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辽宁朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二下学期3月阶段性训练
数学试卷
一、单选题
1．已知数列中，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ）
A．36种 B．48种 C．96种 D．108种
3．已知等差数列满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.52
6．有6个座位连成一排，安排3个人就座，则恰有2个人相邻的不同坐法共有（ ）
A．72种 B．36种 C．24种 D．432种
7．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ）
A．6或7 B．7 C．8 D．7或8
8．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ）
A．与B相互独立 B． C． D．
二、多选题
9．已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
10．设，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．在的展开式中，常数项的值等于______．
13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中男生的人数，则________．
14．某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________.
四、解答题
15．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16．仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：
样本编号 1 2 3 4
根茎长度 10 12 14 16
植株高度 62 86 112 132
参考数据：．
(1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；
(2)求关于的线性回归方程.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为．
17．记为等差数列的前n项和，已知.
(1)求的通项公式an与前n项和公式；
(2)求数列的前n项和.
18．袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．
19．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
参考答案及解析
1．B
解析：已知，
令，，
令，，
令，，
令，，
令，．
2．A
解析：将4个人分成3个组有种方法，
再将3个组分配到3个服务点有种方法，
故选:A.
3．B
解析：因为，解得.
故选：B.
4．B
解析：由，得，
故．
故选：B
5．D
解析：记“甲获奖”为事件，“乙获奖”为事件，
易知，且，
显然，即可得事件与事件相互独立，
因此甲、乙两人恰有一人获奖的概率为：
.
故选：D
6．A
解析：第一步先从三人中选择两人捆绑作为一个整体并进行内部排列，有种方法，
第二步剩下的三个空位中产生四个空隙，将捆绑的两人及剩下的人连同座位插入空隙共种方法，
故由分步乘法计数原理，共有种方法.
7．D
解析：已知等差数列，，，
由等差数列前项和公式可得，
，解得，
，
，是开口向上的二次函数，
对称轴为，
由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8，
当取最小值时，7或8．
8．C
解析：AC选项，由题意得，，
，，
，，
故，C正确；
由于，故，
故与B不互相独立，A错误；
B选项，由条件概率得，B错误；
D选项，，D错误；
故选：C
9．ABC
解析：若展开式只有第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝8；若展开式第四项和第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则，解得：n＝9；
故选：ABC
10．AC
解析：由二项式定理，得的展开式通项为，
对于AB，由，得，即，解得，A正确，B错误；
对于C，在中，令，得，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC
11．AD
解析：因为，所以，，
故等差数列首项为负，公差为正，所以，，故A正确，B错误；
由，可知，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确．
故选：AD.
12．84
解析：二项式展开式的通项公式为，
令，得，所以所求常数项为.
13．2
解析：的所有可能值为，
，
所以.
14．/
解析：由题意可知，每个人第2天选择餐厅的概率为，
且，
所以.
15．（1）90；（2）0.75；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
解析：试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求.
试题解析：
（1）由，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75
每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225
总计 210 90 300
结合列联表可算得
有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
16．(1)，可用
(2)
解析：（1）易得，
，
故．
则，故可用线性回归模型模拟．
（2），
，
故线性回归方程为．
17．(1)，
(2)
解析：（1）设的公差为，则，
解得，所以的通项公式为，
；
（2）由（1）得，令，解得，
当时，数列的前项均为正数，
则；
当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数，
则，
，
综上，.
18．(1)
(2)分布列见解析；期望为
解析：（1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件，
则事件，
显然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
因为每次摸到红球后放回，所以，，，
所以，.
（2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）在数列中，①，
又因为②，，所以得．
又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以．
当时，，
当时，，也满足上式，
所以数列的通项公式为；
（3）由（2）知，，
因为对于任意恒成立，所以恒成立．
设，则，
当和时，，即；
当时，，
所以，
所以数列的最大项是，所以，
即实数的取值范围为．

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