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燕山教育集团 2026 年初中毕业年级质量监测
数学试卷答案及评分参考 2026年 4月
阅卷须知：
1．为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时,只要考
生将主要过程正确写出即可。
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
第一部分 选择题
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B B C C A D C B
第二部分 非选择题
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9． x≥1； 10． 2(x+3)(x 3)； 11． x= 2；12．50；800
13．－1；2； 14．10°； 15. 12； 16．7, 12．
三、三、解答题(共 68 分，第 17-19 题,每题 5 分，第 20 题 6 分，第 21 题 5 分，第 22 题
6 分，第 23 题 5 分，第 24 题 6分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题,每题 7
分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．(本题满分 5分)
1
3 3+2× -1- 2 3
解：原式＝ 2 ……………………………………………4 分
= 3
……………………………………………5分
18．(本题满分 5分)
2(x 1) x 1，①

解:原不等式组为 x 6
2x. ② 2
解不等式①，得 x>-3. ……………………………………………2分
解不等式②，得 x<2. ……………………………………………4分
∴原不等式组的解集为-3数学试卷答案 第 1页 共 8页
19．(本题满分 5分)
2(a+2b) 2b
a2 +2ab+b2
2a+4b 2b
=
(a+b)2
解： ………………………………2分
2(a+b)
=
(a+b)2
2
=
a+b
……………………………………………4分
2
由 a+b=3 得，原式= ……………………………………………5分
3
20．（本小题满分 6分）
(1)证明: ∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且 AD=BC．∠ADF=∠BCE.
在△ADF和△BCE中，
∴AD=BC，∠ADF = ∠BCE， DF=CE，
△ADF≌△BCE
∴AF=BE, ∠AFD=∠BEC=90°． ∴AF∥BE．
∵四边形 ABEF是平行四边形．
∠AFD=90，∴四边形 ABEF是矩形． ………………………………2分
(2)解:由(1)知四边形 ABEF是矩形，∴EF=AB=6．
∵DE=2．∴DF=CE=4．∴CF=4+4+2=10． ………………………3分
在 Rt△ADF中,∠ADF=45°．∴AF=DF=4． ………………………4分
由勾股定理得 AC= AF 2 +CF 2 = 42 +102 = 2 29 ．……………………………5分
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴OA=OC
1
∴OF= AC= 29 ． ……………………………………………6分
2
数学试卷答案 第 2页 共 8页
21．(本题满分 5分)
解：(1)将 A(1，3)，B(－1，－1)代入 y kx b(k 0)中，得
k b 3，

k b 1.
k 2，
解得
b 1.
∴函数的表达式为 y 2x 1. ·························································· 2分
∵过点(－2，0)且平行于 y轴的直线交于点 C，
∴点 C的横坐标为-2.
把 x=－2代入，得 y=－3.
∴点 C的坐标为(－2，－3)．·························································· 3分
(2) 1 3≤n≤ .··············································································· 5分
2
22．(本题满分 6分)
解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 12xcm，则中线同侧的单、双打边线间的
距离是 7xcm, ………………………………2分
由题意可得， 1180+24x+4×4=2(510+14x+4×4)+120.
解得：x=6 ………………………………5分
7x=42,
答:单、双打边线（中线同侧）间的距离 42cm. ………………………………6分
23．(本题满分 5分)
(1) 即 m = 85, n =86.5. …………………………………2分
(2) 72°.
…………………………………3分
(3)对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为 144 人.
…………………………………4分
5
(4)
9 ．
…………………………………5分．
数学试卷答案 第 3页 共 8页
24．(本题满分 6分)
（1）证明：连接OB，如图 1．
∵ PA，PB是⊙O的切线，OA，OB是⊙O的半径，
∴ PA PB， OAP OBP 90°．
∴ D C 90°， 1 2 90°．
∵OB OC，
∴ C 2．
∴ 1 D．
∴ PD PB．
又∵ PA PB， 图 1
∴ PD PA． ………………………… 3分
（2）解：连接OB， AB，如图 2．
PA 1
在Rt△PAE中， sin E ，
PE 3
设 PA x，PE 3x．
则 PD PB PA x， AE 2 2x．
OB 1
在Rt△OBE中， sin E ，
OE 3
2 1
即 ．
2 2 2x 3
解得 x 1．
∴ AD 2，CD AC 2 AD2 2 3． 图 2
∵ AC是⊙O的直径，
∴ CBA 90°．
∵ CBA CAD 90°， C C ，
∴△CBA ∽△CAD．
BC AC
∴ ．
AC DC
2 2 2 2 4 3
∴ BC ． ………………………… 6分
2 3 3
数学试卷答案 第 4页 共 8页
25．（本题满分 5分）
解：（1）答案不唯一，如 179.4 ，179.5， 179.9 ，180.0 ，180.2 ；
（2）3.0； …………………………2分
（3）①
…………………4分
②答案不唯一，,4.7，4.8． …………………………5分
26．（本题满分 6分）
解：（1）当 a 1时，抛物线 y= x2 +2x=（x+1）2 1
∴抛物线的对称轴为 x
…………………………1 分
∴抛物线的顶点坐标为直线( 1， 1)． …………………………2 分
（2）∵抛物线的对称轴为 x a，分两种情况
①若 a>0，
∵抛物线的对称轴为 x a， 2 a a
∴点 A(2 a ,y1)在对称轴的右侧
∵抛物线开口向上，
∴当 x>-a 时，y 随 x 的增大而增大,
∴ 当 x<-a 时，y 随 x 的增大而减小
∵2≤b≤3，
∴点 B在对称轴右侧，
∵ y1 y2
∴ a 2 a 2
数学试卷答案 第 5页 共 8页
∴解得 a 0 . …………………………3分
②若 a<0
抛物线开口向下，
当 x>-a 时，y 随 x 的增大而减小
当 x<-a 时，y 随 x 的增大而增大
抛物线的对称轴为 x a，
点 A(2 a ,y1)关于对称轴 x a的对称点为
A ( a 2 ,y1) …………………………4分
∵ y1 y2∴ a 2 b 2 a ，∵2≤b≤3，
∴ 解得 4 a 1 . …………………………5分
综上所述，a 的取值范围是 a 0或 4 a 1. ……………… 6分
方法二：代数法---作差法，酌情给分
27．（本题满分 7分）
解:(1)由题意，补全图形如图， …………… 1分
(2)∵正方形 ABCD,
∴AB=BC=CD=AD,
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,
∵旋转，
∴∠DCE=a,CE=CD=BC,
1 1
∴∠CED=∠CDE= (180°－a)=90°－ a,
2 2
∠BCE =∠BCD+∠DCE =90°+a,
1 1
∴∠CBE=∠CEB= (180°－∠BCE)=45°－ a, …………………………2 分
2 2
1 1
∴∠BED=∠CED－∠BEC=90°－ a－45°+ a=45°; …………………………3分
2 2
数学试卷答案 第 6页 共 8页
(3) BE= 2 AN， …………………………4分
证明如下:
连接 DN，作 AH⊥AN，交 NB的延长线于点 H, 则:∠HAN=90°
1 1
由(2) 可知:CD = CE, ∠DEN =45°,∠CBE=45°－ a，∠CED=∠CDE=90°－ a.
2 2
∵CM⊥ED,
∴CM垂直平分 DE，
∴ND=NE,
∴∠NDE =∠NED =45°,
1 1
∴∠CDN =90°－ a－45°=45°－ a,
2 2
∵正方形 ABCD,
∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°,
1 1
∴∠ADN=∠ADC+∠CDN =90°+45－ a=135°－ a,
2 2
1
∠ABN =∠ABC-∠CBN=45°+ a,
2
1
∴∠ABH =180°-∠ABN=135°－ a,
2
∴∠ABH=∠ADN, …………………………5分
又∵∠BAH =∠NAD=90°-∠BAN, AB=AD,
∴△ABH≌△ADN, …………………………6分
∴AH=AN,BH=DN,
∴△AHN为等腰直角三角形，BH=EN，
∴HN= 2 AN, BH+BN=EN+BN,
∴BE=HN= 2 AN. …………………………7分
28．解：（1）①C1，C3； ······················2分
②线段 OC的长为 21．
3
···································································· 4分
2 2 21（ ） ≤ t 2 6≤ ．············································ 7分
7 3
数学试卷答案 第 7页 共 8页
其它解法请参照评分标准酌情给分．
数学试卷答案 第 8页 共 8页燕山教育集团 2025—2026 学年第二学期九年级期中考试 5．南水北调东中线一期工程已经成为优化水资源配置、保障群众饮水安全、复苏河湖生态
环境、畅通南北经济循环的生命线．南水北调东中线一期工程已经累计调水突破 800 亿
数 学 试 卷 2026 年 4 月 立方米，直接受益人口达到 185 000 000．将 185 000 000 用科学记数法表示应为
（A）1.85×108 （B）1.85×109 （C）18.5×109 （D）0.185×1010
1．本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 120 分钟。
考 6．将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的 4 张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。
生
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的
须
知 4．在答题卡上，选择题、画图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
概率为
1 1 1
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。 （A） （B） （C）1 （D）
2 3 4 6
7．如图，在直角三角形 ABC 中，∠ABC ＝ 90°，分别以点 A，C 为圆心，
1
大于 AC长为半径作弧，两弧相交于 E，F 两点，作直线 EF 交 AC B E
第一部分 选择题 2
于点 O，连接 BO．若 BC ＝ 2，AB ＝ 4，则 OB 的长为 C A
一、选择题（共 16 分，每题 2 分） O
（A） 3 （B）2
第 1 － 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
F
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （C） 5 （D） 2 5
8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x，y 轴正半轴上，点
B坐标为 (2m，m)．点M是边 BC上的动点 (不与 B，C重合 )，函数 y k= （k>0，x>0）
x
的图象经过点 M 且与边 AB 交于点 N，给出下面四个结论：
（A）　　　　　　　（B）　　　　　　　（C）　　　　　　　（D） y
①△BOM 与△BON 的面积一定相等；
2．如图，点 A，O，B在一条直线上，∠EOD ＝ 90°，且∠EOC 与 C ②若点 M 是边 BC 的中点，则点 N 一定为 AB 的中点； M B
∠EOB 互余，∠EOC ＝ 63°，那么∠BOD 的大小为 D C N
E ③在点 M 的运动过程中，
MB 是一个定值；
（A）107° （B）117° NB
④△OCM ∽△OAN．? o x
（ AC）127° （D）153° B O A
上述结论中，所有正确结论的序号是
3．实数 m，n 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是
（A）①② （B）①②③ （C）②③④ （D）①②③④
－-1 m 0 1 n 2
第二部分 非选择题
（A）m+n<0 （B）m － n>0 （C）mn<0 （D） m n > 0
二、填空题（共 16分，每题 2分）
4．若关于 x 的一元二次方程 x2 + x + m = 0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值为
1 1 9．若 x 1在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是　　　　　．（Ａ）－ 4 （Ｂ）－ （Ｃ） （Ｄ）４
4 4
10．分解因式： 2x2 18 = 　　　　　．
数学试卷第 1 页（共 8 页） 数学试卷第 2 页（共 8 页）
学校 班级 姓名 准考证号
密 封 线 内 不 要 答 题
1 3 16．某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；11．方程 + = 0的解为　　　　　．
x x 8 ②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．每个步骤只能由一名工作人员完成，前两个步骤
12．国家卫生健康委员会将 2025 年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动． 顺序可以互换，但步骤③必须在前两个步骤都完成之后才可进行．每个步骤所花费时
某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、 人数 间（单位：分钟）如下表所示：
羽毛球四个球类运动的体育社团．为了解学生对 20 18 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具
这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生， 16 大桌 5 3 2
12 12 小桌 3 2 1
对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”的问卷
8 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要　　　　　分钟；
调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且 44 （2）若三名餐厅工作人员分别负责步骤①，②，③，且每张桌子同一时刻只允许一名工作
只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理， 0 足球 排球 篮球 羽毛球 运动项目 人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需
依据样本数据绘制了不完整的统计图． 要　　　　　分钟．
这次抽样调查中，选择羽毛球人数是 36%，样本中个体的数目是　　　　　个，若该校 三、解答题 (共 68 分，第 17-19 题，每题 5分，第 20 题 6分，第 21 题 5分，第 22 题 6分，
有 2500 名学生，估计该校最喜爱篮球运动的学生有　　　　　人． 第 23 题 5 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7分 )
13．能说明命题“若 a ＞ b，则 a2 ＞ b2 ”是假命题的一组实数 a，b 的值为 a ＝　　　　　， 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
b ＝　　　　　． 17．计算： 3 3 + 2sin30
° (3 π )0 12 ．
14．如图，⊙ O 是地球的示意图，其中 MN 表示赤道，点 A
P 表示北京位置，PQ，RS 分别表示北纬 40°纬线和南 Q P
T 2(x +1) > x 1，
纬 40°纬线，∠PON ＝∠SON ＝ 40°．某一时刻，太
M N U 18．解不等式组：

x + 6
阳光线 AP 所在直线经过地心 O，此时点 S 处的太阳高 赤道 O > 2x. 2
度角∠TSU（即平行于 AP 的光线 SU 与⊙ O 的切线 ST R S
所成的锐角）的大小为　　　　　°．
19．已知 a + b 3 = 0，求代数式 2(a + 2b) 2b15．把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成 的值．a2 + 2ab+ b 2
如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为　　　　　．
20．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 B 作 BE ⊥ CD 于点 E，
55 5 11 1 延长 CD 到点 F，使 DF ＝ CE，连接 AF．
（1）求证：四边形 ABEF 是矩形； A B
（2）连接 OF，若 AB ＝ 6，DE ＝ 2，∠ADF ＝ 45°， O
图 1 图 2 图 3 求 OF 的长．
F D E C
数学试卷第 3 页（共 8 页） 数学试卷第 4 页（共 8 页）
密 封 线 内 不 要 答 题
21．在平面直角坐标系 xOy中，函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图象经过点A（1，3）和B（－ 1，－ 1）， 23．现有甲、乙两款AI机器人，有关人员开展了对这两款机器人的使用满意度评分测验，并分
与过点（－ 2，0）且平行于 y 轴的直线交于点 C． 别随机抽取 20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 x表示，分为 4组：
（1）求该函数的表达式及点 C 的坐标； A：60 ＜ x ≤ 70，B：70 ＜ x ≤ 80，C：80 ＜ x ≤ 90，D：90 ＜ x ≤ 100）．
下面给出了部分信息：
（2）当 x＜－ 2时，对于 x的每一个值，函数 y = nx（n ≠ 0）的值大于函数 y = kx + b（k ≠ 0）
a．甲款机器人评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，
的值且小于－ 2，直接写出 n的取值范围． 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
b．乙款机器人评分数据中 C 组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
c．乙款机器人的评分人数扇形统计图：
22．羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进 10% BA 30%
行单打比赛，也可以进行双打比赛．如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条 Dp%
分界线宽均为 4cm，场地的长比宽的 2 倍还多 120cm（包含分界线宽），球网同侧的单、 C
双打后发球线间的距离与中线同侧的单、双打边线间的距离之比是 12 ∶ 7，根据图中所
d．甲、乙两款机器人评分统计表：
给数据，求中线同侧的单、双打边线间的距离．
平均数 中位数 众数
甲 86 85.5 m
单、双打后 乙 86 n 87
发球线间距
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中 m ＝　　　　　，n ＝　　　　　；
（2）计算乙款机器人的评分扇形统计图中，D 组对应的圆心角是　　　　　°；
（3）在此次测验中，有 280 人对甲款机器人进行评分，300 人对乙款机器人进行评分．请
通过计算，估计其中对甲、乙两款机器人非常满意（90 ＜ x ≤ 100）的用户总人数
1180cm 是　　　　　；
（4）丙款 AI机器人推出后引发广泛讨论．小明和小红各自从甲、乙、丙三款机器人中随
机选择一款进行体验测评，则两人中至少有一人选择丙款机器人的概率是　　　　．
24．如图，过 ⊙O 外一点 P 作 ⊙O 的两条切线 PA，PB，切点
分别为 A，B， AC 是 ⊙O 的直径，连接 并延长交直线 D4cm CB B
单、双打后发球线间距 AP 于点 D．
4cm P
510cm （1）求证： PD = PA；
单、双打边线间距 单、双打边线间距 （2）延长 BP 交 CA 的延长线于点 E ．若 ⊙O 的半径为 2， C O A
1
sin E = ，求 BC 的长．
3
数学试卷第 5 页（共 8 页） 数学试卷第 6 页（共 8 页）
学校 班级 姓名 准考证号
密密 封封 线线 内内 不不 要要 答答 题题
25．沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原 27．如图，将正方形 ABCD的边CD绕点C顺时针方向旋转 α（0°＜ α＜ 90°）得到线段CE，
理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用 连接 BE，DE，作 CM ⊥ DE 于点 M，交 BE 于点 N，连接 AN．
沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． （1）依题意补全图形； A D
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量 m（单位：g） （2）求∠BED 的度数； E
与时间 t（单位：s）之间的关系，部分数据如下： （3）用等式表示 BE，AN 的数量关系，并证明．
t/s 30 60 90 120 150
m/g 30.7 90.5 150.0 209.8 269.6 B C
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完 150g 沙子所用的时间 28．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1，对于⊙O 的弦 AB 和⊙O 外的一点 C，给出
t（单位：s）与孔径 d（单位：mm）之间的关系，部分数据如下： 如下定义：若直线 CA，CB 中一条垂直弦 AB，另一条是⊙O 的切线，则称点 C 为弦 AB
d/mm 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
的“垂联点”．
t/s 123.9 90.0 65.6 47.0 33.1
2 2 1 3
根据以上探究的实验数据，解决下列问题： （1）已知点 A（1，0）， B1( ， )， B2 ( ， )．2 2 2 2
（1）在探究一中，105s 时漏下沙子的质量约为　　　　　g（结果保留小数点后一位）；
（2）推断：探究一中所用沙漏的孔径为　　　　　mm； y y
（3）通过探究二，发现可以用函数刻画时间 t 与孔径 d 之间的关系．
①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 1 1B B2
t/s 1
A A
130 1 x o 1 x
120 o
110
100
90
80 图 1 图 2
70
60 ①如图 1，在点 C1(1，2 2 2)， C (1 1)， C ( 2
2 3 2
2 ， 3 ， 2 ) 中，弦 AB50 2 2 1
的
40
30 “垂联点”是　　　　　；
20
10 ②如图 2，若点 C 为弦 AB2 的“垂联点”，直接写出 OC 的长；
O d/mm1 2 3 4 5 6
（2）已知点 M（0，3），N（ 6 5 ，0），对于线段 MN 上一点 S，存在⊙O 的弦 PQ，
②根据函数图象，若制作一个漏完 150g 沙子所用时间为 50s 的沙漏，其孔径约为 5
　　　　　mm（结果保留小数点后一位）． 使得点 S 为弦 PQ 的“垂联点”．设 PQ 的长为 d，当点 S 在线段 MN 上运动时，直
26．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yy==aaxx22 22
接写出 d 的取值范围．
++22aa xx( (aa≠≠00)) .
（1）当 a ＝ 1 时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）已知 A (2 a，y1)和B (b，y2 )是抛物线上的两点，若对于 2 ≤ b ≤ 3，都有 y1 < y2，
求 a 的取值范围．
数学试卷第 7 页（共 8 页） 数学试卷第 8 页（共 8 页）
密 封 线 内 不 要 答 题

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