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浙江省宁波市2025-2026学年七年级下学期数学期中模拟卷（解析版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　 　）
A． B． C． D．
【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．
【解答】解：A、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，故符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意；
D、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意．
故选：A．
2．下列各式计算正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方运算，掌握计算法则是解题的关键．分别按照同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方计算法则判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．若，是二元一次方程的一个解，则的值是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程中得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握二元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，
解得：，
即的值是．
故选：D．
为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，
道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了长方形周长公式的应用及图形的平移思想，熟练掌握长方形周长公式并利用平移简化计算是解题的关键．
通过平移道路，将其转化为长方形的长与宽的和，结合长方形周长公式计算道路总长．
【详解】解：设长方形草坪的长为，宽为．
长方形周长公式：，
∴．
平移道路后，道路总长等于．
故答案为：B．
中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：
马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，
根据题意可列方程组为（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵设马每匹x两，牛每头y两，
∴列出方程组为．
如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），
为后下叉．已知，，，，
则的度数为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角度，先根据“两直线平行，内错角相等”求出，进而求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，
由此可判断a，b，c的值为（　 　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得；
把代入，得，
∴，解得；
故，，；
故选B．
已知，则的值是（　 　）
A．4 B．8 C．17 D．34
【答案】C
【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式，换元法是解题的关键．
通过变量代换，将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，利用代数运算求解目标表达式的值．
【详解】解：设，则，
原方程变为：
展开并整理：
∴．
故选：C．
我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，
一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；
如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，
对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ）
甲：设客房有x间，则；
乙：设客人有y人，则；
丙：设客房有x间，客人有y人，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组．
【详解】解：设客房有x间，则，故甲正确，符合题意；
设客人有y人，则，故乙不正确，不符合题意；
设客房有x间，客人有y人，则，故丙正确，符合题意；
综上：正确的有甲、丙，共2个，
故选：C．
如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，
且，则下列结论：①；②；③平分；
④平分．其中正确的结论是（　 　）
A．①② B．①②③ C．②④ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④.
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，则结论①正确；
，
，
，则结论②正确；
，，，
，，
但不一定等于，也不一定等于，
所以平分，FH平分都不一定正确，则结论③和④都错误；
综上，正确的是①②．
故选：A．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
11．某种新型冠状病毒的直径为0.000000823米，用科学记数法表示为的形式，则___________．
【答案】
【详解】解：，对比可得．
12．将一个含角的直角三角板和一把直尺如图放置，若，则 °．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质进行角的转化和计算．
根据平行线的性质可知，再求出，由平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
．
∴．
∴．
故答案为：．．
若是方程2x﹣ay＝﹣1的一个解，则a的值是
【答案】﹣3
【分析】将解代入方程2x﹣ay＝﹣1中求解a即可．
【详解】解：将代入方程2x﹣ay＝﹣1中，得2+a=﹣1，
解得：a=﹣3，
故答案为：﹣3．
14．如图，将沿方向平移3厘米后得到，若的长为4厘米，则 厘米．

【答案】7
【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质求出．
根据沿方向平移3厘米得到求出，从而可求出．
【详解】解：∵将沿方向平移3厘米后得到，
∴厘米，
∵厘米，
∴厘米，
故答案为：7．
15．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键．
由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解．
【详解】解：由已知方程组的解为，
代入得，，
将和代入新方程组，
得，
比较系数可得．
故答案为：．
如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，
与的平分线交于点M．若，，则 ．
【答案】/32度
【分析】过点G，M，H作，，，根据已知易得：，再利用锯齿模型可得，然后利用角平分线的定义可得，，从而可得，进而可得，最后利用猪脚模型可得，即可解答．
本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点G，M，H分别作，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，选择合适的方法是快速解题的关键．
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：
将代入，得：，
解得，
将代入，得：，
因此该方程组的解为；
（2）解：
，得：，
将代入，得：，
解得，
因此该方程组的解为．
18．（8分）计算：
计算： (1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．
（1）先计算平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得；
（2）先计算完全平方公式，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（8分）如图，在方格纸中每个小正方形的边长为1，将经过一次平移后得到．
图中标出了点的对应点．
画出平移后的；
过点画出的垂线段，垂足为点；
在整个平移过程中，线段扫过的面积是_______．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）根据点C的对应点可以确定出和的位置，连接即可；
（2）找到格点，连接即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，由网格可得，
∴线段即为所求；
（3）如图所示，
∴线段扫过的面积．
（8分）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，
连接，，点F是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可；
（2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
（10分）（1）阅读下列材料：教科书中这样写道：
“我们把多项式及叫做完全平方式”，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，
使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
即将多项式(b、c为常数)写成(、为常数)的形式，
配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，
还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为__________；
（2）配方：_________；
【知识运用】
（3）已知，则m=_________，n=_________；
（4）求多项式：的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3），4；（4）
【分析】（1）根据完全平方式的形式求解即可；
（2）利用配方法的步骤求解即可；
（3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解值即可；
（4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可．
【详解】解：（1）多项式是一个完全平方公式，
，
，
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3），
故答案为：，4；
（4）
，
=，
所以最小值为2.
22．（10分）综合与实践
某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，
钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠
方案二 购买玩偶满50个时，立减10元
(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？
(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，
则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？
(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．
【答案】(1)一共花费180元
(2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个
(3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个
【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键．
（1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论；
（2）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：（元）．
答：一共花费180元．
（2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个．
根据题意得，
解得；
答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个．
（3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个，
根据题意得，
．
，均为正整数，且，，
或或，
∴共有以下3种购买方案：
方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个．
方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个．
方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个．
23．（12分）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图：___________，图：___________，图：__________
根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算：
已知，，求代数式①；②的值．
若，求的值．
【答案】（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形，
∴图中的阴影部分的面积为，
又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成，
∴图中的阴影部分的面积为，
∴，
∴图能解释的乘法公式是：；……1分
∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形，
∴图中的阴影部分的面积为，
又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成，
∴图中的阴影部分的面积为：，
∴，
∴图能解释的乘法公式是：；……1分
∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形，
∴图中的阴影部分的面积为，
∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差，
∴图中的右边阴影部分的面积为，
∴，
∴图能解释的乘法公式是：；……1分
故答案为：；；；
（2）解：①∵，
又∵，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
当，时，；
当，时，；
综上所述，的值为；
（3）解：设，，则，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
即的值为．
24.（12分）综合与探究
问题情境：
如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．
潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．
操作猜想：
如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，
反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，
并说明理由．
类比探究：
如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，
经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数．
拓展探究：
如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），
设（）．
① 当，时，求的度数；
② 直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，
(3)①②
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
（1）利用平行线的性质定理和平角定义解答即可；
（2）利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可；
（3）①在点G右侧作，利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可；
②在点G右侧作，设，则，类比①的方法解答即可．
【详解】（1）解：，理由：
由题意得：，，
∵，
，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴,
∴．
（3）解：①在点G右侧作，如图，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
②α与β之间的数量关系为．理由：
在点G右侧作，如图，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
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浙江省宁波市2025-2026学年七年级下学期数学期中模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　 　）
A． B． C． D．
2．下列各式计算正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
3．若，是二元一次方程的一个解，则的值是（　 　）
A． B． C． D．
为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，
道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　 　）
A． B． C． D．
中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：
马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，
根据题意可列方程组为（　 　）
A． B．
C． D．
如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），
为后下叉．已知，，，，
则的度数为（　 　）
A． B． C． D．
已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，
由此可判断a，b，c的值为（　 　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
已知，则的值是（　 　）
A．4 B．8 C．17 D．34
我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，
一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；
如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，
对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ）
甲：设客房有x间，则；
乙：设客人有y人，则；
丙：设客房有x间，客人有y人，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，
且，则下列结论：①；②；③平分；
④平分．其中正确的结论是（　 　）
A．①② B．①②③ C．②④ D．①②④
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
11．某种新型冠状病毒的直径为0.000000823米，用科学记数法表示为的形式，则___________．
12．将一个含角的直角三角板和一把直尺如图放置，若，则 °．
若是方程2x﹣ay＝﹣1的一个解，则a的值是
14．如图，将沿方向平移3厘米后得到，若的长为4厘米，则 厘米．

15．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ．
如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，
与的平分线交于点M．若，，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程组：
(1)； (2)．
18．（8分）计算：
计算： (1)； (2)．
（8分）如图，在方格纸中每个小正方形的边长为1，将经过一次平移后得到．
图中标出了点的对应点．
画出平移后的；
过点画出的垂线段，垂足为点；
在整个平移过程中，线段扫过的面积是_______．
（8分）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，
连接，，点F是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
（10分）（1）阅读下列材料：教科书中这样写道：
“我们把多项式及叫做完全平方式”，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，
使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
即将多项式(b、c为常数)写成(、为常数)的形式，
配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，
还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为__________；
（2）配方：_________；
【知识运用】
（3）已知，则m=_________，n=_________；
（4）求多项式：的最小值．
22．（10分）综合与实践
某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，
钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠
方案二 购买玩偶满50个时，立减10元
(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？
(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，
则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？
(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．
23．（12分）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图：___________，图：___________，图：__________
根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算：
已知，，求代数式①；②的值．
若，求的值．
24.（12分）综合与探究
问题情境：
如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．
潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．
操作猜想：
如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，
反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，
并说明理由．
类比探究：
如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，
经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数．
拓展探究：
如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），
设（）．
① 当，时，求的度数；
② 直接写出与之间的数量关系．
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