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5.3 分式方程
一、单选题
1．解分式方程时，去分母后变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知关于x的分式方程，则x的值为（　　）
A．2 B． C．不存在 D．0
3．高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设高铁列车的平均速度为，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
5．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　）
A．且 B．且
C． D．
二、填空题
6．关于的分式方程有增根，则_____．
7．某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为______．
8．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________．
9．若关于的分式方程无解，则的值为___________．
10．以下结论：①若，，则的值为；②若是一个完全平方式，则k的值为9；③若，则；④若关于x的方程无解，则m的值为4或0．其中正确的结论是_____（填写序号）．
三、解答题
11．解方程：
(1) (2)
12．某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料．
13．下面是婷婷同学解分式方程的部分过程：
解：方程两边同时乘以________，得： 第一步 移项，得： 第二步 合并同类项，得： 第三步 系数化为1，得： 第四步 检验：当时，． 第五步 ∴原方程的解为． 第六步
(1)这位同学解题过程中的横线处应该填________，解题过程错误在第________步；错误原因是________．
(2)请你帮她写出正确的解答过程．
14．甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍．
(1)求甲、乙每小时各做多少个零件？
(2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？
15．为了促进学生的身心健康全面发展，本学期学校的课间活动时间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．体育组老师们准备购买一批足球，足球的价格主要集中在类和类两种，且类比类的单价贵10元，已知用450元购买的类足球数与用350元购买的类足球数相等，现准备同时购买、两类足球．
(1)请问类、类足球单价各多少元？（用方程解决问题）
(2)若准备同时购进两类足球共计20个（两类足球都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵
∴该分式方程的最简公分母为，
方程两边同时乘以
得．
故选：B．
2．C
解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程无解，即x的值为不存在．
故选：C．
3．B
解：由题意可得，普通列车的平均速度为，
∵乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用，
∴列方程为：．
4．B
解：∵原分式方程为，
∴两边同乘（），得，
整理得，
∵分式方程无解，且整式方程必有解，
∴是原方程的增根，
将代入，得，
解得．
故答案为：B
5．B
∵ 原方程为，将方程变形为，
两边同乘去分母得：，
整理求解得：，
∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0，
∴ ，且，
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
∴ 且．
二、填空题
6．1
解：方程两边同乘，得，
化简得．
令，得，
解得：．
故答案为：1．
7．
解：训练前速度为千米/时，跑3千米所需时间为小时；
比赛时速度为千米/时，所需时间为小时．
由于比赛时少用3分钟，即小时，
因此有．
故答案为：．
8．且
解：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵解为正数，
∴，即，
∴，
又∵分母，
∴，
即，
∴，
故且．
故答案为：且．
9．或
解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
整理得，
当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意．
当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根．
分式方程的增根使最简公分母为0，即，得，
将代入，得，
解得．
综上，的值为或．
10．①③④
解：①由，，根据同底数幂的除法法则，，故正确；
②为完全平方式，则，解得，故错误；
③由且，两边除以得，即，故正确；
④方程交叉相乘得，整理得，
∵原分式方程无解，
∴当整理后的整式方程无解时，，解得；
当整理后的整式方程有解时，解是原分式方程的增根，原方程分母为0时，或，
将代入可得，不成立，故舍去，不符合题意；
将代入可得，解得，
综上，或，故正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题
11．（1）解：，
，
，
，
经检验，当时，
∴原分式方程无解；
（2）解：，
，
，
，
，
经检验，当时，
∴是分式方程的解．
12．解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，
，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的解，
则机器人B每小时搬运：（千克）．
答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克．
13．（1）解：，
方程两边同时乘以 ，得，
婷婷同学的第一步写成了 ，漏乘了常数项 与 的乘积．
故答案为：；；去分母时，漏乘了常数项“”．
（2）解：，
解：方程两边同乘，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
检验，时，
原方程的解为
14．（1）解：设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据题意得

解得
检验：当时，
原分式方程的解为

答：甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件；
（2）解：设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据题意得

解得
检验：当时，
原分式方程的解为
（个）
（个）
答：培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件．
15．（1）解：设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：类足球的单价是45元，类足球的单价是35元；
（2）解：设购进类足球个，则购进类足球个，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
，
有2种购买方案：
①购进类足球1个，类足球19个；
②购进类足球2个，类足球18个．
答：购进类足球1个，类足球19个或购进类足球2个，类足球18个．

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