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2026学年数学七年级下学期期中测试卷（1-3章）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．成语以简洁凝练的形式，承载着深厚的历史文化内涵，是汉语的精华和中华文化的瑰宝．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．不期而遇 D．叶落归根
2．用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．
C． D．
3．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可
B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可
C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶
D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶
6．若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．如图，已知，直线分别交、于点、，作的平分线交于点，的度数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．若是一个完全平方式，则a值为11
B．已知，则
C．若，则
D．已知，那么
9．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积为（ ）．
A．1 B．2 C．4 D．8
10．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律有如下几个结论：展开式有项，系数和为的结果是展开式中，系数最大为．
其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是________．
12．我国的陆地面积约为9600000km ，用科学记数法表示这个数是_______．
13．若，，试用含，的代数式表示 　 ．
14．某科学小组制作了一个自主行走的机器人，为测试该机器人性能，制作迷宫如图．机器人从出发，只往下或往右走，到达终点，经过点的概率是_____．
15．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________．
16．将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中，．若三角尺不动，将三角尺绕顶点转动一周，当三角尺的一条直角边与平行时，的度数为___________．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-19每题6分，20-22题每题10分，23-24题12分。）
17．（6分）已知，，，求下列各式的值：
(1)； (2)．
18．（6分）化简或计算
(1)；
(2)，其中．
19．（6分）如图，和谐广场有一块长为米，宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）
(1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
(2)若，每平米的绿化费用为50元，求阴影部分的绿化总费用．
20．（10分）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．（10分）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到．
(1)根据上述信息，分别计算出m，n的值．
(2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案．
22．（10分）在STAM课程中，为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B两张卡片，乙口袋中装有C、D、E三张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、D、E）．课堂上，同学们通过随机抽卡片来分享对应的科学知识．
(1)小远从乙口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是化学变化的概率是_____．
(2)游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小远分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小智分享．这个规则对小远和小智公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．
23．（12分）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式．
例如，若，
则多项式就是双平方多项式．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)判断：多项式是不是双平方多项式．
(2)若多项式是双平方多项式，求整数的值．
(3)已知，，比较，的大小．
24．（12分）问题背景：若，则我们称是的“驰骋角”．例如：，，则是的“驰骋角”．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究．
(1)探究：如图，直线，被直线所截．已知是的“驰骋角”．
当时，________；
当时，直线与直线_________（填“互相垂直”或“不互相垂直”）；
(2)探究：如图，直线与直线，分别交于点，．已知是的“驰骋角”．
求证：是的“驰骋角”．
如图，是上一点，过点的直线分别交直线，于点，，且．当是的“驰骋角”时，求的度数．
参考答案
一、选择题
1．C
解：在一定条件下，必然发生的事件是必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，
、水中捞月一定不会发生，是不可能事件，不符合题意；
、 瓮中捉鳖一定会发生，是必然事件，不符合题意；
、不期而遇可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意；
、 叶落归根一定会发生，是必然事件，不符合题意．
2．A
A、可用“垂线段最短”来解释，该选项符合题意；
B、可用“两点确定一条直线”来解释，该选项不符合题意；
C、可用“两点确定一条直线”来解释，该选项不符合题意；
D、可用“两点之间，线段最短”来解释，该选项不符合题意．
故选：A
3．C
解：∵两条直线相交于一点，共产生对对顶角，
条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为，
∴对顶角总对数．
4．D
解：∵是完全平方式，
∴，
解得：或．
5．C
解：选项，购买个盲盒可能出现重复款式或开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误；
选项，购买个盲盒也可能出现重复普通款或多次开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误；
选项，共有种不同款式，购买的个盲盒对应个款式结果，至少有个盲盒款式相同，一定会重复出现某款玩偶，说法正确；
选项，开出隐藏款的概率为只代表单次购买开出隐藏款的可能性，购买个盲盒仍有可能都不开出隐藏款，说法错误．
6．A
解：
，
∵展开后不含x的一次项，且常数项为，
∴，，
由得：，
把代入得：，
∴．
7．C
解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
8．C
解：A、∵是完全平方式，
∴，解得或，故A错误；
B、∵，代入，
∴，故B错误；
C、∵，
∴，
∴，故C正确；
D、∵，代入，
∴，解得，故D错误．
9．C
解：∵大正方形的面积为10，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴小正方形的面积是，
故选：C．
10．B
解：当时，项数为一项，系数和为；当时，项数为两项，系数和为；当时，项数为三项，系数和为；当时，项数为四项，系数和为；当时，项数为五项，系数和为；当时，项数为六项，系数和为；当时，项数为七项，系数和为；……，
由此规律得：展开式的项数为项，系数和为，故①错误；
由，则，
所以，故②正确；
当时，展开式中，系数最大为，故③正确，
综上，正确的有②③．
填空题
11．
解：如图所示：
同一平面内，已知直线a、b、c，且，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
解：我国陆地面积约为，
．
13．
解：．
14．
解：由题意可知，点到点的所有路线为：，，，
共有种等可能的结果，其中经过点的情况只有一种，
∴经过点的概率为．
15．
解：由题意，得
．
16．或或或
解：当E点在直线上方时：
如图1，当时，设与交于F点，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图2，当时，，
则．
当E点在直线下方时：
如图3，当时，延长交于F点，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图4，当时，，
∴，
∴，
综上，的度数为或或或．
故答案为：或或或
三、解答题
17．（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
18．（1）解：原式
；
（2）解：
，
当时，原式．
19．（1）解：根据题意，
，
绿化的总面积为平方米．
（2）解：当，时，平方米，
则绿化的总面积为平方米，
（元）
∴绿化总费用为元．
20．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．（1）解：由题意得，
，
即，
所以，，
解得，．
（2）解：原式
．
由（1）知，，，
所以原式．
一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ．
22．（1）解：乙口袋有三张卡片，其中属于化学变化的有D、E共两种，
∴抽到的是化学变化的概率是；
（2）解：不公平，理由如下：
根据题意，列表如下：
乙 甲 A B
C
D
E
由表可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，
其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有1种，两次抽出的卡片均为化学变化的情况有2种，
∴小远分享对应的科学知识的概率，小智分享对应的科学知识的概率．
∵，
∴不公平．
23．（1）解：
∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式．
（2）解：
，
∵多项式是双平方多项式，
∴，
解得．
（3）解：
∵，，
∴，即，
∴．
24．（1）解：∵是的“驰骋角”，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
是的“驰骋角”，
∴，
∵，
∴联立得，
∴，
如图，过作，
∴，，
∴，
∴，
∴直线与直线不互相垂直，
故答案为：不互相垂直；
（2）证明：∵是的“驰骋角”，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴是的“驰骋角”；
如图，过点作，
∴，，
∴，
由题意得，
∴，
即，
解得，
∴的度数为．

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