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10.4 分式的乘除
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
5．若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．81
7．若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（ ）
A．1 B． C． D．4
8．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
二、填空题
9．计算：______
10．计算：_________．
11．计算：_________．
12．某同学回家的路上经过一个山坡，已知上山速度为每秒米，下山速度为每秒米，这位同学先上坡，再下坡，且上坡与下坡所走的路程相等，那么在这个上下坡过程中这位同学的平均速度是______．
13．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式．
例如：，它们都是交换对称式．已知：，
①若，则交换对称式_____；②若，则交换对称式的最小值为_____．
三、解答题
14．化简：．
15．计算：
(1)；(2)；(3)．
16．计算：(1)；(2)．
17．先化简，再求值：，其中．
18．下面的分式化简题呈现了小高的正确解答过程，但部分算式被遮挡．
解：
(1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）；
(2)小颖认为“原算式的值不可能为9”，请你回答下面的两个问题并说明理由：
①你知道小颖为什么这样判断吗？②小颖的说法全面吗？
19．先化简，再求值：，其中．对于这道题，小华的解法如下：
解：原式……第①步
-……第②步
……第③步
……第④步
当时，原式……第⑤步
小华的解法对吗？如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程．
20．下面是八年级数学的拓展学习片段：
例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴．
认真学习例题后，解答下面问题：(1)求证：；
(2)若，则的最小值为_____．若，则的最大值为_____．
(3)的最小值为_____．的最小值为_____．
(4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值．
21.阅读下列材料，并解答问题：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：；
方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数），
，
对于任意x，上述等式均成立，
，解得，．
，
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5．
(1)分式是 分式（填“真”或“假”）；(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；
(3)当时，求分式的最大值．
参考答案
一、单选题
1．B
解：，故选：B．
2．C
解：．
3．C
解：∵ ，．
∴A． ，A错误；
B．， B错误；
C．．与选项一致， C正确；
D．，D错误．
4．D
解：∵
将“”代入□：原式== 与题目运算结果一致．
代入其他符号验证：若为“＋”：
若为“－”：
若为“×”：∴“□”处的运算符号是÷，故选D
5．C
解：设□中的式子为，∵原式 ，
∵运算结果为整式，需要分子能约去分母，
∴需包含因式，将选项代入，只有当时，原式，是整式，符合要求．
6．B
解：∵，∴，即，
∴，∴．
7.C
解：A、当时，，能化简，故该选项不符合题意；
B、当时，，能化简，故该选项不符合题意；
C、当时，，无法进行分式化简，故该选项符合题意；
D、当时，，能化简，故该选项不符合题意．
8．B
解：设工作总量为1，∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成，
∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为，∴乙的工作效率为，
∴乙单独完成需要的时间为（小时）．
二、填空题
9．
解：．
10．
解：；故答案为．
11．
解：
．
故答案为 ．
12．每秒米
解：设单程的路程为，上坡需要的时间为，下坡需要的时间为，
∴总时间为，∴上下坡的平均速度为．故答案为：每秒米．
13．
【详解】①∵，，
∴，∴，，
∵
∵，，∴原式，故答案为；
②
∵∴原式
；故答案为．
三、解答题
14．解：原式
．
15．（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
16．（1）解：
；
（2）解：
．
17．解：原式．
当时，原式．
18．（1）解： ，
．
即被遮挡部分的代数式为．
（2）解：①，，，∴小颖认为“原算式的值不可能为9”．
②小颖的说法不全面
理由如下：且，且，∴原式的值不可能为9，10，∴小颖的说法不全面．
19．解：小华的解法不对，她是从第③步开始出错的．
原式，
当时，原式．
20．（1）证明：∵，∴，∴；
（2）解：由题意，∵，∴，故答案为：；
由题意，∵，
又，∴，∴的最大值为，故答案为：；
（3）解：由题意得，，∴的最小值为，故答案为：；
由题意得，，∴的最小值为，故答案为：；
（4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，
∴，第三个正方形的边长为，
∴第三个正方形的面积为，
又∵，∴，∴，∴，
∴第三个正方形面积的最大值为．
21.（1）解：是真分式．
（2）解：设，
则 ，解得，.
（3）解：考虑，求其最小值，
∵，，当时，最小为1；最大为1．

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