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乐山市高中2023级第二次调查研究考试数学
（本试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：已知，，
．
2. 复数与的积是实数的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：，
若要复数与的积是实数，
则，
反之，则复数与的积是实数，
所以是复数与的积是实数的充要条件，
故选：A
3. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为在中，，则，，
又，所以.
4. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：函数定义域为，，因此是奇函数，故排除A.
当时，，又，所以.故排除C.
当时，，故排除D.
函数的部分图象可能是选项B.
5. 定义平面斜坐标系，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量．若，则称为P的斜坐标已知A，B的斜坐标分别为，，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
解析：已知，则，
，
已知，
，
．
6. 在中，，，，则的面积是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
解析：在中，由余弦定理得：
，
，
则
所以的面积是.
7. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：项的系数为：.
8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（ ）
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定
【答案】D
解析：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，所以，.
所以，令，且.
则，
当或时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 公比 B. 数列是单调递减数列
C. D.
【答案】AC
解析：若等比数列的公比为1，则，；，矛盾，
故，
由于，，，解得，，A正确；
故，数列是单调递增数列，B错误，C正确；
，D错误.
10. 某水果店店长记录了过去30天苹果的日销售量数据（单位：）：
销量
频数 1 0 4 11 8 4 2
店长假设日销售量X近似服从正态分布，，，根据上述数据，下列说法正确的有（ ）
A. 可以估计约为
B. 日销售量在范围内的天数约为20天
C. 若日销售量超过的概率为p，则
D. 若未来连续3天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布
【答案】ABC
解析：日销售量的平均值为，
所以可以估计约为，故A正确；
因为日销售量X近似服从正态分布，所以，
所以，
所以日销售量在范围内的天数约为天，故B正确；
可得，
所以，故C正确；
若未来连续3天的日销售量都超过，这不能说明日销售量不服从正态分布，
在正态分布下它也是可能发生的，只是发生的可能性极小，故D错误.
11. 已知函数两相邻对称中心的距离为4，，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的对称中心为
C. 若有两个零点，，则
D. 当其中一个零点时，最小值为
【答案】CD
解析：对A：因为函数两相邻对称中心的距离为4，
所以函数的最小正周期为8，所以，
所以或，故A错误；
对B：对函数，由或，
所以函数的定义域为，所以函数的定义域不关于点对称，
所以函数的图象也不关于点中心对称，故B错误；
对C：因为，.
所以.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当即时，方程有两解，和各有1个.故C正确；
对D：由，
代入得：.
令，因为，所以，
则.
令，.
则.
因为，所以，所以在上单调递减.
所以当，对应时，最小，且，所以的最小值为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 点在抛物线上，F是抛物线的焦点，则_____________．
【答案】2
解析：因为点在抛物线上，
所以，解得.
则.
13. 已知函数在区间上的最小值为3，则_____________．
【答案】4
解析：
因为，所以，即，
因此的最小值满足：.
14. 已知正方体，O为的中心，M为的中点，过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为_____________．
【答案】
解析：
设正方体棱长为，体积为，
如图1，过O、M两点的平面与交于点，
过O、M两点的平面将正方体分为两部分，
记两部分的体积分别为、，设，
如图2，当时，两部分的体积分别为和，此时，
当时，如下图
的体积相对于时
增加了一个斜三棱柱的体积，
同时减少了多面体的体积，
观察上图发现增加的体积多于减少的体积，且其体积是连续变化的，
当，如下图的体积必然大于多面体的体积，
计算多面体的体积为，
，
所以多面体的体积为，
所以当，如下图的体积必然大于，
如下图，当截面与上底面的交点在上时，
考虑特殊情况为上的中点时，，此时，根据对称性，，
且从运动到上的中点过程中，同时一样，的体积必然大于，，
再根据对称性，及体积变化的连续性知，的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
15. 已知数列的首项，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
（1）
当时，，
则，，，，
所以，即.
所以.
当时，满足上式，
故的通项公式为.
（2）
由（1）知，，则，
所以，
因为，所以，则，因此，
故.
16. 已知．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，在最大值为10，最小值为0，求此时a，b的值．
【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在和上单调递减
（2）
（1）
，
当时，令，所以函数在上单调递增，
令，所以函数在上单调递减；
当时，令，或，所以函数在和上单调递增，
令，所以函数在上单调递减；
当时，令，所以函数在上单调递增；
令，或，所以函数在和上单调递减，
综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；
（2）
由（1）可知：当时，函数在上单调递增，
所以当时，函数单调递增，
所以有，解得.
17. 如图，在四棱锥中，平面，且底面是等腰梯形，，，．
（1）若平面平面，求证：；
（2）若平面平面，求n与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（1）
因为，且平面,平面，故平面，
又平面，平面平面，故，即；
（2）
由题意知底面是等腰梯形，，，
延长交于一点，设为E，则为等边三角形，且也为等边三角形，
结合，可得，则为的中位线，故，
由于平面，平面，故E为平面和平面的一个交点，
而P为平面和平面的一个交点，
故即为平面和平面的交线n，
由于平面，
故以C为坐标原点，以所在直线为x轴，过点C作的垂线为y轴，所在直线为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则,
设n与所成角为，则.
18. 2026年马年春晚《武》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）．
（1）当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）设在该赛制下机器人获胜的概率为．
①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利；
②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论．
【答案】（1）分布列为：
2 3
0.52 0.48
期望为.
（2）①，，，赛制对机器人更有利
②随着k的增大，机器人获胜的可能性变大，证明见解析
（1）
当时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为，
，
,
所以X的分布列为：
2 3
0.52 0.48
（2）
①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为，
由题可知为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：或，
所以，
为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：或或，
，
所以，
所以时，局胜制对机器人更有利.
②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大.
证明如下：
由①可知，，
下面讨论局与前局的递推关系：
（i)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜，
其概率为，即.
（ii)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜，
其获胜概率为，即.
（iii）若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜，
其获胜概率为.
，
，
，，即
19. 已知椭圆的中心为O，离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线，与y轴交于点P，过点P的直线l与C分别交于点A，B，椭圆的下焦点为F，直线，分别交直线于点M，N，记直线l，，的斜率分别为k，，．
①若，探究是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；
②若，使得O，F，M，N四点共圆，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）①是定值，定值为②
（1）
因为椭圆的中心为O，离心率为，且过点，
所以；
（2）
①是定值，定值为，理由如下：
当时，点P坐标为，下焦点的坐标为，
直线l的方程为，与椭圆的方程联立，得
，
，或，
设，，
，
，
所以；
②假设，使得O，F，M，N四点共圆成立，
此时直线l的方程为，与椭圆的方程联立，得
，
，
设，，
因为直线与直线垂直，因此M，N必在纵轴同侧.
因为该椭圆关于纵轴对称，因此先考虑M，N在纵轴左侧情形，此时，
直线的方程为，令，得，
同理可得，显然有，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
因为O，F，M，N四点共圆，
所以，于是有，
，
，
，
设，，
所以，显然函数在上单调递增，
于是当时，，所以，
所以函数在上单调递增，
于是当时，，
即，
因为，所以，
当M，N在纵轴右侧情形，此时，
同理可得，
综上所述：k的取值范围为.

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