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2025-2026学年湘教版七年级数学下册期中模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间
3．（本题3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（本题3分）计算的结果为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）已知多项式可以写成某个多项式的平方的形式，则常数k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．（本题3分）一个数值转换器的原理如图．当输入的为时，输出的是（ ）
　
A． B． C． D．
9．（本题3分）若x，y为实数，且．则的值是（）
A． B．1 C． D．2026
10．（本题3分）某数学兴趣小组对关于的不等式组进行讨论，并得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则的取值范围为；③若，则是不等式组的解；④若不等式组只有两个整数解，则的取值范围为．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）已知，，那么的值是______．
12．（本题3分）若，则的立方根是________．
13．（本题3分）若关于的不等式组的解集为，则的值为________．
14．（本题3分）若关于x的二次三项式是完全平方式，则正数a的值是_______．
15．（本题3分）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根是___．
16．（本题3分）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________．
三、解答题（共72分）
17．（本题6分）计算：
(1)； (2)．
18．（本题6分）解下列不等式（组）：
(1)； (2)
19．（本题9分）已知的展开式中不含的一次项，常数项是．
(1)求，的值；
(2)先化简，再求值：．
20．（本题9分）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根．
(1)填空：______，______，______；
(2)求的平方根．
(3)若的整数部分是，小数部分是，求的值．
21．（本题9分）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
22．（本题10分）为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元．
(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？
23．（本题11分）定义：给定两个不等式（组）和，若不等式（组）的任意一个解，都是不等式（组）的一个解，则称不等式（组）为不等式（组）的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集．
(1)若不等式组：，，则其中不等式______是不等式的“子集”（填或）；
(2)若不等式组的解集是的子集，求的取值范围；
(3)若不等式组有解且它的解集是的子集，求的取值范围．
24．（本题12分）【情境重现】如图，课本第页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题：
(1)若，，根据乘法公式，直接写出的值______；
(2)填空：
①若，则______；
②若，则______；
(3)如图，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为，求的面积．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D C C B A B B
1．C
【分析】运用合并同类项法则、同底数幂乘法法则、幂的乘方法则、完全平方公式分别计算各选项，即可得出答案．
【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意，
B．，故该选项计算错误，不符合题意，
C．，故该选项计算正确，符合题意，
D．，故该选项计算错误，不符合题意．
2．B
【分析】通过找到与12相邻的两个完全平方数，结合二次根式的性质即可确定的范围．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
即，
因此的值在3和4之间．
3．B
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
处为空心圆圈向右，1处为实心圆点向左，中间部分即为解集．
观察选项，只有B选项符合．
故选：B ．
4．D
【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论．
【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误；
B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误；
C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误；
D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确．
5．C
【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可．
【详解】解：
，
∵的结果为，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值是．
6．C
【分析】根据平方差公式的结构特征，判断各选项即可．
【详解】解：A、，可以用平方差公式计算，不符合题意；
B、，可以用平方差公式计算，不符合题意；
C、，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意；
D、，可以用平方差公式计算，不符合题意．
7．B
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
根据完全平方式的结构求解即可．
【详解】解：∵多项式可以写成某一个式子的平方的形式，
，即，
解得：，
故选：B．
8．A
【分析】根据数值转换器的原理，输入后先取算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，若结果为无理数则输出，据此逐步计算即可求解．
【详解】解：当时，是有理数，
∴需重新输入进行计算，
是无理数，
∴输出．
9．B
【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，几个非负数的和为0时，每个非负数均为0，据此求出x，y的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，且
∴，
解得，
计算得
∴．
10．B
【分析】根据一元一次不等式组解集的判断规则“大小小大中间找，大大小小找不到”，逐一判断每个结论即可．
【详解】解：① 若，根据不等式组解集规则，可得解集为，故①正确；
② 若不等式组无解，则，故②错误；
③第一个不等式为，不满足，因此不是该不等式组的解，故③错误；
④ 若不等式组只有两个整数解，，
两个整数解只能是和，
∴，故④正确；
综上，正确的结论共2个．
11．
30
【详解】解：∵，，
∴.
12．
【分析】利用算术平方根与完全平方的非负性，列出方程求出和的值，代入计算得到的结果，再求其立方根即可．
【详解】解：，，且，
，
，
，
，
的立方根是，即的立方根是．
13．5
【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，结合已知的不等式组解集得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解：解不等式，
移项得，
系数化为得：．
解不等式，
移项得，
系数化为得：．
不等式组的解集为，
，
解得．
14．4
【详解】解：∵关于x的二次三项式是完全平方式，
∴
∴正数a的值是4．
15．3
【分析】先根据题意，列式，解得，再求出的值，最后求出的算术平方根，即可作答．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3，
∴，
解得
则，
解得，
∴，
∵的算术平方根是．
∴的算术平方根是．
16．
【分析】先求解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围．
【详解】解：由不等式得：，
因此原不等式组的解集为，
不等式组只有4个整数解，
4个整数解为0、1、2、3，
可得，
不等式两边同时加2，得：．
17．(1)
(2)
【分析】（）先分别对绝对值、立方根、算术平方根进行化简，再合并同类二次根式与常数项，得出结果；
（）先依次化简二次根式、算术平方根、乘方项与立方根，再按顺序进行加减运算，得出结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的基本性质求解即可；
（2）先分别计算两个不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
解得，
解得
则不等式组的解集为．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）先将乘式展开，以为主元进行合并同类项，不含的一次项，即一次项系数为零，结合常数项是，求出，的值；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∵展开式中不含的一次项，常数项是，
∴，，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
，
当，时，
原式，
，
．
20．(1)，，；
(2)的平方根为；
(3)的值是．
【详解】（1）解：的平方根是，
，
解得；
的立方根是，
，
，
解得；
是的算术平方根，
，
．
（2）解：，
的平方根为．
（3）解：由（1）得，
，
，
整数部分，小数部分，
．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由公式变换即可得出结果；
（2）由公式变换即可得出结果；
（3）由公式变换即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：．
（3）解：，
∴．
22．(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元
(2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本
【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价；
（2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案．
【详解】（1）解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元．
根据题意得
解得
答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元．
（2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本．
∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元，
∴
解不等式，得．
解不等式，得，即．
解不等式得，．
∴不等式组的解集为．
∵为正整数，
∴的取值为．
答：学校共有6种购买方案，分别是：
方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本；
方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本；
方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本；
方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本；
方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本；
方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据子集的定义判断即可；
（2）解出不等式组的解集，由其是的子集，可得出，且，解出的取值范围即可；
（3）先解不等式组不等式组，得出结果后，由其有解以及是的子集，可得，且，解出的取值范围即可．
【详解】（1）解：不等式为，不等式为，
不等式是不等式的子集，
故答案为：；
（2）解：解不等式组，
解得其解集是，
∵是的子集，
∴，且，
解得：，
∴的取值范围是；
（3）解：不等式组的解集为，
这个不等式组有解且它的解集是的子集，
∴，且，
解得，
的取值范围是．
24．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（）根据完全平方公式的变形运算解答即可求解；
（）①根据完全平方公式的变形运算解答即可求解；②根据完全平方公式的变形运算解答即可求解；
（）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，，进而求出的值即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：①∵，，
∴．
②∵，，
∴．
（3）解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∵，
∴，
∴，即，
∵阴影部分面积为，
∴，
整理得，，
，得，
∴，
∴．
答案第2页，共11页
答案第1页，共1页

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