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分课时学案
课题 阅读材料－格点多边形的面积计算 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解格点多边形的定义，能熟练统计格点多边形内部和边界上的格点数，掌握数格子求格点多边形面积的基本方法； 2.经历“观察—统计—猜想—验证—推导”的探究过程，发现并掌握皮克定理，能运用定理快速计算格点多边形的面积； 3.体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，提升数据分析、抽象概括和合作探究能力； 4.感受数学定理的探究价值，了解皮克定理的数学文化，增强数学应用意识和探究数学问题的兴趣。
重点 1.掌握统计格点多边形内、边界格点数的方法，能通过数格子求格点多边形面积； 2.探究并掌握皮克定理，能运用定理解决格点多边形的面积计算问题。
难点 从特殊格点多边形的面积探究中，抽象出面积与内部、边界格点数的一般数量关系，理解并推导皮克定理的表达式。
教学过程
导入新课 情景问题 如图，在方格纸中画出三个格点三角形，第一个内部无格点、边界有个格点；第二个内部个格点、边界有个格点；第三个内部个格点、边界有个格点。分别用数格子的方法求出它们的面积，观察并猜想：格点多边形的面积可能与哪些量有关？这些量之间存在怎样的初步联系？
新知讲解 探究活动一：特殊格点多边形的面积 如图，多边形的各顶点都在方格纸的格，点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形。要计算格点多边形的面积，当然我们可以通过统计多边形内的方格数得到。有没有更简便的方法呢？我们进行如下的探索。 记格点多边形内的格点数为，边界上的格点数为，格点多边形的面积为.图①中，；图②中，. 1.观察图，格点多边形内的格点数均为，统计各格点多边形内的方格数，求出各格点多边形的面积，并填写右表。
2.在图的直角坐标系中画出关于的函数图象，判断函数类型并求出表达式；
3.小组交流数据规律，验证猜想的合理性。 结论：当时，. 探究活动二：一般格点多边形的面积 1.结合教材，请按图片所示，得到不同 , 的格点多边形（含凸、凹图形），统计记录数据如下表； abs041163253.5386
2.上面你求出的函数表达式是当 时的情况。更一般地，格点多边形的面积公式可表示为（其中为常数），你能猜测出的值吗？说出你的结论及理由。 3.用教材图的凹多边形验证定理的适用性。 奥地利数学家皮克（G.Pick,1859~1942）证明了格点多边形的面积公式，人们称之为皮克定理。 想一想 1.皮克定理中，常数“-1”的意义是什么？能否结合格点多边形的构成（如拼接小正方形）解释？
2.为什么皮克定理对凸、凹格点多边形都适用？ 方法总结： 探究活动三：皮克定理的应用 例1：格点多边形内部有3个格点，边界有10个格点，求这个格点多边形的面积； 例2：某格点多边形面积为，内部有个格点，求边界格点数。 总结归纳：
课堂练习 课堂练习 1.下列图形中，属于格点多边形的是（ ） A.顶点在方格纸线中间的三角形 B.顶点在格点上的五边形 C.边不与方格线平行的不规则图形 D.顶点部分在格点的四边形 2.若格点多边形内部格点数，边界格点数，则其面积为（ ） A.4B.5C.6D.7 3.某格点多边形面积，边界格点数，则内部格点数为（ ） A.3B.4C.5D.6 4.关于皮克定理，下列说法正确的是（ ） A.仅适用于凸格点多边形 B.常数“-1”是边界格点重复计数的修正值 C.面积与内部格点数无关 D.边界格点数不包含顶点 5.格点多边形，其面积______平方单位； 6.若格点多边形，则边界格点数______. 7.如图，凸格点多边形内部有 8 个格点，边界上有 11个格点，求其面积。 8.用方格纸模拟一块不规则地块（格点多边形），测量得内部格点，边界格，若每个方格边长为 米，求地块实际面积。
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点：
参考答案：
情景问题：1.面积计算：第一个面积平方单位，第二个面积平方单位，第三个面积平方单位；
2.猜想：格点多边形的面积与内部的格点数、边界的格点数有关；内部格点数越多、边界格点数越多，面积越大；初步发现面积约为边界格点数的一半加上内部格点数再做调整。
探究三：
（1）解：已知，代入皮克定理得（平方单位）；
（2）解：已知,
代入定理得,
解得（个）。
课堂练习：
答案：1.B;2A;3.B;4.B;5.8;6.8;
7. 解：根据题意代入公式：S=8+0.5×11 1=8+5.5 1=12.5。
8. 解：,
因为方格边长 1 米，单位面积为1平方米，
所以地块实际面积为 17 平方米。
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阅读材料:格点多边形的面积计算
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
经历“观察—统计—猜想—验证—推导”的探究过程,发现并掌握皮克定理,能运用定理快速计算格点多边形的面积;
02
理解格点多边形的定义,能熟练统计格点多边形内部和边界上的格点数,掌握数格子求格点多边形面积的基本方法;
01
体会数形结合、从特殊到一般的数学思想,提升数据分析、抽象概括和合作探究能力;
03
感受数学定理的探究价值,了解皮克定理的数学文化,增强数学应用意识和探究数学问题的兴趣.
04
情景问题
如图,在方格纸中画出三个格点三角形,第一个内部无格点、边界有3个格点;第二个内部1个格点、边界有4个格点;第三个内部1个格点、边界有6个格点.分别用数格子的方法求出它们的面积,观察并猜想:格点多边形的面积可能与哪些量有关？这些量之间存在怎样的初步联系？
情景问题
1.面积计算:第一个面积0.5平方单位,第二个面积2平方单位,第三个面积3平方单位;
2.猜想:格点多边形的面积与内部的格点数、边界的格点数有关;内部格点数越多、边界格点数越多,面积越大;初步发现面积约为边界格点数的一半加上内部格点数再做调整.
探究新知
探究一：特殊格点多边形的面积
如图,多边形的各顶点都在方格纸的格,点(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形.要计算格点多边形的面积,当然我们可以通过统计多边形内的方格数得到.有没有更简便的方法呢？我们进行如下的探索.
探究新知
探究一：特殊格点多边形的面积
用数格子的方法可知图①的面积为5.5;图②的面积为6;图③的面积为6.5;图④的面积为7.
探究新知
探究一：特殊格点多边形的面积
记格点多边形内的格点数为,边界上的格点数为,格点多边形的面积为.图①中,;图②中,.
1.观察图,格点多边形内的格点数均为,统计各格点多边形内的方格数,求出各格点多边形的面积,并填写右表.
5
5.5
6
6
7
6.5
8
7
探究新知
探究一：特殊格点多边形的面积
2.在图的直角坐标系中画出关于的函数图象,判断函数类型并求出表达式;
可以发现这是一个一次函数,
设函数解析式为,
代入,
解得,.
探究新知
探究一：特殊格点多边形的面积
3.小组交流数据规律,验证猜想的合理性.
结论:当时,.
当时,.
探究新知
探究二：一般格点多边形的面积
1.结合教材,请按图片所示,得到不同的格点多边形(含凸、凹图形),统计记录数据如下表;
0
4
1
1
6
3
2
5
3.5
3
8
6
探究新知
探究二：一般格点多边形的面积
2.上面你求出的函数表达式是当 时的情况。更一般地,格点多边形的面积公式可表示为(其中为常数),你能猜测出的值吗？说出你的结论及理由。
代入上表中的数据解得,
即格点多边形的面积公式为：.
探究新知
探究二：一般格点多边形的面积
数格子法:这个图形的面积为:7+1.5+1+2+4=15.5;
3.用教材图的凹多边形验证定理的适用性.
公式法:,代入面积公式得:.
探究新知
探究二：一般格点多边形的面积
奥地利数学家皮克(G.Pick,1859~1942)证明了格点多边形的面积公式,人们称之为皮克定理.
想一想
1.皮克定理中,常数“-1”的意义是什么？能否结合格点多边形的构成解释？
常数“-1”是格点多边形边界格点重复计数的修正值;拼接格点多边形时,边界格点被两个相邻图形共用,计数时会重复计算,“-1”可抵消重复部分,确保面积计算准确.
探究新知
探究二：一般格点多边形的面积
奥地利数学家皮克(G.Pick,1859~1942)证明了格点多边形的面积公式,人们称之为皮克定理.
想一想
2.为什么皮克定理对凸、凹格点多边形都适用？
无论凸、凹格点多边形,其面积均可通过“分割成小正方形或三角形”计算,核心是内部格点不重复、边界格点计数规则统一,因此定理普适.
探究新知
方法总结：
皮克定理：
记格点多边形内的格点数为,边界上的格点数为,
格点多边形的面积为.
探究新知
探究三：皮克定理的应用
例1:格点多边形内部有个格点,边界有个格点,求这个格点多边形的面积;
解:已知,
代入皮克定理得(平方单位);
探究新知
探究三：皮克定理的应用
例2:某格点多边形面积为7,内部有4个格点,求边界格点数.
解:已知,
代入定理得,
解得(个).
探究新知
方法总结：
1.直接计算:明确的统计规则,代入直接求解;
2.逆向求解:将已知量代入定理,通过解方程求出未知量(或);
3.关键技巧:统计边界格点时遵循“不重复、不遗漏”原则,复杂图形可分割辅助统计.
课堂练习
1.下列图形中,属于格点多边形的是( )
A.顶点在方格纸线中间的三角形 B.顶点在格点上的五边形
C.边不与方格线平行的不规则图形 D.顶点部分在格点的四边形
2.若格点多边形内部格点数,边界格点数,则其面积为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.某格点多边形面积,边界格点数,则内部格点数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
B
A
B
课堂练习
4.关于皮克定理,下列说法正确的是( )
A.仅适用于凸格点多边形
B.常数“-1”是边界格点重复计数的修正值
C.面积与内部格点数无关
D.边界格点数不包含顶点
5.格点多边形,其面积______平方单位;
6.若格点多边形,则边界格点数______.
B
8
8
课堂练习
7.如图,凸格点多边形内部有 个格点,边界上有个格点(含顶点),求其面积。
解:根据题意代入公式：.
课堂练习
8.用方格纸模拟一块不规则地块(格点多边形),测量得内部格点a=10,边界格点b=16,若每个方格边长为 1 米,求地块实际面积。
解：,
因为方格边长 1 米,单位面积为1平方米,
所以地块实际面积为 17 平方米.
课堂小结
知识点：
1.概念层面:理解格点多边形的定义,掌握内部格点(a)与边界格点(b)的统计方法,明确计数规则.
2.定理层面:牢记皮克定理S=a+0.5b 1,理解定理的推导逻辑(特殊到一般)与普适性(凸、凹多边形均适用).
3.应用层面:能运用定理解决直接计算、逆向求解等问题,掌握复杂图形的格点统计技巧,提升知识应用的灵活性.
4.素养层面:体会从特殊到一般、数形结合的数学思想,发展数据分析与逻辑推理能力,感受数学文化的价值,为后续不规则图形面积估算奠定基础.
知识梳理
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阅读材料－格点多边形的面积计算教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 阅读材料－格点多边形的面积计算 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”“数与代数”跨领域核心素养要求，引导学生探究格点多边形的面积计算方法，发现并掌握皮克定理，体会数形结合、从特殊到一般的数学思想；通过观察、统计、猜想、验证的探究过程，发展几何直观、数据分析观念和抽象概括能力；能运用皮克定理解决格点多边形的面积计算问题，提升数学应用意识；培养合作探究能力，感受数学定理的探究过程与数学文化的价值，契合新课标“强化跨领域探究，发展综合素养”的导向。
教材分析 本节课是平行四边形章节的拓展阅读材料，是平面图形面积计算的延伸，兼具探究性与实践性。教材以格点多边形为研究对象，从固定内部格点数的特殊情况出发，引导学生统计、计算面积并探究其与边界格点数的函数关系，进而推广到一般形式的皮克定理，还兼顾凹多边形的验证与数学文化介绍。内容设计遵循“特殊—一般—验证”的探究规律，融合图形面积与代数函数知识，既巩固了多边形面积计算的基础，又培养了学生的探究能力，是提升数学综合素养的重要拓展内容。
学情分析 学生已掌握三角形、平行四边形、多边形的面积计算方法，具备方格纸中数格子求面积的基本能力，也掌握了一次函数的探究与求解方法，具备初步的观察、猜想和验证能力。但学生对“从特殊情况推导一般定理”的探究思路需引导，难以自主发现面积与内、边界格点数的数量关系；对皮克定理中常数的推导和验证存在困难；部分学生在统计凹多边形的内、边界格点数时易出现计数错误，数形结合的应用能力仍有欠缺。
教学目标 1.理解格点多边形的定义，能熟练统计格点多边形内部和边界上的格点数，掌握数格子求格点多边形面积的基本方法； 2.经历“观察—统计—猜想—验证—推导”的探究过程，发现并掌握皮克定理，能运用定理快速计算格点多边形的面积； 3.体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，提升数据分析、抽象概括和合作探究能力； 4.感受数学定理的探究价值，了解皮克定理的数学文化，增强数学应用意识和探究数学问题的兴趣。
教学重点 1.掌握统计格点多边形内、边界格点数的方法，能通过数格子求格点多边形面积； 2.探究并掌握皮克定理，能运用定理解决格点多边形的面积计算问题。
教学难点 从特殊格点多边形的面积探究中，抽象出面积与内部、边界格点数的一般数量关系，理解并推导皮克定理的表达式。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景问题 如图，在方格纸中画出三个格点三角形，第一个内部无格点、边界有个格点；第二个内部个格点、边界有个格点；第三个内部个格点、边界有个格点。分别用数格子的方法求出它们的面积，观察并猜想：格点多边形的面积可能与哪些量有关？这些量之间存在怎样的初步联系？ 答案 1.面积计算：第一个面积平方单位，第二个面积平方单位，第三个面积平方单位； 2.猜想：格点多边形的面积与内部的格点数、边界的格点数有关；内部格点数越多、边界格点数越多，面积越大；初步发现面积约为边界格点数的一半加上内部格点数再做调整. 呈现格点三角形图形，引导学生数格子求面积，启发观察面积与格点数量的关联。 独立计算面积，记录内部格点数（a）、边界格点数（b），猜想三者关系。 从简单图形切入，激活数格子经验，激发探究兴趣，为后续定理推导铺垫直观基础。
探究活动一：特殊格点多边形的面积 如图，多边形的各顶点都在方格纸的格，点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形。要计算格点多边形的面积，当然我们可以通过统计多边形内的方格数得到。有没有更简便的方法呢？我们进行如下的探索。 记格点多边形内的格点数为，边界上的格点数为，格点多边形的面积为.图①中，；图②中，. 1.观察图，格点多边形内的格点数均为，统计各格点多边形内的方格数，求出各格点多边形的面积，并填写右表。
2.在图的直角坐标系中画出关于的函数图象，判断函数类型并求出表达式；
3.小组交流数据规律，验证猜想的合理性。 结论：当时，. 提供图4-43素材，指导学生统计数据、绘制函数图象，引导分析规律并推导表达式。 分组统计a=4时的b和S，绘制图象，推导S与b的函数关系。 经历“统计—绘图—分析”过程，培养数据分析能力，体会数形结合思想，突破“特殊到一般”的探究起点。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：一般格点多边形的面积 1.结合教材，请按图片所示，得到不同 , 的格点多边形（含凸、凹图形），统计记录数据如下表； abs041163253.5386
2.上面你求出的函数表达式是当 时的情况。更一般地，格点多边形的面积公式可表示为（其中为常数），你能猜测出的值吗？说出你的结论及理由。 代入上表中的数据解得，即格点多边形的面积公式为：.
3.用教材图的凹多边形验证定理的适用性。 数格子法：这个图形的面积为：7+1.5+1+2+4=15.5 公式法：，此时这个多边形的面积为：. 奥地利数学家皮克（G.Pick,1859~1942）证明了格点多边形的面积公式，人们称之为皮克定理。查找有关皮克定理的资料，并和你探究的结果作比较。
想一想 1.皮克定理中，常数“-1”的意义是什么？能否结合格点多边形的构成（如拼接小正方形）解释？
答：常数“-1”是格点多边形边界格点重复计数的修正值；拼接格点多边形时，边界格点被两个相邻图形共用，计数时会重复计算，“-1”可抵消重复部分，确保面积计算准确。
2.为什么皮克定理对凸、凹格点多边形都适用？
答：无论凸、凹格点多边形，其面积均可通过“分割成小正方形或三角形”计算，核心是内部格点不重复、边界格点计数规则统一，因此定理普适。 总结归纳： 皮克定理：记格点多边形内的格点数为，边界上的格点数为，格点多边形的面积为. 引导学生拓展统计多组数据，猜想皮克定理中m、n的值，示范凹多边形验证方法，补充数学文化。 参与数据汇总与方程求解，用凹多边形验证定理，理解定理普适性。 落实“特殊—一般—验证”探究逻辑，深化对定理的理解，渗透数学文化，发展逻辑推理能力。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：皮克定理的应用 例1：格点多边形内部有3个格点，边界有10个格点，求这个格点多边形的面积； 解：已知，代入皮克定理得（平方单位）； 例2：某格点多边形面积为，内部有个格点，求边界格点数。 解：已知, 代入定理得, 解得（个）。 总结归纳： 1.直接计算：明确的统计规则，代入直接求解； 2.逆向求解：将已知量代入定理，通过解方程求出未知量(或； 3.关键技巧：统计边界格点时遵循“不重复、不遗漏”原则，复杂图形可分割辅助统计。 引导学生分析例题条件，点拨逆向应用的解题思路，规范解题步骤。 运用定理解决直接计算与逆向求解问题，总结解题技巧。 巩固定理应用，提升知识迁移能力，突破“逆向求解”难点，强化应用意识。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.下列图形中，属于格点多边形的是（ ） A.顶点在方格纸线中间的三角形 B.顶点在格点上的五边形 C.边不与方格线平行的不规则图形 D.顶点部分在格点的四边形 2.若格点多边形内部格点数，边界格点数，则其面积为（ ） A.4B.5C.6D.7 某格点多边形面积，边界格点数，则内部格点数为（ ） A.3B.4C.5D.6 4.关于皮克定理，下列说法正确的是（ ） A.仅适用于凸格点多边形 B.常数“-1”是边界格点重复计数的修正值 C.面积与内部格点数无关 D.边界格点数不包含顶点 5.格点多边形，其面积______平方单位； 6.若格点多边形，则边界格点数______. 7.如图，凸格点多边形内部有 8 个格点，边界上有 11个格点，求其面积。 8.用方格纸模拟一块不规则地块（格点多边形），测量得内部格点，边界格点，若每个方格边长为 米，求地块实际面积。 答案：1.B;2.A;3.B;4.B;5.8;6.8; 7. 解：根据题意代入公式：S=8+0.5×11 1=8+5.5 1=12.5。 8. 解：, 因为方格边长 1 米，单位面积为1平方米， 所以地块实际面积为 17 平方米。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.概念层面：理解格点多边形的定义，掌握内部格点（a）与边界格点（b）的统计方法，明确计数规则。 2.定理层面：牢记皮克定理S=a+0.5b 1，理解定理的推导逻辑（特殊到一般）与普适性（凸、凹多边形）均适用。 3.应用层面：能运用定理解决直接计算、逆向求解等问题，掌握复杂图形的格点统计技巧，提升知识应用的灵活性。 4.素养层面：体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，发展数据分析与逻辑推理能力，感受数学文化的价值，为后续不规则图形面积估算奠定基础。 教师以提问的形式小结。 学生思考自由回答，自我小结。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 4.7 格点多边形的面积计算 一、核心概念：顶点在格点上的多边形 二、探究过程 1. 基础方法：数格子（统计方格数） 2. 特殊推导：时，（图像验证：一次函数） 3. 一般定理：（皮克定理） 验证：凸、凹多边形均适用 三、统计技巧：边界格点有序计数（顶点不重复） 四、思想方法：数形结合、从特殊到一般 五、应用：直接计算、逆向求解、实际估算 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
教学反思 本节课以格点三角形的面积探究导入，贴合学生认知，有效激发了探究兴趣，多数学生能掌握格点统计方法和皮克定理，并能进行简单应用。但教学中仍存在不足：一是部分学生统计凹多边形或复杂格点多边形的边界格点数时易重复、遗漏，计数不准确；二是探究定理时，学生难以自主从特殊数据中抽象出一般规律，需教师反复引导；三是部分学生仅机械记忆皮克定理，对定理的推导过程和本质理解不透彻。后续教学需增加格点统计的专项训练，教给学生有序计数的方法，放慢定理探究的节奏，通过多组特殊数据引导学生自主发现规律，同时增加定理的验证练习，让学生真正理解定理的内涵。
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