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第四章《因式分解》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．与的最大公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．把多项式分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若多项式可分解为，则的值为（ ）
A．3 B． C．11 D．
4．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，且，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
7．在 ABC中，的对边分别记为，且，请用因式分解判断， ABC的形状一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝
9．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．多项式中各项的公因式是______．
12．分解因式____________ ．
13．______．
14．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________．
15．若，则____________．
16．若关于x的方程，则代数式的值是_________．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．已知 ，试说明：
18．因式分解：
(1) (2)
19．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．已知．
(1)判断的大小关系．
(2)若，求的值．
21．瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解．
解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法．
(1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）
(2)请你按照上述方法分解因式：
(3)应用：已知 ABC的三边长a、b、c满足条件：，试判断 ABC的形状．
22．先阅读材料，再回答问题：
材料：分解因式：
解：
回答问题：
(1)材料中最后一步分解因式的结果是___________．
(2)分解因式：，结果是___________．
(3)分解因式：，结果是___________．
(4)若，则的值为___________．
23．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
；
例如：求代数式的最小值，
．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知，（为任意实数），求的最小值．
24．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小丹同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
故原式（第四步）
（第五步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)初步理解：小丹同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)尝试应用：
按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，请你用换元法对多项式进行因式分解．
(3)灵活运用：
①若，求的值．
②请你将多项式进行因式分解．
25．【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究．
(1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____；
(2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题：
已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的，
∴与的最大公因式是．
故选：C．
2．A
解：
．
故选：A．
3．B
解：∵，
∴，，
解得，
∴．
故选：B．
4．C
解：A、，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解，该选项错误；
B、中不是平方项，只能提取公因式分解，不符合要求，该选项错误；
C、，是两个平方项且符号相反，可以用平方差公式分解为，符合要求，该选项正确；
D、是三项多项式，不符合要求，不能用平方差公式分解，该选项错误．
5．B
解：A选项，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解；
B选项，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，是因式分解；
C选项，该变形是整式乘法运算，是从乘积化为多项式，不是因式分解；
D选项，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解．
6．D
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
7．D
解：∵，
∴，
∴，
∵ 在 ABC中，边长大于0，
∴，
∴，即，
∴ ABC是等腰三角形．
故选：D．
8．D
解：∵，
∴提取公因式得：原式，
又∵（平方差公式），
∴原式，
由题意知：对应“爱”， 对应“宝”，对应“灵”，
∴分解结果的因式对应“爱、宝、灵”，组合可得密码信息“爱灵宝”；
故选：D；
9．C
解：∵，
∴，
∴
；
∴．
10．A
解：
∵多项式的值与无关，
∴，
整理得，
∴，则两式相减得，
∵
当时，取最小值，最小值为3，
故选：A．
二、填空题
11．
解：多项式中各项的公因式是．
12．
解：
．
13．246
【本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：246
14．1
解：，
，
，
，
．
15．0
解：
将，代入上式，得
原式
，
故答案为：0．
16．5
，
，
．
三、解答题
17．解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
18.（1）解：
．
（2）解：
．
19．（1）解：
当时，
原式；
（2）解：
当时，
原式．
20．（1）解：
，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法，
第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法，
故答案为：②，①；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
，
、b、c是 ABC的三边，
，
或，
或，
是等腰三角形或者直角三角形．
22．（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：由（1）（2）可知，
；
（4）解：，
∴，
∴，
解得．
23.（1）解：
；
（2）∵，为任意实数），
∴
，
∵，
∴
∴当时，的最小值是．
24．（1）解：运用了完全平方公式法，
故选：C；
（2）设．

．
（3）①令，则由得，，
解得，
因为，
所以，
则．
②
，
设
原式
25．（1）解：根据题意可知：．
（2）解：∵，且，，
∴需要②号长方体12个，③号长方体6个．
（3）解：；
由题意，得，
整理得，
∵，
∴．
即．
∵为整数，
∴为完全平方数，且，即
又，，故
因而存在下面两种情形：
①当时，；
②当时，．
综上所述，的值为或．

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