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2025-2026学年北师大版八年级数学下册期中模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，直线，，交直线于点，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
3．（本题3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，，等腰直角三角板的锐角顶点在直线上，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）新华书店销售某种标价元本的畅销书，每本进价是标价的五折，书店要想不亏本，必须保证每本书的利润率不低于，那么书店对该畅销书最多可打（ ）
A．五折 B．六折 C．六五折 D．不确定
8．（本题3分）如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）如图，中，，，，有以下作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
10．（本题3分）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）如图，，，，则_____．
12．（本题3分）不等式组的整数解是______．
13．（本题3分）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______．
14．（本题3分）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____．
15．（本题3分）若直线经过点和，且，求的取值范围_____．
16．（本题3分）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____．
三、解答题（共72分）
17．（本题6分）解不等式组：
18．（本题8分）如图，在中，点在上，点在上，交于，已知交于，交于，．
(1)求的度数．
(2)若，，求的度数．
19．（本题8分）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，试说明．
20．（本题9分）某校两名教师带若干名学生去旅游，原价为每人60元，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是：教师全额收费，学生按7.5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8折优惠．
(1)当学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？若有学生50人，那么他们选择哪一家旅行社旅游费用少些呢？
(2)现有学生238人，若选择甲旅行社，计划租用30座和45座的客车共6辆，求：租用30座车多少辆，才能使得师生都有车坐？
21．（本题9分）如图，都是等边三角形，，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：．
22．（本题10分）如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．
(1)画出．
(2)的面积为______．
(3)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为______．
23．（本题10分）如图，一次函数的图象分别与轴和轴相交于、两点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)当时，直接写出自变量的取值范围_____；
(3)点D是一次函数图象上一点，若，点的坐标是_____．
24．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D A B B C A D D
1．A
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合；据此进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
2．D
【分析】由垂线的性质可得，利用三角形的内角和定理求出，最后根据平行线的性质求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．D
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为，
∴选项符合题意．
4．A
【详解】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点对称的点的坐标是．
5．B
【分析】根据图象进行解答即可．
【详解】解：由图象可知，当时，，
故不等式解集为．
6．B
【分析】由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，最后由平角的定义计算即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
7．C
【分析】根据利润率列出不等式即可求解．
【详解】解：设书店对该畅销书打折，
∵标价元本的畅销书，每本进价是标价的五折，
∴每本进价为元，实际售价为元，
∵利润率不低于，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴最多可打六五折．
8．A
【分析】根据交点横坐标得出不等式的解集为，在数轴上表示出解集，判断即可．
【详解】解：∵直线与相交于点，点的横坐标为，
∴不等式的解集为，
∴不等式的解集在数轴上表示为：
∴A选项符合题意．
9．D
【分析】先由作图作法得出是的平分线，再根据垂线段最短，在上截取，连接，作于G，此时，值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：在上截取，连接，作于G，如图，
根据垂线段最短，此时，值最小，最小值为，
理由：由作图可知，是的平分线，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴值最小，最小值为，
∵，，
∴，
即最小值为4．
10．D
【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确．
【详解】解：，为的角平分线，
，
，故①正确；
，
，故②错误；
设与交于点，如图，
，故③正确；
，故④正确．
11．
【分析】根据平行线的性质，三角形外角性质求解即可．
【详解】解：，，
，
．
12．0
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后找出不等式组的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为．
13．
【分析】由平角的定义得到，结合，求出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
14．G
【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心．
【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线，
，
由图可得，旋转中心为点．
15．
【分析】把坐标代入解析式，用含n的代数式表示k，结合建立不等式组求解即可．
【详解】解：因为直线经过点和，
，
，
，
，
，
，
解得．
16．13
【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可．
【详解】解：由平移的性质得，，，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
17．
【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
因此，原不等式组的解为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直的定义可得，然后求出，再根据两直线平行，同位角相等可得；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
又，
；
（2）解：，，
，
，
．
19．(1)35°；
(2)见解析．
【分析】（1）先求出，再求出，即可求解；
（2）由（1）知，，得到，再得到， 根据角平分线的性质得到， 即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
20．(1)当学生人数为8人时，两家旅行社收费价格一样；若学生有50人，选择甲旅行社旅游费用更少；
(2)租用30座车0辆或1辆或2辆，都能使全体师生都有车坐
【分析】（1）设学生人数为x人，则总人数为人，根据两个旅行社不同的收费方式列出方程求解即可；
（2）设租用30座车y辆，则租用45座车辆，根据题意列出不等式，据此求解即可．
【详解】（1）解：设学生人数为x人，则总人数为人．
甲旅行社费用：；
乙旅行社费用：；
由题意得，
解得，
当时，
甲旅行社费用：（元）；
乙旅行社费用：（元）；
，
答：当学生人数为8人时，两家旅行社收费价格一样；若学生有50人，选择甲旅行社旅游费用更少；
（2）解：设租用30座车y辆，则租用45座车辆，
由题意得，
解得，
又∵y为非负整数，且，，
∴y可取0，1，2，
当时，，可行；
当时，，可行；
当时，，可行；
答：租用30座车0辆或1辆或2辆，都能使全体师生都有车坐．
21．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解；
（2）利用，得到，进而得到；
（3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵和都是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示：
由（1）知，，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：在上截取，连接，
由（1）知：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)5
(3)或
【分析】（1）根据平移方式即可作图；
（2）利用割补法求解即可；
（3）根据求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：设P点坐标为，
∵以为顶点的三角形的面积为，
∴，
∴，
解得：或，
即P点坐标为或．
23．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）因一次函数与正比例函数交于点，可以将代入，求出为，再将点代入即可求出一次函数的解析式；
（2）当时，直线在直线上方，据此可得答案；
（3）根据，利用三角形面积公式即可求出，得出的纵坐标，代入即可求得横坐标．
【详解】（1）解：把代入中得，
∴，
把代入得：
，
解得：
∴一次函数的解析式；
（2）解：观察图象可知，当时，；
（3）解：由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
代入得或，
∴点的坐标为或．
24．(1)，；
(2)存在，点的坐标为或；
(3)当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，．
【分析】（1）根据横坐标左加右减，纵坐标上加下减求解即可；
（2）根据、两点坐标，求出，从而求出，设点，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）由平移的性质可知，，点的位置分三种情况求解，过点作，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段，
则点的坐标为，即；点的坐标为，即，
故答案为：，；
（2）解：，，
，
三角形的面积等于三角形面积的一半，
，
设点，则，
，
解得：或，
点的坐标为或；
（3）解：由平移的性质可知，，
①如图，当点在线段的延长线上时，过点作，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，过点作，
，
，
，
，
；
③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作，
，
，
，
，
；
综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，．
答案第16页，共16页
答案第15页，共16页

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