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10.3 分式的加减
一、单选题
1．若与“（ ）”内的算式的和为，则“（ ）”内的算式是（ ）
A．2 B． C． D．
2．化简，的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（ ）
A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高
二、填空题
6．阅读下列材料：
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：．
解决问题：分式是_________ （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为_________．
7．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________．
8．甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且．
（1）___________（用含有的式子表示）；（2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点．
9．化简：______．
10．（2026·湖北十堰·一模）计算的结果是________．
11．化简的结果是______．
12．若，则________．
三、解答题
13．计算：(1)；(2)．
14．阅读下列计算过程，并回答所提出的问题．
(1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？答：_____．
(2)从到是否正确？答：_____；若不正确，错误的原因是___________．
(3)正确答案是________________．
15．计算：(1)；(2)．
16．计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
17．嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜．
嘉嘉：
洪洪：
(1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　；
(2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗 请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小）
18．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
(1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）：
① ；②当时， ；
(2)【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由；
(3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由．
19．列式计算：(1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？
(2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？(3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
20．在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：．
(1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）．
①（ ）；②（ ）．
(2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值；
(3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值．
参考答案
一、单选题
1．A
解：设括号内的算式为，由题意得，
．
2．D
解：原式
．
3．D
解：原式，故选：．
4．D
解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为；
改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为；
因此比原来少用的天数为．故选：D．
5．B
解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为，
则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为，
则，
∵，∴，∴，即，
∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高，故选：B．
二、填空题
6． 真分式
解：分式的分子的次数是0，分母的次数是1，故是真分式；
．故答案为：真分式；．
7．
解：∵，
，
∴，解得，∴．故答案为：．
8． 乙
解：（1）由题意得，；，
∴，
故答案为：；
（2）∵，∴，
∴当时，，，即，则乙先到．故答案为：乙．
9．
解：．
10．
解：．
11．
解：
．
12．2
解：对等式右边通分，得，已知，
分母相同且分式相等，因此分子相等，即，
将等式右边整理为多项式的形式，得，
根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组，
将，代入第二个方程，得，，解得．
三、解答题
13．（1）解：原式；
（2）解：原式．
14．（1）解∶由于A步中，第二个分式的符号有误，因此从A步开始就出现了错误．故答案为∶A；
（2）解：从到不正确．分式的分母被直接丢掉，分式加减运算过程中不能去掉分母，应当保留分母．因此从到不正确．故答案为∶ 不正确；分式加减运算过程中不能去掉分母．
（3）解：故答案为：．
15．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
16．（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
17．（1）解：是大于5的正整数，
嘉嘉的牌中最小，最大，淇淇的牌最大，最小，
嘉嘉组成的分式中值最大的分式是，淇淇组成的分式中值最大的分式是；故答案为：，；
（2）解：淇淇说的有道理，理由如下：
是大于5的正整数，，，，所以淇淇说的有道理．
18．（1）解：①∵，∴；
②∵，∴，
∴；故答案为：，；
（2）解：，理由如下：
，
，，，；
（3）解：，理由如下：，，
，．
19．（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有
，解得，故调制这种混合饮料需甲种饮料；
（2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字，
则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即．
（3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：，
乙工程队修600米所用时间为：，则其比值为：，
∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍．
20．（1）解：①由题意可得：，①正确，故答案为：是；
②，②错误，故答案为：否；
（2）解：，∵该分式的值为整数，∴的值可为，，
又∵a为正整数，∴a的值为2或8；
（3）解：∵分式和的值同时为整数，∴设，则，且a为整数，，
∴∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），∴或．

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