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2025-2026学年第二学期第二次月考高三数学试卷 的取值范围是（ ）
注意事项： A．（1，+∞） B． C．{0}∪（1，+∞） D．（0，1]
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 7．对于函数 ，下列说法中正确的是（ ）
题卡上填写清楚.
A．函数 f（x）的最小正周期是 2π
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
B．函数 f（x）的图象向右平移 后，得到函数 g（x）的图象，则 g（x）为偶函数
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟. C．函数 f（x）的图象关于点 对称
D．函数 f（x）在 上单调递减
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
8．已知 F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆 的两个焦点，若椭圆上存在
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合 A＝{x|（a2﹣1）x＝a﹣1}，则不论实数 a取何值，集合 A不可能是（ ） 点 P满足 ，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．R B． C．{0} D．{1} A． B． C． D．
2．已知正方形 ABCD的边长为 2，点 E在线段 AC上，则 的最小值为（ ）
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四
A． B． C． D． 个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分
3．已知函数 f（x）的导函数为 f'（x），且满足 f（x）＝2xf'（2）+ln（x﹣1），则 f（2）＝（ ） 分，有选错的得 0分）
A．﹣1 B． C．﹣4 D．e 9．掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A＝“第一枚正面向上”，事件 B＝“第二枚反面向上”，则
（ ）
4．随机变量 X～N（0，1），Y N（0，4），则下列关系正确的是（ ）
A．P（A）＝P（B） B．A与 B相互对立
A．P（X≥1）＞P（Y≥2） B．P（X≥1）＜P（Y≥2）
C．A与 B相互独立 D．A与 B互斥
C．P（|X|≤1）＞P（|Y|≤1） D．P（|X|≤1）＜P（|Y|≤1）
10．如图 1，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱
5．在数列{an}中， ，则 a100＝（ ）
锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是一个有十四个面的半正
A．5 B．3+100lg3 C．4 D．10+2lg3
多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形、它们的边长都相等，又称这样的半正多
面体为二十四等边体．如图 2，现有一个棱长为 2的二十四等边体、则关于该二十四等边体
6．设函数 若函数 f（x）的图象与直线 y＝b有三个交点，则实数 b
说法正确的是（ ）
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三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．复数 z＝i（1+2i）的共轭复数为 ．
13． 设 n是 正 整 数 ， 表 达 式
化 简 的 结 果
是 ．
A．该二十四等边体的表面积为 14．若对于任意的 x∈（ 0，+∞），不等式 x
2﹣ x+2lnx≤ aex+lna恒成立，则 a的最小值
为 ．
B．共有 8条棱所在直线与直线 AB异面，且所成角为
C．任意两个有公共顶点的三角形所在平面的夹角余弦值均为 四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
D．该二十四等边题的外接球的体积为 15．（13分）在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 acosB﹣bcosA＝b+c，D为
2 BC的中点．11．如图，曲线 y ＝x（y≥0）上的点 Ai与 x轴非负半轴上的点 Bi﹣1，Bi（i＝1，2， ，n）构
（1）求角 A；
成一系列斜边在 x轴上的等腰直角三角形，记为△B0A1B1，△B1A2B2，…，△Bn﹣1AnBn（B0
为坐标原点）．设△B （2）若 ，求△ABC的面积．n﹣ 1AnBn的斜边长为 an，点 Bn（bn，0），△Bn﹣ 1AnBn的面积为
，则下列说法中正确的是（ ）
16．（15分）某工厂甲、乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现
从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了 100件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）
如下表．
生产线 检测结果 合计
合格 优良
甲生产线 50 10 60
A．数列{an}的通项公式 an＝2n
乙生产线 25 15 40
B．数列{bn}的通项公式
合计 75 25 100
C．S1+S2+S3+ +S10＝385
（1）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？
D．
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（2）用样本估计总体，频率估计概率．随机从该工厂抽取 3件产品，记随机变量 X为这 3
件产品中检测结果为“合格”的产品数量，求 P（X≥1）和 X的期望．
2 19．（17分）已知函数 f（x）＝alnx+x2，其中 a∈R且 a≠0．附：χ ，
（1）当 a＝1时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
（2）讨论 f（x）的单调性；
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（3）求证：对任意的 n∈N*且 n≥2，都有： ．
17．（15分）如图，在棱长为 2的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱 AB、AD的中点，
G为棱 DD1上的动点．
（1）若点 G为 DD1中点，证明：BC1∥平面 EFG；
（2）若直线 EF与平面 CFG所成的角为 45°，求平面 CFG与平面 EFG夹角的余弦值．
18．（17分）已知椭圆 C： 1（a＞b＞0）的离心率为 ，点 A（﹣2，0）在 C上．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）过点 B（﹣2，1）且斜率为 k的直线交椭圆 C于 P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，试用
含 k的代数式表示（x1+2）（x2+2）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 P作垂直于 x轴的直线与直线 AQ相交于点 M，证明：线段
PM的中点在定直线上．
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所以 b2+c2参考答案 ＝28﹣bc，①
一．选择题 由 D为 BC的中点，可得 ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 又 ，
答案 C B C C A D C B
所以 ，
即 12＝b2+c2﹣bc，②
二．多选题
联立①②，可得 bc＝8，
题号 9 10 11
所以△ABC的面积 ．
答案 AC ACD ACD
三．填空题
12．﹣2﹣i．
13．3（x﹣2）n． 16．解：（1）零假设为 H0：产品检测结果与生产线没有关联，
14． ． 由 ，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断 H0不成立，
四．解答题 即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于 0.05；
15．解：（1）由 acosB﹣bcosA＝b+c及正弦定理，
（2）由题可知，随机从该工厂抽取 1件产品，该产品检测结果为“合格”的概率 ，
可得 sinAcosB﹣sinBcosA＝sinB+sinC，
由题可知 ，则 ，
又因为 A+B+C＝π，所以 sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
则有 2cosAsinB＝﹣sinB， X的期望 ．
又 B∈（0，π）sinB＞0，所以 ，
17．（1）证明：连接 AD1，
由 A∈（0，π），可得 ；
∵点 F、G分别是 AD，DD1的中点，
（2）在△ABC中， ， ∴FG∥AD1，
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∵AB∥D1C1，且 AB＝D1C1， 故平面 CFG与平面 EFG夹角的余弦值为 ．
∴四边形 ABC1D1是平行四边形，
∴AD1∥BC1，∴FG∥BC1，
又 FG 平面 EFG，BC1 平面 EFG，
∴BC1∥平面 EFG．
（2）解：以 D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
18．解：（Ⅰ）因为椭圆 C 的离心率为 ，点 A（﹣2，0）在 C上，
则 A（2，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），E（2，1，0），
F（1，0，0），
∴ ， ， 所以 ，所以 a＝2，b＝1，c ，
设 G（0，0，t）（0≤t≤2），则 ，
所以椭圆 C的方程为 ．
设平面 CFG的法向量是 ，则 ， （Ⅱ）设过点 B（﹣2，1）且斜率为 k的直线为：y﹣1＝k（x+2），即 y＝kx+2k+1，
取 z＝2，则 x＝2t，y＝t，∴ （2t，t，2），
联立方程组 ，消去 y得（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+（16k2+16k）＝0，
∵直线 EF与平面 CFG所成的角的正弦值为 ，
因为 P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线与椭圆的交点，
∴|cos ， | ，解得 t＝1（负值已舍），
所以 ，
∴G（0，0，1），平面 CFG的一个法向量是 ， （2，1，﹣1）， 所以（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2（x1+x2）+4
设平面 EFG的法向量是 （a，b，c），则 ，
．
取 a＝1，则 b＝﹣1，c＝1，∴ ，
（Ⅲ）证明：设直线 AQ的方程为 ，过点 P作垂直于 x轴的直线与直线 AQ
设平面 CFG与平面 EFG夹角为θ，
相交于点 M，
则 cosθ＝|cos ， | ，
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∴f（x）≤x2+x﹣1．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）， ，
当 a＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当 a＜0时， ，f′（x）＜0，∴f（x）在 上单调递减，
则 ，又因为 P（x1，y1），设 PM的中点 N（x0，y0）， ，f′（x）＞0，∴f（x）在 上单调递增．
综上，当 a＞0时，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增；
于是 ，
当 a＜0时，函数 f（x）在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ， ，Δ＞0，即 k＜0．
（3）证明：由（1）可得 lnx≤x﹣1，（当且仅当 x＝1时等号成立），
则有 ，
令 ，n＝2，3，…，则 ，
又因为 ，
∴
所以 ，
于是 ，
，
即 ，
∴ ，
即 ，即 x0﹣2y0+2＝0，
∴ ．
即点 N在直线 x﹣2y+2＝0上．
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19．解：（1）证明：当 a＝1时，f（x）＝lnx+x2，x∈（0，+∞），
要证明 f（x）≤x2+x﹣1，即证 lnx≤x﹣1，即 lnx﹣x+1≤0，
设 g（x）＝lnx﹣x+1，则 ，
当 x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当 x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）≤g（1）＝0，即 lnx﹣x+1≤0，
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