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2026年甘肃武威市凉州区武威十二中、中坝中学一模数学试题
1．下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，B不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否同时满足两种对称性，从而选出正确答案。
2．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
3．已知，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】先对分式进行变形，统一分母为，再分别计算与的和、差、积、商，逐一验证选项的正确性。
4．一元二次方程的两根为、，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知一元二次方程 的两根为 、，
根据一元二次方程 （）的根与系数的关系：
在方程 中，，，，因此：
对目标式 通分变形，可得：
将 、 代入上式，计算得：
故答案为：A。
【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，先通过韦达定理直接求出方程两根的和与积，再对目标分式进行通分变形，将其转化为用两根和与积表示的形式，最后代入计算即可。
5．如图，是直径，是弦且，垂足为．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：已知 ，则圆的半径 。
因为 ，所以 。
由垂径定理， 可得 为 的中点，即 ，且 。
在 中，根据勾股定理：
因此 。
故答案为：D。
【分析】 根据垂径定理，直径垂直于弦时，直径平分弦，因此 ；由半径 可知 ，结合 ，可得 ；在 中，利用勾股定理 ；因此 。
6．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（　　）
A．10 B．0.3 C．3 D．7
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：多次重复试验后，摸出红球的频率稳定在 0.3 左右，根据频率与概率的关系，可估计摸出红球的概率为 0.3。已知袋子中共有 10 个球，
因此红球的个数约为：10×0.3=3
即袋子中红球的个数最有可能是 3 个。
故答案为：C。
【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在其理论概率附近，因此可以用稳定的频率值近似估计概率，再结合总球数计算出红球的大致个数。
7．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过、两点，若的面积等于，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作 轴于点 ，交 于点 ；作 轴于点 。设点 的坐标为 。
由 且 轴，可得：，，。
又 轴，故 ，结合 ，可证四边形 是矩形。
因此 ，且 。
由 ，，根据等腰三角形“三线合一”性质， 为 中点，故 。
将 代入反比例函数 ，得 ，即点 的坐标为 。
由 轴，得 ；又 ，可证四边形 是矩形，因此 。
则 。
已知 的面积为 ，由三角形面积公式：
代入 ，，得：
化简得 ，解得 。
综上，反比例函数的参数 的值为 。
故答案为：；D。
【分析】本题是反比例函数与等腰三角形、矩形性质的综合应用，解题过程层层递进，关键突破点如下：作轴、轴，结合轴的条件，可判定四边形、均为矩形，从而实现“坐标与线段长度的双向转化”（如、），这是建立各点坐标关系的基础且，根据“三线合一”，为中点，因此。结合矩形中，可直接推出，快速得到点的横坐标。点、均在上，因此点的纵坐标可通过代入直接求出，为后续计算的长度提供数据。通过求出的高，再代入面积公式，可消去参数，直接建立关于的一元一次方程，实现从几何关系到代数求解的转化。
8．如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设 。
因为 ，根据平行线分线段成比例定理，可得：
代入已知线段长度 、、，得：
交叉相乘并解方程：
因此 。
因为 ，可得：
因此 （两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，有：
其中 ，代入得：
综上，最终的比例关系为 。
故答案为：B。
【分析】本题是平行线分线段成比例与相似三角形的综合应用，解题分两步进行：先利用 ，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解 的长度；再由 证明 ，利用相似三角形的对应边成比例求出最终比值。
9．如图，在直角三角形中，，点D为的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在 中，，点 为 的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得：
已知 ，由勾股定理 ，得：
根据余弦定义 ，可得：
因为 ，所以 。在 中，由 ，可得：
综上， 的长度为 。
故答案为：C。
【分析】 本题是直角三角形性质与三角函数的综合题，解题核心分为三步：先利用直角三角形斜边中线定理求出斜边 及中线 的长度；再通过勾股定理求出直角边 ，进而计算 的余弦值；最后在 中，利用三角函数定义求出 的长度。
10．如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：① 由抛物线开口向上，得 ；对称轴在y轴左侧（），即 ，得 ；抛物线与y轴交于负半轴，得 。因此 ，结论①错误；
② 抛物线与x轴交于，对称轴为，根据对称性，另一交点为。当时，点在x轴上方（开口向上），故，结论②正确；
③ 对称轴为，即。令，代入抛物线方程得，化简得，即，解得或。因此当时，或，结论③正确；
④ 将顶点和交点代入抛物线方程，得：
两式相减得，即。由，得；再由，得。因此，与结论不符，故结论④错误；
综上，正确的结论为②③，共2个，
故答案为：C。
【分析】①通过抛物线开口向上（）、对称轴在y轴左侧（）、与y轴交于负半轴（），可判断，结论①错误。
②利用对称性求出抛物线与x轴的另一交点为，再根据开口向上的性质，判断时函数值，结论②正确。
③令，代入解得或，结合开口向上的图像特征，可得时或，结论③正确。
④将顶点和交点代入解析式，推导出、、，计算得，与结论不符，故结论④错误。
11．因式分解：9x2-18x+9=　 　.
【答案】9(x-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：9x2-18x+9=9(x2-2x+1)=9(x-1)2
故答案为：9(x-1)2
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
12．一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：因为是一元二次方程，
所以．
因为方程有两个不相等的实数根，
所以方程根的判别式，即
解得.
所以的取值范围为且．
故答案为：且；
【分析】先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到；再根据方程有两个不相等的实数根，根的判别式，列不等式解得；最后综合上述两个条件，得到的取值范围为且。
13．已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点B的坐标为．
故答案为：；
【分析】根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律（横、纵坐标均互为相反数），直接将点 A (-2， 3) 的横、纵坐标取反，即可得到对称点 B 的坐标 (2， -3)。
14．如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 　 　 °．
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：70；
【分析】先利用圆周角定理，由已知的∠CAB 度数求出圆心角∠BOC 的度数；再根据垂径定理，由 AB⊥CD 推出弧 BC 与弧 BD 相等，进而得到∠BOD=∠BOC；最后结合等腰三角形 OBD 的性质与三角形内角和定理，计算出∠OBD 的度数。
15．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为　 　．
【答案】16
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，作，垂足为H．
∵，
∴．
设A，则根据反比例函数的对称性得到 B，
∴
∴
故答案为：16；
【分析】首先作辅助线 ，由 利用等腰三角形三线合一性质，得 ；然后设点 ，根据反比例函数的中心对称性，得点 ；最后由点 的坐标得 ，再结合 ，利用三角形面积公式计算 。
16．如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，
，
，
，即，
，
，
，
E为的中点，
，
，
如图，过点G作于点H．
，
，则，
，，
，
．
，平分，
，
，
，即，
解得，
．
故答案为：；
【分析】先由矩形性质及 ，证得 ，由 ，求得 ，再由勾股定理 ；再过 作 于 ，由 得
；结合 平分 ，得 ，故 ；由
，解得 ；在
中，。
17．如图，在中，，点D为中点，连接，过点D作交于点E，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点F，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设、，则、，
点D为中点，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
、，
，
在中，
．
故答案为：；
【分析】先过点作，由得，结合，设、，推出、；再由为中点得，进而得，分别用勾股定理表示、；然后结合，在中用勾股定理建立的表达式，再由建立方程，解得；根据正切定义，。
18．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图、俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块至少有　 　个．
【答案】9
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：根据主视图和俯视图可知在俯视图分为三行三列，从左边数第一列其中一行必须有2个小正方形，剩下的两行最少有1个小正方形，中间一列只有中下两层有小正方形，且其中一行必须有2个小正方形，另外一行最少有1个小正方形，第三列下面一层有1个小正方形，
∴这个几何体的小立方块至少有个，
故答案为：9．
【分析】结合主视图与俯视图，确定几何体的行列分布及各列的层数要求；对俯视图每个位置，按主视图的层数要求确定最少小立方块数量；将所有位置的最少数量相加，得到总数为 9 个。
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为，，，请解答下列问题：
（1）若与关于原点O中心对称，请画出；
（2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，请画出并直接写出点的坐标及点A旋转时走过的路程（每个小正方形的边长为1）．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，

；
点A旋转时走过的路程为：
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：如图所示，即为所求，，
∵线段，
∴点A旋转时走过的路程为：．

【分析】(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征，求出△ABC 各顶点的对称点坐标，再描点连线得到△A1B1C1。
(2) 根据旋转的性质画出△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 后的△A2B2C2，再用勾股定理算出 AC 的长度，最后用扇形弧长公式求出点 A 旋转时走过的路程。
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求，，
∵线段，
∴点A旋转时走过的路程为：．
20．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
∴原式.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据分式混合运算法则，对原式进行通分、因式分解和约分，将式子化简为最简形式；再代入特殊角的三角函数值计算出x的值；最后将x的值代入化简后的分式中，计算得出最终结果。
21．已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】解：设每次降价的百分率为．由题意，得．
解得，（舍去）．
答：每次降价的百分率是．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设每次降价的百分率为 ，根据两次降价的关系，列出方程 ；解这个一元二次方程，得到两个解，舍去不符合题意的 ；取正值 ，转化为百分数，得出每次降价的百分率为10%。
22．如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：由旋转的性质可知，
设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：延长到H，使得，
∵，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1) 由旋转性质得 ，设其长度为 ；结合正方形边长 和 ，在 中利用勾股定理 建立方程；解方程求出 ，再由 得到最终结果。
(2) 延长 到 ，使 ，构造辅助线；利用正方形性质证明 (SAS)，得 ；结合 推出 ，再证 ，得 ；由 ，等量代换得 。
（1）解：由旋转的性质可知，
设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：延长到H，使得，
∵，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．如图，为的直径，的边，分别与交于D，E，若．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）解：证明：连接、，
∵E为的中点
∴，
∴，，
∵是直径所对的圆周角，
∴，
即，
∴
在和中
，
∴
∴，
∴；
（2）解：在中，
设半径为r，则，
∵
∴，
∵，
∴
在中
∴
解得：．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 连接 、，由弧中点性质得 ，再结合直径所对圆周角为直角及 ，证 ，得 ，结合弧中点性质 ，故 。
(2) 在 中用勾股定理求 ，设半径为 ，在 中列勾股定理方程，求解得 的半径为 。
（1）证明：连接、，
∵E为的中点
∴，
∴，，
∵是直径所对的圆周角，
∴，
即，
∴
在和中
，
∴
∴，
∴；
（2）解：在中，
设半径为r，则，
∵
∴，
∵，
∴
在中
∴
解得：．
24．如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数的图象交于，B两点，
∴，
∴点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
当时， ，
∴；
当时，，
∵，
∴，
解得或（舍去，此时点与点重合），
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵一次函数图象交x轴于点C，交y轴于点D，
∴点，点，
∴，
∴，
∵点是x轴上一点，
∴．
∵的面积是面积的6倍，
∴，
解得或，
∴点或点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1) 先将点代入一次函数解析式，求出，得到，再代入反比例函数求出；再根据，利用一次函数与坐标轴的交点坐标建立关于的方程，解得，得到一次函数解析式。
(2) 先求出、，计算出；根据的面积是的6倍，利用三角形面积公式列方程，解得或，得到点的坐标。
（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数的图象交于，B两点，
∴，
∴点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
当时， ，
∴；
当时，，
∵，
∴，
解得或（舍去，此时点与点重合），
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵一次函数图象交x轴于点C，交y轴于点D，
∴点，点，
∴，
∴，
∵点是x轴上一点，
∴．
∵的面积是面积的6倍，
∴，
解得或，
∴点或点．
25．如图，已知中，以为直径的交于点，．
（1）求证：为的切线；
（2）若为中点，，，求的长．
【答案】（1）解：证明如下：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线．
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；等腰直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1) 由直径所对圆周角为直角得∠ADB=90°，结合同弧所对圆周角相等及已知∠CBD=∠E，通过等量代换推出∠ABC=90°，从而证明BC为⊙O的切线。
(2) 先利用同弧所对圆周角相等，将转化为，求出直径；再由E为弧AB中点，得出△ABE为等腰直角三角形，利用三角函数求出。
（1）解：证明如下：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线．
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
26．为庆祝建党周年，今年国庆节推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，同学们到几个社区作随机调查，了解市民对电影的喜爱程度．同学小王将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：《我和我的父辈》、《长津湖》、《铁道英雄》、《五个扑水的少年》）
（1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是 ▲ ；
（2）小王打算从喜欢《我和我的父辈》的4位璧山人民（一男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？
【答案】（1）解：补全图形如下：
；
36°
（2）解：根据题意列表如下：
女1 女2 女3 男
女1 女1女2 女1女3 女1男
女2 女2女1 女2女3 女2男
女3 女3女1 女3女2 女3男
男 男女1 男女2 男女3
由表可知总有种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有种，
∴抽到一男一女的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；圆心角的概念
【解析】【解答】解：（1）解：∵被调查的总人数为：（人），
∴种类的人数为：（人），
补全图形如下：
∴扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是；
故答案为：36°；
【分析】(1) 先由 A 类人数和所占百分比求出总人数，再用总人数减去其他三类人数得到 D 类人数，最后用 D 类人数占比乘以360 算出圆心角度数。
(2) 通过列表法列出所有可能的抽取结果，再根据一男一女的情况数除以总情况数，求出抽到一男一女的概率。
（1）解：∵被调查的总人数为：（人），
∴种类的人数为：（人），
补全图形如下：
∴扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是；
（2）解：根据题意列表如下：
女1 女2 女3 男
女1 　 女1女2 女1女3 女1男
女2 女2女1 　 女2女3 女2男
女3 女3女1 女3女2 　 女3男
男 男女1 男女2 男女3 　
由表可知总有种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有种，
∴抽到一男一女的概率为：．
27．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或。
【分析】（1）把点 A、C 的坐标代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到抛物线的解析式。
（2）先求出点 B 坐标和直线 BC 的解析式，再将点 P 到直线 BC 的距离转化为线段 PQ 的长度，通过求二次函数的最大值，确定点 P 的坐标。
（3）设出点 M、N 的坐标，分三种情况讨论平行四边形的对角线，利用对角线中点重合的性质列方程求解，得到所有符合条件的点 M 坐标 。
（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）解：存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或．
1 / 12026年甘肃武威市凉州区武威十二中、中坝中学一模数学试题
1．下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
3．已知，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程的两根为、，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是直径，是弦且，垂足为．若，，则（　　）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（　　）
A．10 B．0.3 C．3 D．7
7．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过、两点，若的面积等于，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
8．如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在直角三角形中，，点D为的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
10．如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①④
11．因式分解：9x2-18x+9=　 　.
12．一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是　 　．
13．已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标为　 　．
14．如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 　 　 °．
15．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为　 　．
16．如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为　 　．
17．如图，在中，，点D为中点，连接，过点D作交于点E，若，则的值为　 　．
18．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图、俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块至少有　 　个．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为，，，请解答下列问题：
（1）若与关于原点O中心对称，请画出；
（2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，请画出并直接写出点的坐标及点A旋转时走过的路程（每个小正方形的边长为1）．
20．先化简，再求代数式的值，其中．
21．已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
22．如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
23．如图，为的直径，的边，分别与交于D，E，若．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
24．如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标．
25．如图，已知中，以为直径的交于点，．
（1）求证：为的切线；
（2）若为中点，，，求的长．
26．为庆祝建党周年，今年国庆节推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，同学们到几个社区作随机调查，了解市民对电影的喜爱程度．同学小王将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：《我和我的父辈》、《长津湖》、《铁道英雄》、《五个扑水的少年》）
（1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是 ▲ ；
（2）小王打算从喜欢《我和我的父辈》的4位璧山人民（一男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？
27．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，B不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否同时满足两种对称性，从而选出正确答案。
2．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
3．【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】先对分式进行变形，统一分母为，再分别计算与的和、差、积、商，逐一验证选项的正确性。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知一元二次方程 的两根为 、，
根据一元二次方程 （）的根与系数的关系：
在方程 中，，，，因此：
对目标式 通分变形，可得：
将 、 代入上式，计算得：
故答案为：A。
【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，先通过韦达定理直接求出方程两根的和与积，再对目标分式进行通分变形，将其转化为用两根和与积表示的形式，最后代入计算即可。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：已知 ，则圆的半径 。
因为 ，所以 。
由垂径定理， 可得 为 的中点，即 ，且 。
在 中，根据勾股定理：
因此 。
故答案为：D。
【分析】 根据垂径定理，直径垂直于弦时，直径平分弦，因此 ；由半径 可知 ，结合 ，可得 ；在 中，利用勾股定理 ；因此 。
6．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：多次重复试验后，摸出红球的频率稳定在 0.3 左右，根据频率与概率的关系，可估计摸出红球的概率为 0.3。已知袋子中共有 10 个球，
因此红球的个数约为：10×0.3=3
即袋子中红球的个数最有可能是 3 个。
故答案为：C。
【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在其理论概率附近，因此可以用稳定的频率值近似估计概率，再结合总球数计算出红球的大致个数。
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作 轴于点 ，交 于点 ；作 轴于点 。设点 的坐标为 。
由 且 轴，可得：，，。
又 轴，故 ，结合 ，可证四边形 是矩形。
因此 ，且 。
由 ，，根据等腰三角形“三线合一”性质， 为 中点，故 。
将 代入反比例函数 ，得 ，即点 的坐标为 。
由 轴，得 ；又 ，可证四边形 是矩形，因此 。
则 。
已知 的面积为 ，由三角形面积公式：
代入 ，，得：
化简得 ，解得 。
综上，反比例函数的参数 的值为 。
故答案为：；D。
【分析】本题是反比例函数与等腰三角形、矩形性质的综合应用，解题过程层层递进，关键突破点如下：作轴、轴，结合轴的条件，可判定四边形、均为矩形，从而实现“坐标与线段长度的双向转化”（如、），这是建立各点坐标关系的基础且，根据“三线合一”，为中点，因此。结合矩形中，可直接推出，快速得到点的横坐标。点、均在上，因此点的纵坐标可通过代入直接求出，为后续计算的长度提供数据。通过求出的高，再代入面积公式，可消去参数，直接建立关于的一元一次方程，实现从几何关系到代数求解的转化。
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设 。
因为 ，根据平行线分线段成比例定理，可得：
代入已知线段长度 、、，得：
交叉相乘并解方程：
因此 。
因为 ，可得：
因此 （两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，有：
其中 ，代入得：
综上，最终的比例关系为 。
故答案为：B。
【分析】本题是平行线分线段成比例与相似三角形的综合应用，解题分两步进行：先利用 ，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解 的长度；再由 证明 ，利用相似三角形的对应边成比例求出最终比值。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在 中，，点 为 的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得：
已知 ，由勾股定理 ，得：
根据余弦定义 ，可得：
因为 ，所以 。在 中，由 ，可得：
综上， 的长度为 。
故答案为：C。
【分析】 本题是直角三角形性质与三角函数的综合题，解题核心分为三步：先利用直角三角形斜边中线定理求出斜边 及中线 的长度；再通过勾股定理求出直角边 ，进而计算 的余弦值；最后在 中，利用三角函数定义求出 的长度。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：① 由抛物线开口向上，得 ；对称轴在y轴左侧（），即 ，得 ；抛物线与y轴交于负半轴，得 。因此 ，结论①错误；
② 抛物线与x轴交于，对称轴为，根据对称性，另一交点为。当时，点在x轴上方（开口向上），故，结论②正确；
③ 对称轴为，即。令，代入抛物线方程得，化简得，即，解得或。因此当时，或，结论③正确；
④ 将顶点和交点代入抛物线方程，得：
两式相减得，即。由，得；再由，得。因此，与结论不符，故结论④错误；
综上，正确的结论为②③，共2个，
故答案为：C。
【分析】①通过抛物线开口向上（）、对称轴在y轴左侧（）、与y轴交于负半轴（），可判断，结论①错误。
②利用对称性求出抛物线与x轴的另一交点为，再根据开口向上的性质，判断时函数值，结论②正确。
③令，代入解得或，结合开口向上的图像特征，可得时或，结论③正确。
④将顶点和交点代入解析式，推导出、、，计算得，与结论不符，故结论④错误。
11．【答案】9(x-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：9x2-18x+9=9(x2-2x+1)=9(x-1)2
故答案为：9(x-1)2
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：因为是一元二次方程，
所以．
因为方程有两个不相等的实数根，
所以方程根的判别式，即
解得.
所以的取值范围为且．
故答案为：且；
【分析】先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到；再根据方程有两个不相等的实数根，根的判别式，列不等式解得；最后综合上述两个条件，得到的取值范围为且。
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点B的坐标为．
故答案为：；
【分析】根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律（横、纵坐标均互为相反数），直接将点 A (-2， 3) 的横、纵坐标取反，即可得到对称点 B 的坐标 (2， -3)。
14．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：70；
【分析】先利用圆周角定理，由已知的∠CAB 度数求出圆心角∠BOC 的度数；再根据垂径定理，由 AB⊥CD 推出弧 BC 与弧 BD 相等，进而得到∠BOD=∠BOC；最后结合等腰三角形 OBD 的性质与三角形内角和定理，计算出∠OBD 的度数。
15．【答案】16
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，作，垂足为H．
∵，
∴．
设A，则根据反比例函数的对称性得到 B，
∴
∴
故答案为：16；
【分析】首先作辅助线 ，由 利用等腰三角形三线合一性质，得 ；然后设点 ，根据反比例函数的中心对称性，得点 ；最后由点 的坐标得 ，再结合 ，利用三角形面积公式计算 。
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，
，
，
，即，
，
，
，
E为的中点，
，
，
如图，过点G作于点H．
，
，则，
，，
，
．
，平分，
，
，
，即，
解得，
．
故答案为：；
【分析】先由矩形性质及 ，证得 ，由 ，求得 ，再由勾股定理 ；再过 作 于 ，由 得
；结合 平分 ，得 ，故 ；由
，解得 ；在
中，。
17．【答案】
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点F，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设、，则、，
点D为中点，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
、，
，
在中，
．
故答案为：；
【分析】先过点作，由得，结合，设、，推出、；再由为中点得，进而得，分别用勾股定理表示、；然后结合，在中用勾股定理建立的表达式，再由建立方程，解得；根据正切定义，。
18．【答案】9
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：根据主视图和俯视图可知在俯视图分为三行三列，从左边数第一列其中一行必须有2个小正方形，剩下的两行最少有1个小正方形，中间一列只有中下两层有小正方形，且其中一行必须有2个小正方形，另外一行最少有1个小正方形，第三列下面一层有1个小正方形，
∴这个几何体的小立方块至少有个，
故答案为：9．
【分析】结合主视图与俯视图，确定几何体的行列分布及各列的层数要求；对俯视图每个位置，按主视图的层数要求确定最少小立方块数量；将所有位置的最少数量相加，得到总数为 9 个。
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，

；
点A旋转时走过的路程为：
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：如图所示，即为所求，，
∵线段，
∴点A旋转时走过的路程为：．

【分析】(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征，求出△ABC 各顶点的对称点坐标，再描点连线得到△A1B1C1。
(2) 根据旋转的性质画出△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 后的△A2B2C2，再用勾股定理算出 AC 的长度，最后用扇形弧长公式求出点 A 旋转时走过的路程。
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求，，
∵线段，
∴点A旋转时走过的路程为：．
20．【答案】解：
，
∴原式.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据分式混合运算法则，对原式进行通分、因式分解和约分，将式子化简为最简形式；再代入特殊角的三角函数值计算出x的值；最后将x的值代入化简后的分式中，计算得出最终结果。
21．【答案】解：设每次降价的百分率为．由题意，得．
解得，（舍去）．
答：每次降价的百分率是．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设每次降价的百分率为 ，根据两次降价的关系，列出方程 ；解这个一元二次方程，得到两个解，舍去不符合题意的 ；取正值 ，转化为百分数，得出每次降价的百分率为10%。
22．【答案】（1）解：由旋转的性质可知，
设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：延长到H，使得，
∵，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1) 由旋转性质得 ，设其长度为 ；结合正方形边长 和 ，在 中利用勾股定理 建立方程；解方程求出 ，再由 得到最终结果。
(2) 延长 到 ，使 ，构造辅助线；利用正方形性质证明 (SAS)，得 ；结合 推出 ，再证 ，得 ；由 ，等量代换得 。
（1）解：由旋转的性质可知，
设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：延长到H，使得，
∵，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：证明：连接、，
∵E为的中点
∴，
∴，，
∵是直径所对的圆周角，
∴，
即，
∴
在和中
，
∴
∴，
∴；
（2）解：在中，
设半径为r，则，
∵
∴，
∵，
∴
在中
∴
解得：．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 连接 、，由弧中点性质得 ，再结合直径所对圆周角为直角及 ，证 ，得 ，结合弧中点性质 ，故 。
(2) 在 中用勾股定理求 ，设半径为 ，在 中列勾股定理方程，求解得 的半径为 。
（1）证明：连接、，
∵E为的中点
∴，
∴，，
∵是直径所对的圆周角，
∴，
即，
∴
在和中
，
∴
∴，
∴；
（2）解：在中，
设半径为r，则，
∵
∴，
∵，
∴
在中
∴
解得：．
24．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数的图象交于，B两点，
∴，
∴点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
当时， ，
∴；
当时，，
∵，
∴，
解得或（舍去，此时点与点重合），
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵一次函数图象交x轴于点C，交y轴于点D，
∴点，点，
∴，
∴，
∵点是x轴上一点，
∴．
∵的面积是面积的6倍，
∴，
解得或，
∴点或点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1) 先将点代入一次函数解析式，求出，得到，再代入反比例函数求出；再根据，利用一次函数与坐标轴的交点坐标建立关于的方程，解得，得到一次函数解析式。
(2) 先求出、，计算出；根据的面积是的6倍，利用三角形面积公式列方程，解得或，得到点的坐标。
（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数的图象交于，B两点，
∴，
∴点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
当时， ，
∴；
当时，，
∵，
∴，
解得或（舍去，此时点与点重合），
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵一次函数图象交x轴于点C，交y轴于点D，
∴点，点，
∴，
∴，
∵点是x轴上一点，
∴．
∵的面积是面积的6倍，
∴，
解得或，
∴点或点．
25．【答案】（1）解：证明如下：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线．
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；等腰直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1) 由直径所对圆周角为直角得∠ADB=90°，结合同弧所对圆周角相等及已知∠CBD=∠E，通过等量代换推出∠ABC=90°，从而证明BC为⊙O的切线。
(2) 先利用同弧所对圆周角相等，将转化为，求出直径；再由E为弧AB中点，得出△ABE为等腰直角三角形，利用三角函数求出。
（1）解：证明如下：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线．
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：补全图形如下：
；
36°
（2）解：根据题意列表如下：
女1 女2 女3 男
女1 女1女2 女1女3 女1男
女2 女2女1 女2女3 女2男
女3 女3女1 女3女2 女3男
男 男女1 男女2 男女3
由表可知总有种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有种，
∴抽到一男一女的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；圆心角的概念
【解析】【解答】解：（1）解：∵被调查的总人数为：（人），
∴种类的人数为：（人），
补全图形如下：
∴扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是；
故答案为：36°；
【分析】(1) 先由 A 类人数和所占百分比求出总人数，再用总人数减去其他三类人数得到 D 类人数，最后用 D 类人数占比乘以360 算出圆心角度数。
(2) 通过列表法列出所有可能的抽取结果，再根据一男一女的情况数除以总情况数，求出抽到一男一女的概率。
（1）解：∵被调查的总人数为：（人），
∴种类的人数为：（人），
补全图形如下：
∴扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是；
（2）解：根据题意列表如下：
女1 女2 女3 男
女1 　 女1女2 女1女3 女1男
女2 女2女1 　 女2女3 女2男
女3 女3女1 女3女2 　 女3男
男 男女1 男女2 男女3 　
由表可知总有种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有种，
∴抽到一男一女的概率为：．
27．【答案】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或。
【分析】（1）把点 A、C 的坐标代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到抛物线的解析式。
（2）先求出点 B 坐标和直线 BC 的解析式，再将点 P 到直线 BC 的距离转化为线段 PQ 的长度，通过求二次函数的最大值，确定点 P 的坐标。
（3）设出点 M、N 的坐标，分三种情况讨论平行四边形的对角线，利用对角线中点重合的性质列方程求解，得到所有符合条件的点 M 坐标 。
（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）解：存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或．
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