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第四章《因式分解》单元自测卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1.下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.多项式的最大公因式是（ ）
A． B． C．3 D．
3.将多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则等于（ ）
A．16 B． C．4 D．
5.甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（ ）
A．2 B． C． D．
6．若，则代数式的值是（ ）
A．2019 B．2025 C．2026 D．2033
7.嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ）
用平方差公式分解下列各式： ①;②;③;④．
A．①题 B．②题 C．③题 D．④题
8.利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（ ）
A．18 B．28 C．36 D．64
9.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：十、堰、我、爱、游，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．游十堰 B．我爱游 C．我爱十堰 D．我游十堰
10．已知，，则代数式的值为（ ）
A．30 B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。）
11．因式分解：____。
12．分解因式：______。
13.关于x的二次三项式的最小值是_________。
14．已知实数，满足，，则 _______。
三、解答题（本题共7小题，共58分）
15.（8分）因式分解：
(1); (2)．
16.（8分）如下图，把（单位：）、、三个电阻串联起来。设线路上通过的电流为（单位：），线路两端的电压为（单位：），则．当，，，时，求线路两端的电压。
17.（8分）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题。
已知二次三项式有一个因式是，求的值。
解法一：设，
,
，解得，
的值为．
解法二：设（为整式），
当，即时，，
把代入，得，
根据上面材料，选择一种方法解答下列各题：
（1）已知二次三项式有一个因式是，求的值；
（2）多项式分解因式后有一个因式是，求的值。
18.（8分）阅读材料：利用因式分解生成密码
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码，规则是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码。例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码。将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码。
（1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是________；
（2）已知多项式，用上述方法生成密码，若p、q都是正整数，且密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？
（3）多项式，当，时，利用题目中所示的方法，可以得到密码101213，求m的值。
19.（8分）阅读下列材料：分解因式：．
方法一：原式；
方法二：原式．
对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式。
请尝试利用材料中的方法分解因式：
(1);
(2)．
20.（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数。
（1）直接判断：28 （是或不是）“神秘数”，2025 （是或不是）“神秘数”：
（2）设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？请说明理由。
21.（10分）阅读理解
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法。但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程如下：
．
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：
（2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由。
参考答案
一、单项选择题
1.B
解：A选项：，故A错误；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C错误；
D选项：的结果不是整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，故D错误。
故选：B．
2.D
解：由题意得，多项式的最大公因式是，
故选：D．
3.D
解：运用平方差公式进行因式分解可得：
．
故选：D．
4．B
解：∵ ，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
故选：B．
5.D
解：∵多项式中，各项系数为2和（绝对值最大公因数为2），字母部分为和（最低次幂为），
∴公因式为．
故选：D．
6．C
解： ，
,
．
7.B
解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：可化为的形式，即两个平方项符号相反。
∵①，符合平方差形式，可以分解；
②，两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，不能分解；
③，符合平方差形式，可以分解；
④，符合平方差形式，可以分解。
∴不能按要求分解因式的是②题。
8.D
解：∵
又 ∵
∴
∴ 能够被 64 整除。
故选：D．
9.C
解：
，
由题意得，，，，a分别对应：十、堰、我、爱，
∴结果呈现的密码信息可能是“我爱十堰”，
故选：C．
10．D
解：∵
，
又∵, ，
∴ 原式．
二、填空题
11．
解：原式．
12．
解：．
13.1
解：，
,
,
∴的最小值是.
14．
解： ，
将，代入，得原式．
三、解答题
15.（1）解： ．
（2）解： ．
16.解：．
当，，，时，
原式，
线路两端的电压为．
17.（1）解：设（为整式）
当，即时，．
把代入，得，
．
（2）解：设（为整式）
当，即时，，
把代入，得，
．
18.（1）解：，
当取，时，，，，
∴生成的密码是1525425．
故答案为：1525425；
（2）解：，
、q都是正整数，
．
，，解得．
第三个因式码为；
（3）解：．
根据题意，当，时，三个因式码为10，12，．
又∵密码为101213，
∴三个因式码为10，12，13，
∴,
．
19.（1）解：
;
（2）解：
．
20.（1）解：∵，
∴28是神秘数；
∵偶数的平方一定是偶数，
∴两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，
∴不存在两个连续偶数的平方差的结果为2025，
∴2025不是神秘数，
（2）解：是，理由如下：
,
又∵k是非负整数，
∴是正整数，
∴由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
21.（1）解：
;
（2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下：
,
,
,
,
,
∵、、是的三边长，
∴，
∴或，
∴为等腰三角形或直角三角形。

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