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河南唐河县第一高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考
数学试卷
一、单选题
1．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．向量，化简后等于（ ）
A． B．0 C． D．
3．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．已知向量，满足，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是
A．b=7，c=3，C=300 B．b=5，c= ，B=450
C．a=6，b= ，B=600 D．a=20，b=30，A=300
6．以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
B．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
D．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
7．若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中错误的为（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．若一扇形的圆心角为4，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
C．若与平行，则在方向上的投影数量为
D．若非零，满足，则与的夹角是
10．在中，，，与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有（ ）
A．h关于t的函数解析式为
B．点P第一次到达最高点需用时5秒
C．P再次接触水面需用时10秒
D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
三、填空题
12．设，是平面内不共线的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数______.
13．在△ABC中，，则角B的大小是________；若，则△ABC的面积的最大值是________.
14．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.
四、解答题
15．已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
16．已知向量，．
(1)若，求x；
(2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
17．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
(2)若在上有两根，求的取值范围.
18．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若，，求的周长.
19．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求关于的方程在上所有的实数根之和；
(3)当时，关于的方程恰有3个不同实根，求实数的取值范围．
参考答案及解析
1．A
解析：.
故选：A
2．C
解析：，
故选：C
3．C
解析：解：因为在中，满足，
由正弦定理知，代入上式得，
又由余弦定理可得，因为是三角形的内角，所以，
所以为钝角三角形，
故选：C.
4．A
解析：由，，，
两边平方可得，
即，
解得，则.
故选：A.
5．C
解析：三角形ABC中已知（ 为锐角），若 或 则三角形有一个解.A选项已知， 且；B选项已知， 且；C选项已知，所以有一个解；D选项已知， 且；故选C.
6．B
解析：对于A，变换后的函数为
，故A错误；
对于B，变换后的函数为
，故B正确；
对于C，变换后的函数为
，故C错误；
对于D，变换后的函数为
，故D错误.
故选：B
7．B
解析：由函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，
则得函数的最小正周期为，所以，
由向右平移个单位长度后得为奇函数，
则，，又，所以当时，有最小值，故B正确.
故选：B.
8．A
解析：作出图形如图所示，扇形，设半径为1，，
设，，由图可知，
又，
所以，所以，
由，，得．，
，故．
故选：A.
9．ACD
解析：选项A：当时，终边经过点的角的集合是；
当时，终边经过点的角的集合是，A错误.
选项B：由题意知，扇形半径，
所以扇形面积为，B正确.
选项C：若与同向，在方向上的投影数量为；若与反向，在方向上的投影数量为，C错误.
选项D：已知，设，则，即，
所以，所以.
设与的夹角为，
则，
又，所以，D错误.
10．ABC
解析：因为，，
所以，如图，
对于A，，正确；
设，则，
设，又，
所以，
又，
所以，解得，
可知，，
，
故BC正确，D错误.
11．ABC
解析：函数中，所以，
时，，解得，因为，所以，
所以，A正确；
令得，则，解得，
所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；
由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；
当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．
故选：ABC
12．/
解析：，
，
由，，三点共线，
则有，解得，
故答案为：.
13． /
解析：因为，由余弦定理得，所以.
因为，所以，当且仅当时取等号，所以，
面积，所以三角形面积的最大值为.
故答案为：；
14．-3
解析：因为，所以，
所以
，
即，
故答案为：-3
15．(1)
(2)
解析：（1）角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则，
所以，．
所以
．
（2）由于，
，
所以．
16．(1)
(2)
解析：（1）∵，，，
∴，
解得；
（2）∵在方向上的投影向量为，
∴，解得，
∴，，，
∵与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且，
∴λ的取值范围为：．
17．(1)表格见解析，
(2)
解析：（1）补充表格:
由最大值为最小值为可知
又，故
再根据五点作图法，可得，得
故
（2）
令，则
所以=有两个根，转化为在上有两个根.
即在上有两个根.
由在的图像和性质可得：,
所以
故实数的取值范围为
18．（1）；（2）.
解析：（1）∵ ，
∴ ，由正弦定理得：，
因为 ，所以，得，
又，故 ，
∴外接圆的半径，
∴外接圆的面积为.
（2）由及得：，，
∵，则为锐角，
∴，故.
如图所示，在中，由余弦定理得，
，
解得，
则的周长为.
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）由图可得最大值为，，则，，
令，则有，解得，
又，故，即；
（2）令，则，
当时，，
由，则，则有四个不同的根，
设这四个根从小到大分别为，由有对称轴与，
则，，
即有，，故实数根之和为；
（3）当时，，则，
故，其中及有且仅有一根，
有且有两个不同的根，
令，则，
则或，
若，即时，有且仅有一根，
则需要有两根，
则，解得.

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