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10.5 分式方程
一、单选题
1．下列方程中是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
3．解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于x的方程，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解为 B．方程的解不能为0
C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数
5．李老师在多媒体上展示了一个关于x的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论：甲：当时，此方程的解为；乙：若此方程有增根，则；
丙：当此方程的解是非负数时，k的取值范围是．下列判断正确的是（ ）
A．甲乙对，丙错 B．甲丙对，乙错
C．乙丙对，甲错 D．甲乙丙都对
6．已知是分式方程的解，则实数m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
7．方程有解，则m应满足（ ）
A． B． C．或 D．且
8．某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为y人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
10．若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________．
11．若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则______．
12．若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为___________．
13．关于的分式方程无解，则的值为_____．
14．某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______．
三、解答题
15．解方程：(1)；(2)
16．解方程：
(1)；(2)．
17．太原锣鼓是山西省太原市传统音乐，国家级非物质文化遗产之一．太原锣鼓由有着悠久历史的社鼓演变传承而来，以铙、钹的特有声响取胜，风格强健有力、层次分明，动作劲烈舒展、粗犷阳刚，节奏激越鲜明，表演场面蔚为壮观．节日期间，锣鼓队名队员计划分成若干组进行表演，后又有名新队员加入，新队员加入后，组数比原来多4组，每组比原来减少1名队员，求原来每组有几名队员？
18．郑州非物质文化遗产展示馆于2月10日至3月3日举办“非遗贺新春·见郑欢喜年”主题活动．活动采用“双馆联动”模式，其中西馆“趣之坊”打造手工公益研学课堂，拓年画、剪“富贵马”、制作掐丝珐琅等十余项非遗体验．掐丝珐琅手艺人王师傅用500元购进的银丝和用750元购进的金丝的长度相同，每米金丝的进价比银丝的进价多5元．
(1)求金丝、银丝每米的进价；
(2)王师傅计划再用不超过1320元的总费用购进金丝、银丝共100米制作掐丝珐琅，求金丝最多可以购进多少米．
19．湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力．
2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小张跑步的平均速度；
(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由．
20．关于x的方程的解是，（，表示未知数x的两个实数解）；的解是，；的解是为，为．
(1)请观察上述方程与解的特征，直接得出的解是＿＿＿＿＿．
(2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验．
(3)由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程：
参考答案
一、单选题
1．D
解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求；
C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义，
2．D
解：，去分母得：，
去括号得：，则，解得：，
经检验，是原方程的解，故选：D．
3．C
解：，方程两边乘以去分母得：．
4．C
解：∵方程，且，两边乘得，∴，
当 即 时解有效；
A．当时无解，故A错误；B．当时，，解可为0，故B错误；
C．当时，，且满足，故解为负数，故C正确；
D．当且时解为正数，但时无解，故D错误．故选：C．
5．A
解：原方程：
，两边同乘 ，，简化得 ，
∴ ，∴ ，且 即，∴；
验证甲：当 时，，且 ，正确．
验证乙：增根为 ，代入解得 ，∴ ，正确；
验证丙：解为非负数时 ，即 ，∴ ，但需排除 （增根），丙未排除，错误；
∴ 甲乙对，丙错．故选：A．
6．D
解：∵是分式方程的解.
∴把代入原方程，得.化简得.解得.
7．D
解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，系数化为1得，
∵原方程有解，∴原方程不能有增根，
∴且，∴且，∴且，故选：D．
8．A
解：设原计划人数为y人，则实际人数是，根据题意得．
9．A
解：∵预定时间为小时，慢马比预定时间晚小时到达，
∴慢马行驶时间为小时，慢马速度为，
∵快马比预定时间早小时到达，∴快马行驶时间为小时，快马速度为，
又∵快马速度是慢马的倍，∴可得方程．
二、填空题
10．且
解：解方程，
两边同乘，得，
∴，∴，∴．
由于原方程中分母，∴，∴，解得．
又∵解为非负数，∴，∴，解得．
因此，的取值范围是且．故答案为：且．
11．2
解：方程，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解，
把代入得：，去分母整理得：，解得：，
经检验是分式方程的解，故答案为：2．
12．
解：原方程为，
两边同乘（），得，，．
当时，．
因为方程的解是正整数，且，所以 为正整数，是6的正约数，
即可以是1、2、3、6．同时，所以．
逐个分析： 当时，，
当时，，
当时，，
当时，（此时，使分母为0，舍去）．
符合条件的整数为，其和为．故答案为：．
13．1或
解：原方程可化为，即（其中）．
去分母得，整理得．
当时，整式方程无解，此时；
当时，解为，
若此解为增根，则，解得．
故a的值为1或．故答案为：1或．
14．
解：设这个哨所共有名战士，
第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个，
第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个，
由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有，
故可列方程为：．故答案为：．
三、解答题
15.（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：把代入，可得：，
是原分式方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
把代入，可得：，
是原分式方程的解．
16．（1）解：，
原方程化为：，
两边同乘以，得：，
解得：，检验，当时，，
∴是增根，原方程无解；
（2）解：，
两边同乘以，得：，
解得：，检验，当时，，
∴是增根，原方程无解．
17．解：设原来每组x人，则新队员加入后每组为人，
解得，经检验，是原方程的解，符合题意，
答：原来每组有名队员．
18．（1）解：设金丝每米的进价为x元，则银丝每米的进价为元，
由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，
答：金丝每米的进价为15元，银丝每米的进价为10元；
（2）解：设购进金丝y米，则购进银丝米，由题意得，，解得，
∴y的最大值为64，答：金丝最多可以购进64米．
19．（1）解：设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：小张跑步的平均速度为180米/分；
（2）解：小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由如下：
小张跑步的时间为：（分钟），骑车的时间为：（分钟），
∵（分钟），，
∴小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场．
20．（1）解：∵，
∴，
∴该方程的解为：或；
经检验：或是原方程的解
故答案为：或；
（2）解：方程的解为：或，
检验：当时，左边右边，
故是方程的解，
当时，左边右边，
故也是方程的解；
（3）解：，，
所以，即或，
解得：，，
经检验，，是原方程的解．

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