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福建泉州市洛江区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题
一、单选题
1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍
C．不变 D．缩小到原来的6倍
3．泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各图象中，变量不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
6．已知一次函数的图象经过三个点，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点
D．若点都在图象上，且，则
9．若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
11．若分式的值为0，则x的值为________．
12．计算__________．
13．一次函数的图象经过点，则________．
14．如图是反比例函数的图像的一部分，已知点，则的值可能是___________．
15．如果关于的方程无解，则______．
16．在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线，
（1）直线恒过的定点坐标是___________；
（2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________．
三、解答题
17．计算：
18．解分式方程：
19．先化简，再求值 ，其中．
20．已知一次函数的图像经过，两点．
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)试判断点是否在这个一次函数的图像上．
21．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点A的纵坐标为2．
(1)当时，求反比例函数的值；
(2)当时，求反比例函数的取值范围．
22．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？
23．根据以下素材，探索完成任务．
天文轨道计算问题
素材1 某星际探测器的主轨道是直线．
素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本；
素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与y轴交于发射基地B；
素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D．
任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k；
任务2 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标．
24．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究：
(1) ， ；
(2)当 且 时，；
(3)如图当垂直时，
猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
25．请仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：．
(1)将分式化为带分式；
(2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？
(3)当______时，分式的最大值是______．
参考答案
1．B
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
2．A
【详解】解：将同时扩大为原来的3倍后，
新分式为，
所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍．
3．B
【详解】解：.
4．D
【详解】解：由函数的定义可知，四个图象中，只有D选项中的图象中，变量不是的函数，
故选：D．
5．B
【详解】解∵，
∴，
∵，，
∴点在第二象限．
故选：B．
6．A
【详解】解：∵一次函数中，
∴随的增大而减小．
∵三个点的纵坐标满足，对应点分别为，，，
∴横坐标满足，即．
7．A
【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两，
用20两买牛，牛的数量为头，
用15两买羊，羊的数量为只，
则，
故选A．
8．B
【详解】解：∵反比例函数中，
∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误，
∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确，
∵将代入，得∴图象不经过点，C错误．
∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误．
故选：B．
9．D
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 分子相等：，
∴ 比较系数：
解得：，
∴ ．
故选：D．
10．B
【详解】解：∵点在的图象上，
∴，
∴点，
∵轴，轴，C，D两点在的图象上，
∴四边形是矩形，
∴点，，
∴，，，，
，
∴，，
∴
，
故选：B．
11．3
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得，
经检验时分母不为0，
故答案为：3．
12．1
【详解】解：．
故答案为：1．
13．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
14．7（答案不唯一，k大于6即可）
【详解】解：过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，
∵点，当时，，即，
由图可知，，
∴，
则的值可能是7，
故答案为：7（答案不唯一，k大于6即可）
15．或0/或
【详解】解：原方程为，
两边同乘（），得，
即，
整理得，
当即时，方程变为，无解；
当时，解为，
若此解为增根（即分母为零），则，解得，此时原方程无解；
综上，或
故答案为：或
16． ；
【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，，
∴直线恒过的定点坐标是；
故答案为：．
（2）解：当直线经过点时，将，代入，
得，解得；
当直线经过点时，将，代入，
得，解得；
∵直线恒过定点，
∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点．
故答案为：．
17．
【详解】解：
．
18．
【详解】解：
方程两边同时乘以得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
19．；2027
【详解】解：
，
当时，原式．
20．(1)
(2)点不在一次函数的图象上
【详解】（1）解：设一次函数关系式为，把，代入得：，
解得：
∴这个一次函数的关系式为；
（2）解：∵当时，，
不在这个一次函数的图像上．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵点的纵坐标为2，代入得，
解得，
，
代入得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
当时，；
（2）解：当时，，
如图，当时，反比例函数随的增大而增大，
．
22．“歼”战机的速度是每小时3600公里
【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：“歼”战机的速度是每小时3600公里．
23．任务1：，；任务2：
【详解】解：任务1：将点代入，得：，
解得：；
将点代入，得，
解得：；
任务2：∵，
∴．
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为．
联立得：，解得：或（舍去），
当时，，
∴点P的坐标为．
24．(1)，
(2)，
(3)①，证明见解析；②
【详解】（1）解：对于直线，
令，则有，故，
令，则有，
解得，故，
∴，．
故答案为：1，1；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，即．
故答案为：，；
（3）解：①线段和的数量关系为，证明如下：
过作轴于，延长交延长线于，
则有，
∴四边形为矩形，，
由（1）知为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（）．
25．(1)
(2)
(3)当时，分式的最大值是5
【详解】（1）解：；
（2）解：∵由（1）得，
∵分式的值是整数，
∴为整数，
∴当x取整数时，是3的整数因数，
∴或，
∴；
（3）解：，
∴当取最小值时，分式有最大值．
∵，
∴，
∴当即时，，
故当时，分式的最大值是5．

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