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第六章 平行四边形 提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·北京清华附中期中)如图,在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=120°,则∠C的度数为( ).
A. 50° B. 60° C. 70° D. 120°
2.如图是小淇不完整的推理过程，为了使小淇的推理成立，需在四边形ABCD 中添加条件，下列添加的条件正确的是( ).
∵∠A+∠D=180°,
∴AB∥CD.
又 ,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
A. ∠B+∠C=180° B. AB=CD
C. ∠A=∠B D. AD=BC
3.(2025·江苏南京鼓楼区期末)根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是( ).
4.(2025·河南中考)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,D,E 分别是边BA,CA 与网格线的交点,连接DE,则DE 的长为( ).
A. B. 1 C. D.
5.(2025·广元中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,对角线AC,BD交于点O,P 是AB 的中点,连接 DP,E是DP 的中点,连接OE,则OE 的长是( ).
A. 1 B. C. 2 D. 4
6.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ).
A. AD=BC B. ∠B=∠D C. ∠C+∠D=180° D. AB∥CD
7.如图,在△ABC中,AB=5,BC=4,D为AB上一点,BE为CD的垂直平分线,垂足为E,F为AC的中点,连接EF,则 EF 的长为( ).
A. B. 1 C. D. 2
8.(2025·杭州锦绣育才教育集团模拟)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC⊥BD,且AC=3,BD=4,E,F分别是边AB,CD 的中点,则EF 的长度是( ).
A. B. 3 C. D. 2
9.(2025·安徽安庆怀宁期末)已知四边形的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，c为一组对边的边长，且满足 则四边形一定是( ).
A.任意四边形 B.平行四边形
C.对角线相等的四边形 D.无法确定
10.(浙江温州苍南中学自主招生)如图,在三角形ABC中,AB=11,AC=15,M是BC的中点,AD是∠BAC 的平分线,MF∥AD,则FC 等于( ).
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.如图,在 ABCD中,BE平分∠ABC交AD 于点E,若∠C=56°,则∠BED 的度数为 .
12.在平行四边形ABCD中,若AB,BC,CD 三条边的长度分别为(x-2) cm,(x+3) cm,8cm,则平行四边形 ABCD 的周长是 cm.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,N是边BC上一点,M为边AB上的动点,D,E 分别为CN,MN 的中点,则 DE 的最小值是 .
14.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC 中，D，E 分别为AB，AC 的中点，则线段 DE 的长为 .
15.(2025·河北中考)平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n.若n为整数，则n的值可以为 .(写出一个即可)
16.(2025·黑龙江哈尔滨松北区期末)如图,在平行四边形ABCD中,AF平分∠BAD,交CD 于点 F,DE⊥AF,交AB 于点 E,AD=5,DE=6,则AF= .
17.(2025·陕西中考)如图,在 ABCD中,AB=6,AD=8,∠B=60°.动点M,N分别在边AB,AD上,且AM=AN,以MN为边作等边三角形MNP,使点 P 始终在 的内部或边上.当 的面积最大时，DN 的长为 .
18.如图，在正六边形ABCDEF 中，M，N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形 AMDN 是平行四边形的是 (填上所有符合要求的条件的序号).
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·广东河源龙川期末)如图,在 中,点E,F 分别在BC,AD上，
(1)请判断BF，DE 的位置关系，并说明理由；
(2)求证:
20.(6分)如图,在 中,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,连接DE,EF,EC和DF,其中EC,DF 交于点O.
(1)求证：四边形 EFCD 是平行四边形；
(2)若AB=8,求OD 的长.
21.(8分)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE=CF.
(1)求证:
(2)连接BE,DE,BF,DF,求证:四边形 EBFD 是平行四边形.
22.(8分)(2024·浙江中考)尺规作图问题:
如图(1),点 E 是 边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作 F 是边BC上一点.
小明：如图(2)，以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则
小丽：以点A 为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦……我明白了！
(1)证明:
(2)指出小丽作法中存在的问题.
23.(8分)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是边 BC 的中点,将 沿AE 进行折叠，点 B 落在点F 处.
(1)求证:
(2)若AE=AB=9,BC=12,求CF 的长.
24.(8分)(2025·河北保定期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，对角线AC，OB相交于点D,点 A 的坐标为(1,2),点C 的坐标为(3,0).
(1)点 B,点 D 的坐标分别为 ; .
(2)求平行四边形OABC 的周长.
(3)若平面内有一点P(-1,3),求经过点 P 且平分平行四边形OABC 的面积的直线表达式.
25.(10分)(2025·山东济南钢城区期末)如图,在四边形 ABCD 中, E是BC的中点.点 P 以每秒1个单位长度的速度从点 A 出发，沿AD 向点 D 运动；点 Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点 C 出发，沿CB 向点B 运动.点 P 停止运动时，点Q 也随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1)线段 (用含t的代数式表示).
(2)当t为何值时，以点 P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形
26.(12分)(2024·吉安一模)课本再现:
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.
(1)如图(1),在平行四边形ABCD 中,对角线AC与BD 交于点O,求证:OA=OC,OB=OD.
知识应用：
(2)在△ABC中,P 为BC的中点.延长AB 到点D,使得BD=AC,延长AC到点E,使得CE=AB,连接DE.如图(2),连接BE,若∠BAC=60°,请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系.写出你的结论，并加以证明.
1. B 2. B 3. B
4. B [解析]如图,取格点 G,F.由题意可知,BC=AF=BG=2,∠AFD=∠BGD=90°.
又∠ADF=∠BDG,
∴△ADF≌△BDG(AAS),
∴AD=BD,同理可得AE=CE,
∴DE 是 △ABC 的中位线,
故选 B.
5. C [解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 交于点O,∴BO=DO.
∵AB=8,P 是AB的中点,
∵O是DB的中点,E是DP的中点,
∴OE 是△DPB 的中位线,
故选 C.
6. C
7. A [解析]∵BE为CD的垂直平分线,垂足为E,∴BD=BC=4,∴AD=AB-BD=5-4=1,CE=DE.又 F为AC的中点,∴EF 为△ACD 的中位线, 故选 A.
8. C [解析]如图,取AD的中点M,连接ME,MF.
∵E,F分别是AB和CD的中点,
∴EM 是△ABD 的中位线,FM 是△ADC 的中位线,
∴ME∥BD,MF∥AC,
∵AC⊥BD,∴ME⊥MF.
∵AC=3,BD=4,
故选 C.
9. B
10. B [解析]过点M作MN∥AB,交AC于点N,如图所示.
∵AD 是∠BAC的平分线,
∴设∠BAD=∠CAD=α,则∠BAC=2α.
∵MF∥AD,∴∠1=∠CAD=α.
∵M是BC的中点,MN∥AB,
∴MN 是△ABC 的中位线,∠2=∠BAC=2α,
∵∠2是△MNF 的一个外角,∴∠2=∠1+∠3,
∴2a=α+∠3,∴∠3=α,∴∠1=∠3=α,
∴FN=MN=5.5,∴FC=FN+NC=5.5+7.5=13.故选 B.
11.118°[解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ABC+∠C=180°,
∴∠ABC=180°-∠C=180°-56°=124°.
∵BE平分∠ABC,∴∠EBC=124°÷2=62°.
∵AD∥BC,∴∠EBC+∠BED=180°,
∴∠BED=180°-∠EBC=180°-62°=118°.
12.42 [解析]∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴AB=CD,∴x-2=8,解得x=10,
∴AB=8cm,BC=13cm,
∴四边形ABCD 的周长=2(AB+BC)=2×(8+13)=42(cm).
13. [解析]如图,连接CM.
∵D,E 分别为CN,MN 的中点,
∴DE 是△CNM 的中位线,
当CM⊥AB 时,CM 的值最小,此时DE 的值也最小,在 Rt△ABC 中,由勾股定理，得
故 DE 的最小值是
[解析]由题意知，
∵D,E分别为AB,AC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,
15.2(答案不唯一) [解析]如图,
∵平行四边形两个邻边长分别为3和4，
∴它的一条对角线长n的取值范围是4-3又n为整数,∴n=2或3或4或5或6.
16.8
17.5 [解析]如图,连接AP 并延长交BC 于点 H.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∠B=60°,
∴∠BAD=120°.
∵△MNP 是等边三角形,∴MP=PN,∠PMN=∠PNM=60°,△MNP 的面积
∵AM=AN,AP=AP,∴△AMP≌△ANP(SSS),
∴∠BAP=∠DAP=60°,∠APM=∠APN=30°,
∴∠AMP=90°,
∴△MNP 的面积
∴当AP 最大时,△MNP 的面积最大.
∵∠B=∠BAH=60°,
∴△ABH 是等边三角形,∴AB=AH=6.
∵AM=AN,MP=NP,∴点 P 在AH 上运动.
∵点 P 始终在 ABCD 的内部或边上.
∴AP 的最大值为AH 的长,即AP=6,
∴AM=AN=3,∴DN=5.
18.①②④ [解析]①连接AD,交BE 于点O,如图所示.
∵在正六边形 ABCDEF 中,∠BAO=∠ABO=∠AOB=∠OED=∠ODE=∠DOE=60°,∴△AOB 和△DOE 是等边三角形,∴OA=OD,OB=OE.
又 BM=EN,∴OM=ON,∴四边形 AMDN 是平行四边形，故①符合题意.
②∵∠FAN=∠CDM,∠CDA=∠DAF,
∴∠OAN=∠ODM,∴AN∥DM.
又∠AON=∠DOM,OA=OD,
∴△AON≌△DOM(ASA),
∴AN=DM.
又AN∥DM,
∴四边形 AMDN 是平行四边形，故②符合题意.
③在△ABM 与△DEN 中,AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN,∴△ABM 与△DEN不一定全等,∴AM 不一定平行 DN，∴不能得出四边形 AMDN 是平行四边形，故③不符合题意.
④∵∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,AB=DE,
∴△ABM≌△DEN(AAS),∴AM=DN.
∵∠AMB+∠AMN=180°,∠DNM+∠DNE=180°,
∴∠AMN=∠DNM,∴AM∥DN.
又AM=DN,
∴四边形 AMDN 是平行四边形，故④符合题意.综上所述，能使四边形 AMDN 是平行四边形的有①②④.
19.(1)BF∥DE,理由如下:
在 ABCD 中,AD∥BC,∴∠AFB=∠CBF,∵∠AFB=∠CED,∴∠CBF=∠CED.
∴BF∥DE.
(2)在ABCD 中,AB=CD,∠A=∠C,在△ABF 和△CDE 中, ∴△ABF≌△CDE(AAS).
20.(1)∵D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,∴ED∥FC,EF∥DC,∴四边形EFCD 是平行四边形.
(2)∵D,F分别是AC,BC的中点,AB=8,
由(1)知，四边形 EFCD 是平行四边形，∴DF=2OD=4,∴OD=2.
21.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,
在△ADE 与△CBF 中
∴△ADE≌△CBF(SAS),∴∠1=∠2.
(2)∵∠1=∠2,∴∠DEF=∠BFE,
∴DE∥BF.由(1)知,△ADE≌△CBF,∴DE=BF,
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
22.(1)根据小明的作法,知CF=AE,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC.
又CF=AE,∴四边形AFCE 是平行四边形,∴AF∥CE.
(2)以A为圆心，CE长为半径画弧，交BC 于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意.
故小丽的作法有问题.
23.(1)由折叠的性质可知∠AEB=∠AEF,BE=EF.
∵E 是边BC的中点,∴BE=CE,
∴EF=CE,∴∠EFC=∠ECF.
∵∠AEB+∠AEF+∠CEF=180°,∠EFC+∠ECF+∠CEF=180°,∴2∠AEF=2∠EFC,
∴∠AEF=∠EFC,∴CF∥AE.
(2)由题意可知，AE 为对称轴，点B，F为对应点.如图,连接BF 交AE 于点G.
由折叠的性质可知，AE 垂直平分BF，
∴∠BGA=∠BGE,G为BF的中点.
∵E是边BC的中点，
∴EG 为△BCF 的中位线,
设EG=x,则CF=2x.
∵AE=AB=9,BC=12,
∴AG=AE-EG=9-x,BE= BC=6.
在 Rt△AGB 中,
在Rt△EGB 中,
解得x=2,∴CF=4.
24.(1)(4,2) (2,1) [解析]∵四边形OABC 是平行四边形,对角线 AC,OB 相交于点D,点 A 的坐标为(1,2),点 C的坐标为(3,0),
∴D为AC的中点,AB=OC=3,AB∥x轴,
即点 B 的坐标为(4,2);点 D 的坐标为(2,1).
(2)∵A(1,2),O(0,0),C(3,0),
在OABC中,OA=BC,AB=OC.
∴OABC 的周长=OA+BC+AB+OC=2OA+ 即平行四边形OABC 的周长为
(3)由题意，得平分平行四边形OABC 的面积的直线必过平行四边形的中心，即点 D(2，1)，设直线表达式为 y=kx+b(k≠0).
将点D(2,1),P(-1,3)代入y= kx+b,
得 解得
∴直线的表达式为
25.(1)6-t 2t |8-2t| [解析]∵AD=6,BC=16,E是BC的中点,∴
∵点 P 以每秒1个单位长度的速度从点 A 出发，沿AD向点D运动,∴AP=t,∴PD=6-t.
∵点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点 C 出发，沿CB 向点B运动,∴CQ=2t.
若点Q与点E重合,则2t=8,解得t=4.
若点 P 与点 D 重合,则 t=6.
当0≤t≤4时,QE=8-2t,
当4(2)∵AD∥BC,E 是BC 的中点,点 P 在AD 上,点 Q在BC上,∴PD∥QE,∴当PD=QE时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.
当0≤t≤4,且PD=QE时,则6-t=8-2t,解得t=2;当426.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC,
∴△OAD≌△OCB(ASA),∴OA=OC,OB=OD.
(2)BE=2AP.证明如下:
如图所示,过点 B 作 BH∥AE 交 DE于点H,连接PH,CH.
∵AB=CE,AC=BD,
∴AB+BD=AC+CE,即AD=AE.
∵∠BAC=60°,
∴△ADE 是等边三角形,
∴∠D=60°,DE=DA.
又BH∥AE,∴∠DBH=∠BAC=60°,
∴△DBH 是等边三角形,
∴BH=BD=DH,∴BH=AC.
又BH∥AC,∴四边形 ABHC是平行四边形,
∴AH,BC互相平分.∵P 为BC的中点,
∴A,P,H三点共线,∴AH=2AP.
在△ADH 和△EDB 中,
∴△ADH≌△EDB(SAS),
∴BE=AH,∴BE=2AP.

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