0,π 内的单调递增区间；
x π π (2)当 , 时，求 f x 的最大值及最小值，并求出相应的 x的取值． 4 4
18
π
．已知向量 a,b 满足 a 2， b 1，且 a与b的夹角为 ．
3

(1)若 2a b a b ，求实数 的值；
(2)求b与 a 2b 的夹角的余弦值．
19．如图所示，已知梯形 ABCD中， AB∥CD， AB 2CD，E为线段 BC的中点，且线段

BD与 AE的交点为 F，设 AB a， AD b．
试卷第 3页，共 4页
(1)用 a， b表示 AE；
(2)求BF : FD的值；
1
(3)若 BC CD DA，点 G在线段 CD上运动，设 AC DB AG，求 的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
《甘肃天水市武山县第一高级中学 2025-2026 学年度第二学期高一第一次月考数学试卷》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D C A A ABD BCD
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可.
【详解】因为 f x 2sin x
π
0 的最小正周期为 π，
3
2π π
所以 π 2，即 f x 2sin 2x

， 3
π
所以 f 2sin
2 π π

2sin π 0 .
3 3 3
故选：A
2．B
【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断.
π
【详解】为了得到函数 f x sin 2x 的图象，只需要把函数 y sinx图象
4
π 1
先向右平移 个单位，再将横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变），CD错；4
1 π
也可以先将横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 8 个单位，A错误，B正
确.
故选：B.
3．B
【分析】利用平面向量共线定理逐项判断即可.

【详解】对于 A 选项，因为 AB a 3b，BC 5a 3b，故 AB、BC不一定共线，A错误；
对于 B选项， BD BC CD 5a 3b 3a 3b 2a 6b 2AB ，
故 A、 B、D三点共线，B正确；
对于 C选项，因为 AC AB BC a 3b 5 a 3b 6 a 6b，CD 3a 3b ，

所以 AC、CD不一定共线，C错误；

对于 D选项，因为BC 5a 3b，CD 3a 3b ，则 BC、CD不一定共线，D错误.
故选：B.
答案第 1页，共 9页
4．C
【分析】可设 a 5k，b 11k ， c 13k，再借助余弦定理计算出cosC即可得解.
【详解】由 ABC的三边 a，b， c满足 a :b : c 5:11:13，
可设 a 5k，b 11k ， c 13k（ k 0），
2 2 2 2
cosC a b c 25k 121k
2 169k 2 23
则 0 ，
2ab 110k 2 110
所以角C是钝角，故 ABC是钝角三角形．
故选：C．
5．D
【分析】先由面积公式求出 c，再由余弦定理求出 a，代入求解.
1 c 2S 2 3 4
【详解】由 S bc sin A，得 b sin A 3 ，2 1
2
2 2 2 2 2
又由余弦定理 a b c 2bc cos A 1 4 2 1
1
4 13，
2
所以 a 13，
a 13 2 39

所以 sin A 3 3 ，
2
故选：D.
6．C
【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况.
【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故 A错；
B选项， c sin B 3 3 15 b ，所以三角形无解，故 B错；
C选项，b sin A 2 3 2 ，所以三角形有两个解，故 C正确；
D选项， a b，所以 B A 80 ,三角形只有一个解，故 D错.
故选：C.
7．A
1 15
【分析】设最大边的对角为 ,利用余弦定理求出 cos ,进而求出 sin ，再利用正4 4
8 2 64
弦定理就可以求出外接圆半径 r ,所以外接圆的面积为 r .
15 15
22 32 42 1
【详解】记长为 4的边的对角为 ,则由余弦定理可以知道 cos ,
2 2 3 4
答案第 2页，共 9页
2
所以 sin 1 1 15 ,
4 4
设 ABC的外接圆半径为 r ,则由正弦定理,得 2r
4 16
r 8
sin ,所以 , 15 15
2
所以 ABC π 8 64π外接圆的面积为 .
15 15
故选：A.
8．A
b2 c2cos A a
2 2 2
【详解】由余弦定理得 ，则 sin A 1 cos 2 A
1
，
2bc 3 3
故 ABC S 1 bcsin A 1 6 1的面积为 2 2 3 1 .
9．ABD
【分析】对于 A，计算数量积是否为零，即可得；对 B，借助模长公式计算即可得；对 C，

a a
与向量 a平行的单位向量有 a 、

a ；对 D，夹角公式计算即可得.
a b a 3 4 4 3 0 a

b 【详解】对于 A，a b 3, 4 ， ，所以 a，故 A正确；

对于 B， a b 11, 2 2，所以 a b 11 22 5 5 ，故 B正确；

2 a 4 3 a 4 3
对于 C， a 4 32 5，则有 a , 、 , ， 5 5 a 5 5
4 3 4 3
即与向量 a平行的单位向量有 , 、 , 5 5 5 5
，故 C错误；


cos a

,b a b 4 7 3 1 2对于 D，

a b 5 49 1 2 ，所以向量a与向量b的夹角为135
，故 D正
确．
故选：ABD
10．BCD
【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可.
2π 5π
【详解】由题意， A 2，T 4 π，
3 12
2π f 2π 2sin(2 2π所以 2，又 ) 2 ，π 3 3
答案第 3页，共 9页
4π π
可得 2kπ ,k Z，又 π，
3 2
π π
所以 ，所以 f x 2sin(2x ) .
6 6
2 π π 7π因为 ，
2 6 6
x π所以 2 不是函数的对称轴，A错；
sin 2 π π 12 6
0 ，

π
所以 ,0

是对称中心，B正确；
12
x π , π π π π

时， 2x
, ，
3 6 6 2 2
所以 f x π , π 在 上单调递增，C正确； 3 6
2sin 2x
π
1， sin

2x
π

1
，
6 6 2
所以 2x
π π 2kπ 2x π 5π 或 2kπ,k Z，
6 6 6 6
π
即 x kπ或 x kπ ,k Z，
3
π x 23π又 ，
12 12
所以 x 0,
π , π, 4π 8π，它们的和为 ，D正确.
3 3 3
故选：BCD
11．BCD
1 1
【分析】利用重心性质及向量线性运算得 AO AB AC，即可判断 A，此式平方后结合
3 3

基本不等式，向量的数量积的定义可求得 AB AC, AB AC的最大值，直接判断 B，再结合
三角形面积公式、余弦定理判断 CD．
【详解】
答案第 4页，共 9页
对于 A，O是 ABC的重心，延长 AO交 BC于点D，则D是 BC中点，
2 2 1 1 AO AD ( AB AC) 1 AB AC，A错误；
3 3 2 3 3
1 1
对于 B，由 AO AB AC，得
3 3 AB AC 3AO
，所以
2 2 2
9AO (AB AC)2 AB AC 2AB AC 2 AB AC 2AB AC，
1
又 AB AC AB AC cosA AB AC ，即 AB AC 5AB AC
5

所以 2 5AB AC 2AB AC 9 22，所以 AB AC 3，当且仅当 AB AC 时等号成立，B
正确；

对于 C， AB AC AB AC 15，当且仅当 AB AC 时等号成立，
cosA

sinA 2 6 1 1 2 6 1 cos2 A ， S
5 ABC
AB AC sinA 15 3 6 ，C正确；
2 2 5
2 2 2
对于 D，由9AO (AB AC) 2 AB AC 2AB AC ，得
2 2 2 AB AC 36 2AB AC 36 AB AC ，
5
2 2 2 2 2
所以 a b c 2bccosA AC AB 2 AB AC cosA 36
4
AB AC
5
4
36 15 24， a 2 6 ，当且仅当 AB AC 时等号成立，所以 a的最小值是5 2 6
，D
正确.
故选：BCD.
3
12． /0.3
10
【分析】将原式凑配为关于正余弦的齐二次分式来求解.
1
【详解】 sin cos
sin cos tan
3 3
sin2
.
cos2 tan2 1 1 1 10
9
13．2
答案第 5页，共 9页
【分析】利用向量数量积的几何意义计算.
2
【详解】由已知， a cos ，
3

则 a
b 2 b a cos 3 2．
3
故答案为：2
π
14．
6
【分析】利用正弦定理将角化边，将 a,c用b表示出来，用余弦定理，即可求得 A
【详解】因为 a sin A b sin B 3c sin B ，故可得 a2 b2 3bc；
因为 sinC 2 3 sin B ，故可得 c 2 3b；
2 2 2
将 c 2 3b代入 a2 b2 3bc中，得 a b 3b· 2 3b 6b ，解得 a 7b ,
b2 c2 a2 3
由余弦定理可得 cos A .
2bc 2
又因为 A 0, π π，故可得 A .
6
π
故答案为： .
6
4 3
15．(1) sin , cos
5 5
10
(2)
7
【分析】（1）利用三角函数的定义计算求解；
（2）先利用诱导公式化简所求式，再代入计算求解．
【详解】（1）已知角 的终边经过点 P 3, 4 ，根据三角函数的定义：
r x 2 y 2 32 4 2 5 ，
sin y 4 4 ,cos x 3 ．
r 5 5 r 5
sin π 2cos π sin 2 cos sin 2cos

（2） sin 3π cos π cos sin cos sin
2 2
4 3
2 10
5 53 4 ．
7
5 5
2π
16．(1)C ， c 2 3
3
答案第 6页，共 9页
(2)4
【详解】（1）由 a 2 b 2 c 2 ab，
a2 b2 c2 ab 1
根据余弦定理，得 cosC ，
2ab 2ab 2
2π
因为0 C π，则C .
3
b 2 3
由 bsinC 2 3sinB，得 ，
sinB sinC
b c
根据正弦定理，得 ，则 c 2 3 .
sin B sinC
（2）由（1）知， a2 b2 12 ab，
2
a b 2 12 ab a b 则 ，即 a b 4，
2
当且仅当 a b 2时等号成立，
则 a b的最大值为 4.
5π 11π
17．(1)最小正周期为 π； 0, , ,π 12 12
π π 1
(2) x 1时，最大值为 4 ； x 时，最小值为 .4 12 2
【分析】（1）利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数 f x 的最小正周期，根据
2x π π [ , 5π ]，结合正弦函数的单调性，进而求得 f x 的单调递增区间；
3 3 3
（2）根据 x
π π ,
2x π ，求得 [
5π
, π] ，结合正弦函数的性质可求答案.
4 4 3 6 6
f x 1 sin 2x π 2π【详解】（1）由函数
2 3
，可得函数 f x 的最小正周期为T π，
2
由 x [0, π]
π
，可得 2x [
π
, 5π ]，
3 3 3
π 2x π π 0 x 5π 3π 2x π 5π 11π令 ，可得 ；令 ，可得 x π，
3 3 2 12 2 3 3 12
f x 0, 5π , 11π 所以函数 的单调递增区间为 ,π . 12 12
π π π 5π π
（2）由 x , ，可得 2x [ , ] ， 4 4 3 6 6
π π π π 1
当 2x 时，即 x 时，函数 f x 取得最小值，最小值为 f ( ) ；
3 2 12 12 2
2x π π π π 1当 时，即 x 时，函数 f x 取得最大值，最大值为 f ( ) ，
3 6 4 4 4
答案第 7页，共 9页
f x x π , π 1 1所以函数 在 上的最大值为 ，最小值为 . 4 4 4 2
18．(1) 3．
(2) 3
2
【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为 0，并利用向量数量积公式计算 .

（2）先计算 b ( a 2 b)，再计算∣ a 2 b∣，最后根据向量夹角的余弦公式求
解.
π 1
【详解】（1）由题意可得 a b a b cos 2 1 1，
3 2

因为 2a b a b ，所以 2a b · a b 0，

即 2a2 2 a b a b b 2 2 4 2 1 1 1 9 3 0，
解得 3．

（2）设 b与a 2b 的夹角为 ，由（1）可知， a·b 1，
2
由题意可得b a 2b a b 2b 1 2 1 3，
2
由 a 2b a2 4a b 4b 2 4 4 4 12，得 a 2b 2 3 ，

b a 2b
cos 3 3所以 ．b a 2b 1 2 3 2
3 1
19．(1) AE a b
4 2
(2)BF :FD 2 :3
7
(3) 1, 6
【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案；
（2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案；
（3）利用基底得出 , 的关系，结合对勾函数的性质可得范围.
1 1
【详解】（1）因为 AB∥CD， AB 2CD，所以DC AB a，
2 2
BC BA AD DC a b 1 a b 1 a ,
2 2
1 1 1
因为 E为线段 BC的中点，所以 BE BC a b ，
2 4 2

AE AB BE a 1

a
1 b 3 1 a b .
4 2 4 2
答案第 8页，共 9页
k
（2）设 BF kFD，则 BF BD ，k 1 BD AD AB b a
，

AF AB BF a k

b a
k 1
1
a k b ，
k 1 k 1
1 k 3 1
又 AE , AF共线，所以存在一个实数 ，使得 a b a bk 1 k 1 4 2
，

1 3
k 1 4
，两式相除可得 k
2
，即 BF :FD 2 :3
k
.

3
k 1 2

（3）设DG xDC , x 1

0,1 ； AC AD DC b a ,
2 DB AB AD a b
，

AG AD DG b 1 x a，
2
11
因为 AC DB AG，所以b a a 1 b b xa ，可得 1 1 ，2 2 x 2 2
3 3 1 3 x 2
解得 , 1，所以 1 x 2 3 ，x 2 x 2
1 7
由对勾函数的性质可得 x 0,1 时， 1, . 6
答案第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑