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山东淄博市临淄中学2025-2026学年高二下学期4月阶段性检测数学试题
一、单选题
1．设是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
2．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则“”是“有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或
6．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
7．已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列计算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．不等式的解集为
11．已知，函数，则（ ）
A．的图象关于y轴对称
B．恰有3个零点
C．恰有2个极值点
D．在上单调递增
三、填空题
12．函数的单调递减区间是__________．
13．给5名同学安排不同的职务：班长、副班长、学习委员、生活委员、纪律委员，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的安排方案种数为________．
14．已知函数，则它的极小值为_______；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是_____________.
四、解答题
15．已知函数是函数的一个极值点.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当，求函数的最小值.
16．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程．
(2)若在区间上单调，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
17．已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)当时，证明：.
18．已知函数.
(1)若存在极值，求a的取值范围；
(2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点.
19．已知函数，．
(1)判断的单调性；
(2)若，求的值；
(3)已知，．若，证明：．
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．A
5．B
6．A
7．D
8．B
9．AC
10．ACD
11．BCD
12．，
13．18
14．
15．（1）由题意
，则
，当时，；
当时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为和
（2）当时，的变化情况如下表
x 0 1 2
＋ 0 － 0 ＋
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
当.
当.
所以当时，函数的最小值为.
16．（1）的定义域为，，
，，
所以函数在处的切线方程为，
即.
（2）由（1）知，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
因为在区间上单调，所以，
故实数的取值范围为；
（3）令，即，，
所以，，
函数有两个不同的零点，等价于与有两个交点，
令，，
则，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，且当时，；当时，，
故要使与有两个交点，需使.
故实数的取值范围为.
17．（1），，
故，
若时，，又，所以，
所以在上单调递减，
所以最大值为，
若，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
最大值为，
若时，时，，
所以在上单调递增，故最大值为，
综上，当时，最大值为；
当时，最大值为；
当时，最大值为；
（2）当时，，定义域为，
，
即证，即，
令，则，
令，，
则，故在上单调递减，
其中，，
由零点存在性定理得，使得，即，
当时，，，当时，，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
最大值为，
，故，
所以，所以，
故.
18．（1），，
当，即时，，在上单调递增，没有极值，
当，即时，令，可得，此时函数单调递增，
令，可得，此时函数单调递减，
所以函数在处取得极大值，没有极小值，符合题意，
故a的取值范围为.
（2）当时，，，
设，
因为，，
所以在上单调递减，
因为，，
所以在存在唯一零点，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在上存在唯一极值点，且，
由，
，
令，，
由，；，，
则在上单调递增，在单调递减，即，
故，即，故，
故在和上各有一个零点，
所以时，函数有且仅有两个零点．
19．（1）由得：，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，解得：，所以当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上递减；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减．
若，则，即，
代入可得：，
令，（），则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，且，
所以，即，
当时，恒成立，即在上单调递增，
又，所以当，，不恒成立，故不成立.
综上所述，；
（3）令，，
所以，令，，
所以在上单调递增，因为，，
所以在上存在唯一零点，令，则，
令，所以；令，所以；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，所以，
所以，得证.

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