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第三章《图形的平移与旋转》单元自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．秋实中学金桥校区举办了“项目式学习”活动，其中有一个项目为剪纸．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．如图，将 ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（ ）
A．5 B． C．3 D．
5．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（ ）
①或与在同一条直线上
②或与在同一条直线上
③
④
A．个 B．个 C．个 D．个
7．已知点，，将线段平移后得到线段，其中点A平移到点C，点B平移到点D，平移后点C、点D恰好都落在坐标轴上，则点C的坐标是（　　）
A． B．
C．或 D．或
8．如图所示，在中，，，点的坐标为，为边中线，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
9．如图，点是直线上的一个动点，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，，，是 ABC的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（ ）个．
①；②；③四边形的面积；④
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________．
12．如图，在 ABC中，，在同一平面内，将 ABC绕点A旋转到的位置，使得，则度数是________．
13．如图，一个长，宽是的长方形草地，有两条宽都是的纵、横相交的小路，这块草地的面积是_______．
14．在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫作点关于点的“关联点”．若点关于点的关联点的坐标是，则点的坐标是______．
15．如图，等边三角形内有一点，分别连接，，．若，，，则__________．
16．如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，将 ABC中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，．
(1)若，，求的大小；
(2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和．
18．如图，在中，，将 ABC绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
19．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直）
20．如图，在中，为 ABC内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．
(1)求的度数；
(2)用等式表示与的数量关系，并证明．
21．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点分别是，，．
(1)把 ABC向左平移4个单位后得到，请画出平移后的；
(2)把 ABC绕原点O旋转后得到，请画出旋转后的；
(3)观察图形可知，与关于点 中心对称；
(4)请计算 ABC的面积．
22．如图， ABC是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，，垂足为H，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
23．如图，将三角形沿方向平移至三角形．
(1)若，则的度数为_____；
(2)若是的中点，，，，连接．
求三角形的面积；
已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示）
24．综合探究与应用
(1)如图1，在 ABC和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________．
【类比应用】
(2)如图2，在 ABC中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接．
①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；
②直接写出、、这条线段的数量关系为________________；
③若，，请直接写出 BCF的面积．
25．对称变换和平移变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时，更是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题：
（1）如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点B（2，1），点P在x轴上运动，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是　　；（请直接写出答案）
（2）如图②，AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，且AD＝2，AB＝BC＝4，当点P在直线l上运动时，PA+PB的最小值是　　；（请直接写出答案）
（3）如图③，直线a∥b，且a与b之间的距离为1，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为2，且AB＝，问：在直线a上是否存在点C，在直线b上是否存在点D，使得CD⊥a，且AC+CD+DB的值最小？若存在，请求出AC+CD+DB的最小值；若不存在，请说明理由．
（4）如图④，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，4），线段CD在直线y＝x上运动，且CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值是　，此时点D的坐标为　．（请直接写出答案）
参考答案
一、选择题
1．A
解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选：A．
2．A
解：是中心对称图形的有①②③．
3．D
解:∵ ABC绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．，
∴．
4．B
解：∵等边 ABC中，为的中点，
∴，，，
，
∵，
∴，
解得（负值已经舍去），
∵与关于点成中心对称，
∴．
5．B
解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B，
∴旋转中心是点B．
6．C
解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确，
根据现有条件无法证明，故④错误．
7．C
解：设平移时横坐标变化量为，纵坐标变化量为，
∵平移后得到点，平移后得到点，
∴，
∵，都落在坐标轴上，分两种情况讨论：
情况1：在轴，在轴
可得
解得，
∴
情况2：在轴，在轴
可得，
解得，
∴
综上，点的坐标为或．
8．A
解：且，
点的坐标为
由中点公式可得点的坐标为，
每次旋转，旋转次，相当于每次旋转，旋转次
每次旋转，次一个循环
∵
，
故点最后落点与起始点关于原点对称，坐标为
9．A
解：如图所示，过点B和点分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴点在直线上，
∴当与直线垂直时，有最小值，
设直线与x轴，y轴分别交于点E，点F，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
10．B
解：，，是的角平分线，
，，，
，，且，
，
，
，，，
，
，，，
，
，
又，
，是确定的，
是定值，故①正确；
，
，
又，
，
，，
，
随的旋转而改变，
不是定值，故②错误；
，，，
，
，且，
是定值，
四边形的面积是定值，故③正确；
，
，
，
随的旋转而改变，
不是定值，故④错误；
保持定值的有①③，
故选：B．
二、填空题
11.
解：∵点与点关于原点对称，且点在第三象限，
∴根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，以及第三象限内点的横、纵坐标均为负数，可知点在第一象限，
∴点的横、纵坐标均为正数，由此列出不等式组：
，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴的取值范围是．
12．
解：，
．
将 ABC绕点旋转到的位置，
∴AC=AC/ ．
．
在中，．
13．
解：∵两条小路的宽都是，
∴草地的长为，宽为，
∴这块草地的面积为．
14．
解：∵点关于直线翻折后的横坐标为，纵坐标不变为1，
再向下平移1个单位长度后坐标为，
∴点C的坐标为．
15．
解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
根据旋转的性质可知，，，，
为等边三角形，
．
过点作于点，则，
．
在中，，，，
，
直角三角形，且，
．
故答案为：．
16．或
解：设，则，
由旋转的性质可知，，，
①当时，是等腰三角形，则，
在中，，
，
，
解得；
②当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
，
整理得：，
解得（负值舍去），
③当时，过点E作于点F，如图
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
即，
解得，不符合题意，舍去；
综上可知，的长为或．
三、解答题
17．（1）解：由平移的性质可得，
，
，
；
（2）解：由平移的性质可得，，
与周长的和
．
18．（1）证明：∵ ABC绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，
∴，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵ ABC绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴的度数为．
19．解：如图，把河的两岸看成平行线和，将沿河岸垂直的方向平移等于河宽的距离，即点移动到点，点移动到点，则，；
同理，将点B沿垂直河岸方向平移河宽距离到点，使得，则；
所以，
在连接两点的线中，线段最短，
因此与直线的交点的位置即为所求，即在点处造桥，所得路径最短．
20．（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
即，
∵
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点C作交于点H，
在中，DB=BE,∠DBE=90 ，
∴，
∵，
∴∠ADF=∠CEH=90 -45 =45 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵∠ADF=∠CHF=45 ,∠AFD=∠CFH，
∴，
∴．
21．（1）解：根据题意可得：
（2）解：根据题意可得：
（3）解：根据题意得：
则与关于点中心对称；
（4）解：根据题意得：
，
则.
22．（1）解：是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，
．
（2）证明：由平移可知，
，
又∵∠ECA=∠BCE -∠ACB=30 ，
，
，
又，
垂直平分，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
23．（1）解：根据平移性质可得，，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，，
∴
∵是的中点，
∴，
∴，
∴；
如图，过点作于点，
由等面积法可求得，
即点到的距离为．
24．（1）解：与的关系为：，，理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故，；
（2）解：①，理由如下：
∵将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度得到线段，
∴，，
又∵，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
同理，在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
②，证明如下：
如图，过点A作交延长线于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
由①可知，，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
由①可知，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
③由②可知，，，
∴，
即．
由②可知，，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．解：（1）如图1，作点A关于x轴的对称点，连接交直线l于点P，则点P为所求点，
∵点 、A关于x轴对称，，
， ，
∴为最小；
设直线的表达式为：y＝kx+b，
将点 代入得
，解得：，
故直线的表达式为：y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，故点P（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（2）如图2，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，则点P为所求点，过点作交BC的延长线于点H，
∵点 、A关于x轴对称，
，
∴为最小；
过点A作AM⊥BC于点M，
，
∴ ，
∴四边形ADCM是矩形，
∴，
同理， ，
∴BM＝BC﹣CM＝BC﹣AD＝4﹣2＝2．
在Rt△ABM中，AM2＝AB2﹣BM2＝16﹣4＝12＝ ，
BH＝CH+BC＝+BC＝2+4＝6，
在中，
；
即PA+PB的最小值为4，
故答案为：4；
（3）存在，理由：
如图3，将点A向下平移1个单位得到，连接交直线b于点D，过点D作DC⊥a于点C，连接AC，则点C、D为所求点，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴ 为最小．
过点 、A分别作直线a的平行线，分别交过点B与a的垂线于点G、H，则四边形为矩形，
∵BH＝2+1+2＝5，AB＝，则AH＝＝3，
在中，，BG＝2+1+1＝4，
，
∴，
∴AC+CD+DB最小值为6；
（4）如图4，将点A沿y＝x方向向右平移2个单位长度得到，作点关于直线y＝x的对称点，连接交直线y＝x于点C，将点C沿直线向下平移2个单位长度得到点D，则点C、D为所求点．
连接AD、，
设C的坐标为 ，
∵ ，
，
，
∴如果沿着直线向上平移个单位长度，相当于向右平移2个单位，再向上平移2个单位．
∵，
．
∵点和点关于对称，
．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
，
．
，
，
∴四边形ABCD周长＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+BC+＝4+2+为最小．
∵=＝4，
故四边形ABCD周长最小值为：64．
设直线的解析式为，
将代入解析式中得
解得
∴直线解析式为 ．
，解得：，
故点C（5，5），
而CD＝2，
∴点D可以看成点C向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
∴点D（3，3），
故答案为：6+4；（3，3）．

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