资源简介

2025～2026 学年第二学期期中调研
高二数学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系 中，点 关于平面 对称的点为（ ）
A． B． C． D．
2．若曲线 在点 处的切线方程是 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知 展开后共有 30项，则 为（
）
A．5 B．6 C．10 D．12
4．在四面体 中， 点 在 上，且 ，点 是 中
点，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知随机变量 的分布列如下表所示,设 ，则 的数学期望 的值是（
）
A． B． C． D．
6．若函数 在区间 上存在单调递减区间，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥 中， ， ， 为 的中点，且 ， ，
若二面角 的大小为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若函数 有 4个不同的零点,则 的
取值范围是（ ）
1
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分．
9．下列求导运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．3名男生，3名女生，这 6个人站成一排，下列选项正确的是（ ）
A．男生必须排在一起，共有 120种排法
B．男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，共有 36种排法
C．男生互不相邻，共有 144种排法
D．男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列，共有 20种排法
11．已知正方体 棱长为 1，动点 满足 ，
，则下列选项正确的是（ ）
A．若点 在平面 内，则
B．当 ， ， 时，点 到直线 的距离为
C．当 ， 时，该正方体被平面 所截得的截面的最大面积是
D．当 ， 时，二面角 的正弦值的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知 ，则 可能取值为______.
13．从 5名女生和 3名男生中选取 3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男
生被选中的概率为______.
14．把黄、绿、棕、蓝、粉、黑 6颗不同的小球放入 A，B，C三个不同的盒子里，每个盒
子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入 A盒子中，则有______种不同的安排方法.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．已知 （ ）.
2
(1)求展开式中的带有 的项；
(2)求展开式中各项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
16．多项选择题是标准化考试中常见题型，从 A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案（四
个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评
分标准为全部选对得 6分，部分选对得 3分，有选错的得 0分；如果答案有且仅有三个选项
是正确的，那么评分标准是全部选对得 6分，只选一个且没有选错得 2分，只选两个且没有
选错得 4分，有选错的得 0分．
(1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随
机选择了两个选项，求他本题得 4分的概率；
(2)现有 2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得 6分的概率为 ，
得 3分的概率为 ；第二题得 6分的概率为 ，得 3分的概率为 ．两道题答题互不影响，
且两题答对与否也互不影响，求这 2道多项选择题的总得分 的分布列．
17．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
．
(1)若点 为 上的中点，求证： .
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值．
(3)若点 在侧棱 上， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 对任意 恒成立，求整数 的最小值．
3
19．有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的 个红球和 个白球．
(1)取出五个盒子，分别编号为 ，
第一步，把 号盒子里的两个球放入 号盒子，把 号盒子里的两个球放入 号盒子，把 号
盒子中的红球放入 号盒子，白球放入 号盒子；
第二步，从 号盒子里随机摸出 2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入 号
盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回 号盒子中；
第三步，从 号盒子中随机摸出一个球，查看颜色．
①求第三步摸到的球是红球的概率；
②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从 号盒子里摸出的两个球是放入 号盒子中，还
是放回 号盒子中，哪种可能性更大呢？
(2)取出 个盒子，重新编号，依次为 ，
从 号盒子里随机摸出一个球放入 号盒子，再从 号盒子中随机摸出一个球放入 号盒子，
重复上述操作，直至从 号盒子中随机摸出一个球放入 号盒子，最后从 号盒子中随
机摸出一个球丢掉．记此时 号盒子中红球个数的期望为 ，试比较 与 的大小．
4
2025～2026 学年第二学期期中调研高二数学
参考答案及评分标准
1、【答案】A 2、【答案】B 3、【答案】A 4、【答案】B
5、【答案】D 6、【答案】A 7、【答案】C 8、【答案】A
9、【答案】BCD 10、【答案】CD 11、【答案】BC
12、【答案】7或 5 13、【答案】 14、【答案】180
15、【答案】(1)由题知， ； ...............................................3分
(2)令 得展开式中各项的系数和为 .........................................................7分
(3)因为 ，所以展开式共有 7项，
由二项式系数的性质可知，第 4项的二项式系数最大，.....................................................10分
所以 ..................................................................................13分
16、【答案】
(1)设“甲同学得 4分”为事件 ，
该同学所有可能的选择答案的样本空间 ，
包含 6个样本点， ………………2分
而事件 A包含 3个,
所以 ………………5分
答：他本题得 4分的概率为 ． ………………6分
(2)设“这 2道多项选择题的总得分”为随机变量 ，
可能取值为 为 0，3，6，9，12 ………………7分
则 ， ，
， ，
， ……………12分
所以随机变量 的概率分布如下：
5
……………15分
17、【答案】
(1)分别以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，则
， ……………2分
，所以 . ……………5分
(2)设平面 的法向量为 ，
，
则 ，设 ，则 ， ……………7分
设 与平面 的夹角为 ，
则 ， ……………10分
(3)由 得， ，
在平面 中， ， ，设平面 的法向量为 ，
则有 ，令 ，解得 ， ， ，
故平面 的一个法向量为 ， ……………12分
同理 , ,设平面 的一个法向量为 ,
则有 ,令 ，则 ，故 ， ………14分
6
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
综上，平面 与平面 的夹角的余弦值为 ……………15分
18、【答案】
解：（1）当 时， 则 ……………..1分
令 得
所以当 时 ， 递增，当 时 ， 递减…………3分
所以 有极大值为 ，无极小值。 …………………………………..4分
（2） ……5分
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增； ……….6分
当 时，令 ，即 ，解得 或 （舍去）.
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减； ………………………….9
分
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减 ……………10
分
（2）因为对任意 ， 恒成立，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立 ……………………………………………………..11分
设 ，则
…………………..12分
设 ， ，则 在 上单调递减，
7
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，则 .
当 时， ；当 时， ； …………………….14分
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ………………….16分
因为 ，所以 .
故整数 的最小值为 1 ……………………………………………………………..17分
19、【答案】
(1)第一步结束后，1号盒子中有 3个红球和 2个白球，2号盒子中有 3个白球和 2个红球．
①设“第三步从 2号盒子中摸出红球”为事件
设“第二步从 1号盒子中摸出 2个红球”为事件 ，则
此时 2号盒子中有 4红 3白， ………………1分
设“第二步从 1号盒子中摸出 2个白球”为事件 ，则
此时 2号盒子中有 2红 5白，则 ………………2分
设“第二步从 1号盒子中摸出 1个红球和 1个白球”为事件 ，则
此时 2号盒子中有 2红 3白，则 ………………3分
则 ………………4分
答：第三步从 2号盒子中摸出红球的概率是 .
②设“第三步从 2号盒子中摸出白球”为事件 ，则 ……………5分
8
所以 最大.
所以放回 1号盒子的可能性更大. ………………8分
(2)解：记 “从 号盒子中摸出的球为红球”，
所以 ，
则由全概率公式可得：
则 ，故 ，
又 ，所以 ， ， ………………10分
设 号盒子中红球个数为 ，可能取值为 ，
，
，
， ………………12分
所以 . ………………13分
而
………………16分
9
所以 ………………17分
10

展开更多......

收起↑