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2026年高三年级4月份适应性测试
数学试题参考答案
一、选择题: D B C A D C B B
选择题： 9.AC 10. ABD 11. ABD
填空题：12.； 13.； 14..
第11题解析：A选项，三进制数转化为十进制数为，而，三进制数转化成五进制数，A选项正确；
B选项，由二项式定理知，故最后一位数为1，B选项正确；
C选项，设（，）.
若m为3的倍数，则为3的倍数，又，则，
所以，，，
则，，，
所以当m为3的倍数时，中恰有一个是3的倍数.
，，由,，得，
所以都不是3的倍数,是3的倍数,而这2022个数中，有个是3的倍数，在1至2026中任选一个正整数m，共有个正整数，
所以由古典概型概率公式得，为3的倍数的概率为．C选项错误；
D选项，记第一种颜色卡片上数字之和为，记第二种颜色卡片上数字之和为，则，因为每一个小于等于2026的正整数都可以用唯一表示（二进制），由隔板法知共有种取法，D选项正确.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.解：（1）因为所以 ………2分
因为，故即
因为所以…………4分
即故； ……………5分
（2）因为的面积为，所以即，…………7分
由余弦定理得
， ……………10分
所以所以的周长. ……………13分
16. （1）证明：取的中点,连接.
在等腰直角中, ,则斜边.
因为是的中点，所以 …………2分
同理,在等腰直角中， ……………3分
因为所以. ……………5分
又因为,所以. ……………6分
(2)以为原点，的正方向分别为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.因为，，所以是二面角的平面角，故=.因为，，是的中点所以
，所以
.…………8分
,设平面的法向量为
,,所以 . ………12分
设直线与平面所成的角为, . …………14分
故直线与平面所成角的正弦值为. ……………15分
17. 解：（1）函数的定义域为.求导得:. ……………2分
令,解得，令,解得.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为; ……………4分
（2）设切点坐标为,其中，由（1）知切线斜率 ，则切线方程为， ……………6分
因为切线过点，代入整理得：,过点可作两条切线，等价于关于的方程在其定义域内有两个不同的实根, ……………7分
当时无意义，故，
令且,.……8分
当时，，在和上单调递减；
当时，，在单调递增. ……9分
又当且时，；当且时，,当,且时，..由图知，要使有两根，需,故的取值范围是; …10分
（3）证明：设切点为 ,由（2）知.切线 的方程为 ,要证曲线上除切点外的点都在直线 上方，即证：对 恒成立. ……………12分
将代入上式，即证：,
令,
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以. …………14分
因此，当,即曲线上除切点外的点都在直线 的上方. ……15分
18.解：（1）设点，由题知，所以，……2分
当时，；当时，，无解，舍去；
综上，曲线的方程为. ……………4分
因为为曲线：上一点，所以， ……5分
（方法一）（i）由题知，直线斜率均存在且不为，设,因为在曲线上，则， ……………6分
同理可得,,所以，,令，得,, ……………8分
因为,所以，即， ……………9分
所以，即直线的斜率为. ……………10分
（ii）由（i）知，的中点，所以直线的垂直平分线：，即，同理可得直线的垂直平分线：， ……………12分
由（i）知，所以：， ……………13分
设圆心，联立，得，
，
因为，所以，所以
， ……………15分
而， ……………16分
消去得，即的外接圆的圆心在定直线上. ……………17分
（方法二）由题知，直线斜率均存在且不为，设，，令，得,,因为，所以，设,，联立，得，有解，所以①，因为，所以，即②，把①代入②式可得，即，因为直线不过点，所以，即，所以,即直线的斜率为.
（ii）由（i）知，联立，得③，
设的外接圆方程为,因为在圆上，所以,所以，联立，得
④，因为③式与④式有相同的解，所以,消去得，所以或，当时，，所以，过点,不成立，所以⑤，设圆心，即，代入⑤式得，，即的外接圆的圆心在定直线上.
（方法三）（i）由题知，直线斜率均存在，设，，令，得,,因为，所以
，等价于，
设并代入上式得
，两边同除得，有解，所以，即，所以，即直线的斜率为.
（ii）同（方法二）中（ii）解法
19.解：（1）设”前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券”为事件,则
. ……………4分
（2），设“从盒中随机抽取1个球，抽到红球”为事件,由全概率公式可得，
所以从盒中随机抽取1个球，抽到红球的概率为. ……………10分
（3）设第位顾客抽完后，第位顾客抽奖前，盒中的红球数为离散型随机变量，则此时盒中的白球数为一共有个球，
设离散型随机变量，由题意得
……………11分
由（2）知：
所以 ……………12分
根据参考公式可得
所以， ……………13分
令，
则，累加可得，因为
, ……………14分
所以，又因为符合上式，所以，所以，， ………………15分
所以当时，由（2）知
， ……………16分
又因为符合上式，所以. ……………17分
高三数学试题参考第8页，共8页秘密★启用前
2026 年高三年级 4 月份适应性测试
数学试题
本试卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟.
注意事项:
1. 答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡
上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共 58分）
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.
5
1.复数 z = , 则 z的共轭复数 z 为
2 i
A. 2+ i B. 2 i C. 2+ i D.2 i
2.设集合 A = x x2 2x 3 0 ,B = x x 1 ，则 A B =
A. 1,3 B. (1,3 C. ( 1,1) D. (1,3 1
3.已知 an 是等差数列， bn 是等比数列，且b2 = 3,b3 = 9,a1 = b1,a a =14 = b4 ,则 6
A.9 B.10 C.11 D.12
4.“ R,使得a = b”是“a //b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.函数 y = sin x + 3 cos x, x , 的值域为
2 2


1 1 1
A. , B. 1,1 C. ,1 D. 1,2
2 2 2
6.某公司开发了两款智能模型 A和B用于客服系统. 测试期间，系统在第1天随机选择一
款模型投入使用. 若第1天使用模型 A，则第2天继续使用模型 A的概率为0.6；若第1天
使用模型B，则第2天切换到模型 A的概率为0.8.则第2天使用模型 A的概率为
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9
高三数学试题 第 1页 共 4页

7.已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，点P是椭圆与双曲线的一个公共点，且 F1PF2 = ,
2
3
椭圆的离心率为 ，则双曲线的离心率为
2
2 3 6 5 7
A. B. C. D.
3 2 2 2
8.已知函数 f (x) = ex+m ln x+m,m R，若 f (x) 0恒成立，则m的取值范围为
A. ( 1,+ ) B. 1,+ ) C. ( , 1 D. ( , 1)
二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共计 18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知m n 0 ，则下列说法正确的是
m n
1 1
A. lnm lnn B.cosm cosn C.若c 0,则mc nc D.
2 2
2 2
10.已知点 A(3,4) ,B (2,0)，圆C : (x 1) + ( y 2) = 9，点P在圆C上运动，点Q满足
OQ =OA+OP，其中O为坐标原点.则下列说法正确的是
2 2
A.PQ //OA B.点Q的轨迹方程为 (x 4) + ( y 6) = 9
9
C.OQ OB的取值范围是 1,7 D.点Q到直线 l : 3x + 4y 12 = 0距离的最小值为
5
11.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；
满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等.一般地，若 k是一个大于1的整数，
那么以 k为基数的 k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anan 1 a1a0(k )
（ an ,an 1, ,a1,a0 0,1,2, ,k 1 ，an 0），k进制的数也可以表示成不同位上数字符号
n
与基数的幂的乘积之和的形式，如anan 1 a1a ( ) = ank + a
n 1
n 1k + + a1k + a0 k 0 ．例如：十进
制数22 = 2 32 +1 3+1，所以22在三进制下可写为211(3) , 则下列说法正确的是
A.三进制数211(3)转化成五进制数为42(5)
B.现用八进制表示十进制的919 ,则这个八进制数的最后一位为1
C.正整数m在三进制下的各位数字之和记为 S(m)，在集合 1,2,3, , 2026 中任选一个正整
337
数m，则 S(m)为3的倍数的概率为
1013
D.一副两种颜色的卡片共22张，每种颜色11张，上面分别标有数字1,2,22 ,23 , ,210 ，从这
张卡片中任取m(m N *22 )张，则取出的卡片上数字之和为2026的取法共有2027种
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第Ⅱ卷（非选择题，共 92分）
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12.若a,b 0，且ab = a+b+3，则ab的取值范围为 ．
16
13.已知奇函数 f (x) 的周期为2 ,且当x (1,2) 时, f (x) = 2x +1,则 f log2 = ．
3
14.已知一个棱长为4 6 的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）,则此容器外接球（正四
面体容器各顶点都在球面上）的体积为 ；如果一个半径为1的小球在该容器内
可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为 .（第一空
2分，第二空 3分）
四、解答题：本大题共 5小题，共计 77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分) 已知 ABC的角 A,B,C的对边分别为a,b,c，满足bcosC + csinB = a.
（1）求角 B；
（2）若b = 2 ， ABC的面积为1，求 ABC的周长.

16.(15分)已知全等的等腰直角三角形 ABC和 ADC，其中 ABC = ADC = ，
2

AB = BC = AD = DC = 2 ，现将 ABC沿 AC进行翻折，使二面角B AC D的大小为 ，
3
连接BD得到四面体 B ACD .
（1）证明: AC ⊥ BD；
（2）求直线BC与平面 ABD所成角的正弦值.
高三数学试题 第 3页 共 4页
17.(15分) 已知函数 f (x) = x ln x .
（1）求函数 f ( x)的单调区间；
（2）若过点P (a,0)可作曲线 y = f (x)的两条切线，求a的取值范围；
（3）若曲线 y = f (x)的切线 l过点P (a,0)，其中a 1，求证：曲线上除切点外的点都在
直线 l的上方.
13 5
18.(17分) 已知曲线 上任意一点M 到点N ,0 的距离比它到 y轴的距离大 .
4 4
（1）求曲线 的方程；
（2）P(x0 ,3) 为曲线 上一点，直线 l与曲线 交于 A,B两点（ A,B不与点 P重合），直线
PA与 y轴交于点 R (0, yR )，直线 PB与 y轴交于点 S (0, yS )，且 yR + yS = 6.
（i）求直线 l的斜率；
（ii）证明: PAB的外接圆的圆心在定直线上.
19.(17分) 某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有10个形状、大
小、质地完全相同的小球，其中白球 4 个，红球6 个. 每位顾客从盒子中随机抽取1个球，
记录颜色后放回盒子中. 若抽得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠
券. 每位顾客只有一次抽奖机会.
（1）求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率；
*
（2）若一个不透明的盒子中共有N (N N ,N 3)个形状、大小、质地相同的小球，其中
红球的个数是一个离散型随机变量 X . 证明：从该盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概
E(X )
率为 ；
N
（3）为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员
往盒子中增加3个与刚才取出球颜色不同 的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出
白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽奖. 已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍
为 4 个白球和 6 个红球. 求第n位顾客获得七折优惠券的概率 Pn .
参考公式：若 X ,Y是离散型随机变量，有E (X +Y ) = E (X )+ E (Y ) .
高三数学试题 第 4页 共 4页

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