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贵州遵义市第二十一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性测试
数学试卷
一、单选题
1．复数（ ）．
A． B． C． D．
2．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
3．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中的常数项为（ ）
A．60 B．120 C．160 D．240
5．已知直线与直线平行，则（ ）
A．2 B．或2 C． D．或1
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（ ）
A．与互斥 B．与相互独立
C． D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心为
C．在区间内单调递增
D．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．l的方程为 B．为正三角形
C． D．的面积为
三、填空题
12．将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有______种．
13．如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________
14．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在该椭圆上，且轴，直线与轴交于点.若，则该椭圆的离心率为__________.
四、解答题
15．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，且，求的面积.
16．袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个．
(1)求恰有1个红球的概率；
(2)设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望；
(3)当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率．
17．已知点，点关于直线的对称点为.
(1)求的外接圆的方程；
(2)直线过抛物线的焦点，且与的外接圆相切，求直线的方程.
18．如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点．
(1)求的方程；
(2)若线段的中点坐标为，求直线的方程；
(3)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求．
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．D
5．C
6．A
7．B
8．A
9．BD
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）解：设外接圆的半径为，则，
因为，
所以，即，
因为，，
所以，
因为，，
所以，即，
因为，所以.
（2）解：因为外接圆的半径为，，
所以，
因为，，
所以，解得，
所以的面积为
16．（1）设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件，
则；
（2）的可能取值为0，1，2，3，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
．
（3）设从袋中任取3个球为一种颜色为事件，则，
设从袋中任取3个球都为黑色为事件，则，
则所求概率．
17．（1）设点由题意，解得，即，
的外接圆是以线段AB为直径的圆，
的中点为，
的外接圆方程是；
（2）由抛物线，可得焦点，
由（1）可知与的外接圆方程为，所以圆心，半径.
当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆不相切；
当直线的斜率存在时，设切线方程为，即，
所以，所以，解得，
所以直线的方程为或或.
18．（1）因为，点为的中点，所以，
因为平面平面ABD，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以.
因为，，所以是等边三角形，所以，
所以，所以，即，
又平面，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）取的中点，连接，则，
又因为平面，则平面，
因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则、，、、、，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．（1）由题可得，所以的方程为；
（2）设，则，
所以，
所以直线的方程为即；
（3）由（1）得，
当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得，
此时的面积为，不符合，
所以直线斜率存在，设直线，
联立得，
则，所以，
所以，
又点M到直线的距离为，
所以（舍去）或，
则，，
所以．

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