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平谷区 2026 年初中学业水平考试综合练习（一）
数学试卷 2026.4
学校 班级 姓名 准考证号
1．本试卷共 8 页，共两部分，三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 120 分钟。
考
2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号。
生
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
知
5．考试结束，将答题卡交回。
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1—8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是
a 0 b
A． > B．| | > | | C． < D． + > 0
3. 已知一个正多边形的每个外角都等于 72°，则这个正多边形的边数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 一个布袋里有 2 个红球，1 个白球，这些球除颜色外无其它差别.从中任意摸出一个球，
记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸到不同颜色的概率是
1 2 4 5
A. B. C. D.
3 3 9 9
5. 若关于 的一元二次方程 2 + 2( + 1) + 2 1 = 0有实数根，则 的取值范围为
A. > 1 B. ≥ 1 C. < 1 D. ≤ 1
6. 一根普通头发丝的直径约为 0.00007m，而光刻机的精度可以达到 7nm 级别，相当于一
根头发丝直径的 h 分之一，已知1 = 10 9m,则 h 约为（ ）
A. 10 3 B. 10 4 C. 103 D. 104
7. 如图， 中，∠ = 56°，以点 B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB, BC
1
于点 , ,若分别以点 E，F 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部交于点
2
M，作射线 BM，再以点 A 为圆心，AB 长为半径
A
画弧交射线 BM 于点 D，则 D
∠ 的度数为（ ） E
M
A. 152° B.
B F C
C. 124°114° D. 134°
4
8. 如图，一次函数 = + 5的图象与反比例函数 = （x＞0）的图象在第一象限内交于

点 A，B，且该一次函数的图象与 y 轴正半轴交于点 C，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足
分别为 D，E．若点 M 为反比例函数图象在 A，B 之间的动点，作射线 OM 交直线 AB 于点
N.给出下面四个结论：
1
① = ;
4
15
②四边形 的面积为 ；
4
③当点 的坐标为（2，2）时，线段 的长度最大；
④当点 的坐标为（3，2）时，线段 的长度最大．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）

9. 若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是______．
+2
10. 分解因式： 2-2ab+a=__________________.
2
11. 方程 = 1的解为 ．
1 +1
3
12. 已知点 A(1,y1),B(m,y2)在反比例函数 = 的图象上，若 y1＞y2，写出一个满足条件的

m 的值____________.
13. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝45°，若 BC＝2√2，则 的长为 ．
A
O
C B
14. 每年的 6 月 6 日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学
生今年的体检结果中随机抽取了 40 名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为
5 组，得到如下的频数分布表：
分组 A B C D E
1.0≤x＜4.2 4.2≤x＜4.5 4.5≤x＜4.8 4.8≤x＜5.1 5.1≤x≤5.3
人数（频数） 2 8 14 12 4
该校八年级共有 600 名学生．根据上表数据，请估计这 600 名八年级学生的视力在 4.8≤
x≤5.3 范围内的人数为___________；
15. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC,BD 相交于点 O, AB＝10，对角线 BD 的长为 16，E
是 AB 的中点，F 是 BD 上一点，连接 EF．若 DF＝3，则 EF 的长为 ．
16. 根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目Ⅰ必选
外，还需要从运动能力Ⅰ、运动能力Ⅱ、素质项目Ⅱ中各自主选择 1 项，即每名考生应参加
共四项考试内容.某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示：
运动能力Ⅰ 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数
篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21
足球 12 游泳 4 实心球 m
排球 2
表中的 = _________________;若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组
合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立
定跳远组合最多有_____________人.
三、解答题（共 68 分，第 17—19 题，每题 5 分，第 20-21 题，每题 6 分，第 22
题，5 分，第 23 题，6 分，第 24—25 题，每题 5 分，第 26 题 6 分；第 27—28
题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
1
17.计算： 2 60° + ( ) 1 ( 2026)0 √12
2
5 + 2 > 3( 1),
18.解不等式组：{ 1 3
1 ≤ 7 ,
2 2
2( + )
19. 已知 + 2 1 = 0，求代数式
2
的值.
+4 +4 2
20. 如图，平行四边形 ABCD，E 是 BC 延长线上一点，BD=DE，且∠ABC=2∠DEB．
(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；
(2)连接 AE 交 BD 于 F,若∠DEB=30°,AD=4，求 BE 和 AF 的长. ．
21. 榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方
之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征。槽口榫（图 1）是最基本、最
简单的榫卯连接之一.凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽。常用于柜子的背板
与面板的连接等非承重结构.下图 2 为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身
长：榫头长=7：3，榫头长：榫头宽=3：1，榫身宽：榫头宽=3:1，榫身长与榫头
长之和为 20cm，求此面的表面积.
图 1 图 2
22．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝kx+b（k≠0）与 y＝-2kx+1 的图象交于点（2，-1）．
（1）求 k，b 的值；
（2）当 x>2 时，对于 x 的每一个值，函数 y＝mx（m≠0）的值既大于函数 y＝kx+b 的值，
也大于函数 y＝-2kx+1 的值，直接写出 m 的取值范围．
23．如图, AB 为⊙O 直径，CB 是⊙O 的切线，连结 AC 交⊙O 于点 D，E 为 AD 上一点，
连接 EO 并延长交⊙O 于点 G，交切线 CB 于点 F，若∠A=∠F.
（1）求证：E 为 AD 中点
（2）连接 GD 交 AB 于点 H，若 GH：HD=5:6 ，BF=6，求 BC 的值.
A
E
O
D
G
F B C
24. 为落实 “健康教育第一” 理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子1000 体能
达标测试，以检验学生的体育锻炼效果.测试评分标准如下（表 1）
时间 4′05″ 4′11″ 4′18″ 4′26″ 4′35″ 4′44″
分值 8 7.5 7 6.5 6 5.5
时间 4′53″ 5′02″ 5′11″ 5′20″ 5′29″ 5′38″
分值 5 4.5 4 3.5 3 2.5
时间 5′47″ 5′56″ 6′05″ 6′14″ 6′15″
分值 2 1.5 1 0.5 0
表 1
在男子 1000m 的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组.他们同时出发，当跑步的时
间为 t（单位：s）时，甲同学跑步的路程为 1(单位：m)，乙同学跑步的路程为 2
（单位：m）.为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略。
甲同学的策略：先加速跑→再匀速跑→最后平缓冲刺；
乙同学的策略：先加速跑→再匀速跑。
甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表 2 所示：
时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260
路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 —
路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870
表 2
（1）a 的值为_______________.
（2）请根据表 2中的数据，在平面直角坐标系中补全 2的图象
（3）结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论：
① 当 20② 乙同学完成 1000 米的测试时间超过 285s；
③ 两名同学在匀速跑步阶段速度相同.
上述结论中，所有正确结论的序号是__________。
（4）假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在 150s 时恰好跑了 610m，则乙同学可以得到
________分.
25．为参加全国青少年无人机大赛，某校航模社团将从甲、乙、丙、丁 4名同学中选拔一名
正式参赛队员，选拔赛共进行 10轮，主要测试无人机在复杂环境下的定点精准空投能力（各
项测试综合成绩满分为 100分，成绩均为整数）.教练组对这 4名同学最近 10次模拟测试的
成绩数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.甲、乙两名同学 10 次测试成绩的折线图如下：
b.丙同学 10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97；
c.丁同学在 10次测试中，出现次数最多的分数是 93分；
d.四名同学 10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 94 94 p 94
中位数 m 94 94 93.5
方差 1.2 n 5.2 1.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 m 的值为_________, p 的值为_________;
（2）表中 n_________1.2(填“>” “=”或“<”)
（3）大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手.评估流程包含三轮：
第一轮（平均水平初筛）：4名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高
平均水平有多人并列，则均进入第 2轮）.
第二轮（极度稳定复赛）：在进入第二轮的同学中比较他们测试成绩的稳定性,成绩最稳定的
两名选手才能入选第三轮候选名单.
第三轮(核心战力比拼):针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力
指数 W”.组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状
态,设核心战力指数的计算公式为 W=2×乘中位数+众数.W 分最高者最终当选为正式参赛队
员.
你认为经过三轮的严格评估，最终当选为正式参赛队员的是____________同学，该同学的 W
分是_________分.
26.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 = 2 + （a<0）经过点 A（3a，m）和点 B（- a，
m）．
（1）用含 a的式子表示 b；
（2）点 C(t-1,n)在抛物线上，且 m直线 y=-ax于点 Q，PQ 的长随着 t的增大而增大，求 a的取值范围.
27. 在△ABC 中，AB＝AC，∠ = ，点 D 是 BC 边上一点（不与 B,C 重合），连接 AD．将
线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 α 得到线段 AE，连接 DE．
（1）如图 1，α＝∠BAC＝80°，求∠DCE 的度数；
（2）如图 2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，过点 D 作 DG⊥BC，DG 交 CA 的延长线于
G，连接 BG．点 M 是 DE 的中点，点 F 是 BG 的中点，连接 FM，CM．用等式表示线段
FM 与 CM 的数量关系并证明；
C
C
E
E
M D
D
A B
F
G
A B
图 1 图 2
28. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 O 关于 AB 的对称点为 O’，
在射线 OO’上截取 O’C=O’A，则点 C 为⊙O“弦心衍生点”.
（1）在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 2，以下各点属于⊙O“弦心衍生点”的
有 ；
1(√2, √2)， 2( 1, √2)， 3(6,0) , 4(3,3)
（2）平面直角坐标系 xOy 中，若⊙O 的半径为 1，直线 y = kx +b 分别与 x 轴， y 轴交于
点 E，F，若线段 EF 上的点都是⊙O“弦心衍生点”，则 k 的取值范围是 ；
（3）在（2）的条件下，若存在⊙T 上的所有点都是⊙O“弦心衍生点”，则⊙T 的半径的取
值范围为 .

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