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第10章《分式》单元自测卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．当取哪个数时，分式的值不存在（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（）
A．2025 B． C．2026 D．
4．下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．分式可化简为（ ）
A． B． C． D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．若分式有意义，则实数的取值范围是______．
10．已知，那么________．
11．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______．
12．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________．
13．张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”）
14．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________．
15．若关于的分式方程无解，则的值为___________．
16．当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，计算分式的值，所得结果相加的和为__________．
17．对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时，的取值范围是_______．
18．将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则_____________．若，则的值是_____________．
三、解答题（共7小题，共46分）
19．（本题6分）计算：
(1)； (2)．
20．（本题6分）计算
(1)； (2)．
21．（本题6分）解分式方程：
(1) (2)
22．（本题6分）先化简，再求值：，选一个你喜欢的数代入并求值．
23．（本题6分）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值．
24．（本题8分）观察下列方程及其解的特征：
①的解为，；
②的解为，；
③的解为，；
……
解答下列问题：
(1)第4个方程的解为________．
(2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______．
(3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性．
25．（本题8分）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米．
(1)求“朝阳号”的行驶速度；
(2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明；
(3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵分式是分母中含有字母的式子，
∴ 对于，分母有字母，是分式；
对于，分母是常数，无字母，不是分式；
对于，是多项式，分母无字母，不是分式；
对于，可化为，分母有字母，是分式；
对于，分母有字母，是分式；
对于，分母有字母，是分式；
对于，分母是常数，无字母，不是分式；
∴分式有个，
故选：．
2．D
解：∵分式的值不存在时，
∴，
∴，
故选：D．
3．C
解：∵
∴原式
∵，
∴
代入得：
故选：C．
4．C
解：∵选项A中，分子无法分解出因式，不能将分子的与分母的约分，∴A错误；
∵选项B中，，并非，∴B错误；
∵选项C中，分母，分子与分母的公因式为（），∴，C正确；
∵选项D中，分子与分母没有公因式，不能约分，∴D错误．
故选：C．
5．A
解：
故先：A．
6．C
解：∵原式=，
∴将化为分母为的分式，得，
∵同分母分式相加，分母不变，分子相加，
∴分子计算：，
∴原式．
故选：C．
7．D
解：∵，
∴，
∴
，
∴表示的点落在④段．
8．A
解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则．
二、填空题
9．
解：根据题意得：，
解得：；
故答案为：
10．14
解：当时，，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：14．
11．，，0，1
解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数，
∴或或或，
当时，解得，当时，解得；
当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）；
当时，解得，当时，解得；
当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）；
因此，x的值为，，0，1；
故答案为，，0，1．
12．
解：根据题意，，
∵，
∴，，
∴，即，
∴．
故答案为：．
13． 李明
解：张华从甲地到乙地所用的时间为；
李明从甲地到乙地所用的时间为，
，
∵，，，
∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间，
∴先到达乙地的是李明．
故答案为：；李明．
14．且
解：，
∴且，
由题意知，，
解得且．
故答案为：且．
15．或
解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
整理得，
当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意．
当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根．
分式方程的增根使最简公分母为0，即，得，
将代入，得，
解得．
综上，的值为或．
16．
解：，
当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，
所得结果相加的和
．
故答案为：．
17．且
解：由题意得，
去分母得，
解得，
由解大于得，
解得，
由得，即，
由 得 即，
综上， 且 ，
故答案为： 且 ．
18． 48
解：，，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
……，
当n为偶数时，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
经检验：该方程的解，
∴．
故答案为：，48．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：
，
；
（2）解：
．
21．（1）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：，
移项合并同类项得，
两边同时除以3得；
检验：当时，得，
∴是原分式方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：，
去括号得，
合并同类项得，
移项得，即，
两边同时除以7得；
检验：当时，，
∴是增根，原分式方程无解．
22．解：
，
∵，0，
∴把代入得：原式．（答案不唯一）
23．（1）解：分式方程的根是，
，
解得；
（2）去分母得，
整理得，
分式方程有增根，
或，
当时，，此时不存在a的值；
当时，，解得，
综上，a的值为3．
24．（1）解：的解为：，，
故答案为：，；
（2）解：∵①的解为，；
②的解为，；
③的解为，；
……
∴第个方程为的解为，，
故答案为，，；
（3）证明：当时，左边右边；
当时，左边右边；
∴，均为方程的解．
25．（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒，
由题意得：，
解得：，经检验是原方程的解．
答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒．
（2）解：不能同时到达，理由如下：
设调整后“天元号”的行驶路程为（米），
“天元号”到达终点所用的时间为（秒），
“朝阳号”到达终点所用的时间为（秒），
两车不能同时到达．
（3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒．
，解得：．
经检验是原方程的解．
答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）．

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