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专题08 一次函数与二次函数的实际应用问题（9大题型）
一次函数与二次函数的实际应用是中考数学解答题必考核心考点，以销售利润、方案选择、行程问题、几何面积、抛物线建模为常考背景，重点考查函数建模、自变量取值范围、最值求解，分值稳定在8–12 分，是二轮复习必须满分突破的专题。
题型一： 一次函数的应用---商品销售利润问题
【例题1】（2026·陕西西安·模拟预测）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影．近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 80 100
乙 100 200
若设甲汉服的数量为x件（），销售完甲、乙两种汉服的利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)甲汉服购进件时，销售完获利最多，最大利润为元
【分析】（1）根据总利润等于两种汉服的利润和列出函数关系式，并确定自变量取值范围；
（2）根据乙汉服数量的限制条件列不等式求出x的取值范围，再利用一次函数的增减性求最大利润．
【详解】（1）解：由题意可知，甲汉服数量为x件，则乙汉服数量为件， 甲每件利润为（元），乙每件利润为（元）；
总利润，
结合条件得，即y与x之间的函数关系式为．
（2）解：∵乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，
∴，解得：，
∵，
∴（x取整数），
由（1）知，
∵，
∴y随x的增大而减小
∴当时，y取得最大值，
将代入得，最大利润（元）．
答：当甲汉服购进40件时，该店销售完这两种汉服后获利最多，最大利润为8800元．
1.找准基本量：进价、售价、单件利润、销售量. 2.核心公式：总利润＝单件利润 × 销售量. 3.设涨价 / 降价为 x，用 x 表示销量变化，列出一次函数. 4.结合题意确定自变量 x 的取值范围. 5.一次函数最值看端点，二次函数看顶点 + 端点.
1．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元．
(1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价；
(2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？
【答案】(1)
2.2元
(2)
购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元
【分析】（1）设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，根据用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍，列出不等式，求出的范围，根据总费用是两种幼苗的费用之和列出一次函数解析式，利用性质求最值即可.
【详解】（1）解：设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，由题意，得：
，
解得 ，
经检验是原分式方程的解，符合题意；
则第二批单株进价为（元）；
答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元；
（2）解：设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，由题意，得：，解得 ；
∵ ，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值 ，
（株）
答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元.
2．（2026·湖南湘潭·一模）某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答：
型号 甲 乙
每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600
每台价格（万元） 5 3
(1)方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？
(2)方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？
【答案】(1)该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙种型号的机器人买6台
(2)购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元
【分析】（1）设该公司购买甲种型号的机器人买台，乙种型号的机器人买台，然后根据总费用和总分拣量列方程组即可；
（2）根据台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8700件，列出不等式，求得m的取值范围，设所花总费用元，则，求出的最小值即可．
【详解】（1）解：设该公司购买甲种型号的机器人台，乙种型号的机器人台．
则
解得
答：该公司购买甲种型号的机器人2台，乙种型号的机器人6台．
（2）解：设需购买甲种型号的机器人台，则乙种型号机器人台
解得，且为整数
设所花总费用元，则．
，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为（万元）
答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元
3．（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务．
为村民小组设计总费用最少的购进方案
背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓 万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售．
素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元．
解决问题：
(1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？
(2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元
(2)购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元
【分析】（1）设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．根据题意列方程得．解方程组求解即可；
（2）设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．由题意得，，整理得．根据函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．
根据题意列方程得．
解得．
答：购进的每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元．
（2）解：设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．
由题意得，解得．
，整理得．
随的增大而增大，
当时，有最小值．
此时．
答：购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元．
题型二： 一次函数的应用---行程问题
【例题2】（2026·黑龙江佳木斯·一模）A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象．
(1)客车的速度为_______，货车的速度为_______；
(2)求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式；
(3)请直接写出货车出发多长时间，两车相距．
【答案】(1)60；45
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意并结合图象可知，货车从地驶向站花费了2小时，行驶了，根据“速度路程时间”即可求出货车的速度；再算出地与站的距离，由图象可知客车从地驶向站花费了9小时，根据“速度路程时间”即可求出客车的速度；
（2）根据“路程速度时间”即可求解；
（3）分两种情况：当两车相遇前相距时，当两车相遇后相距时，分别列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由图象可得：货车从地驶向站花费了2小时，行驶了，
则货车的速度为，
地与站的距离为，
客车的速度为；
（2）解：由（1）知，货车的速度为，
货车从地驶向站所需时间为（小时），
2小时后货车的行驶时间为小时，
；
（3）解：设货车出发后，两车相距，
当两车相遇前相距时，
，
解得：；
当两车相遇后相距时，
，
解得：；
综上，当货车出发或后，两车相距．
1.识别 s-t、v-t 图像，明确横纵坐标意义. 2.求解析式：找两点→代入 y＝k x+b→求 k、b. 3.交点意义：相遇、追及、到达. 4.分段行程要写分段函数，注意每段定义域.
120．（2026·天津河北·一模）已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家，图书馆离家，小华从家出发，先匀速步行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中x表示时间，y表示小华离家的距离，图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小华离开家的时间/ 2 5 11 24
小华离开家的距离/
②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度为________；
③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)小华的妈妈在小华离开家后从家以的速度匀速步行直接去图书馆，在小华的妈妈离家后到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)①，，； ②；③当时，，当时，，当时，；
(2)．
【分析】（1）①根据图象的特征求解即可；
②根据题意，其速度为；
③当时，利用待定系数法分段求函数的解析式即可；
（2）是分段函数，，根据，求解即可．
【详解】（1）①解：当时，其速度为，
根据题意，得；
时，小华停留在文具店，此时离家的距离为；
时，小华刚好到达图书馆，此时离家的距离为；
②解：根据题意，其速度为；
③当时，其速度为，
根据题意，得；
当时，，
当时，设解析式为，
根据题意，得，
解得，
故解析式为；
（2）解：根据题意，得，
当时，解得；
当时，解得；
根据，得．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义；
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；
(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可；
（2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：；
由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间；
（2）设，
由题意，图象经过点，即，
则：，解得：，
∴；
（3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：，
当时，；
当时，，解得：；
综上：或．
3．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度；
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；
(3)货车出发多长时间后，两车相距？
【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
(2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
(3)货车出发或后，两车相距．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可；
（2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可；
（3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可．
【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为，
轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
（2）解：根据“路程时间速度”，得，
轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
（3）解：当时，
设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，得，
解得；
由图象得：在时，无法达到；
当时，
设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，，
解得．
货车出发或后，两车相距．
题型三： 一次函数的应用---方案选择问题
【例题3】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
(2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人．
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可；
（2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，
由题意得：，
解得，
答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，
由题意得，
解得：，
∵，
∴，
∵是整数，
∴，，；
∴线路的年均载客总量为与的关系式为，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）
∴（辆）
∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
1.设自变量x，列两种（或多种）方案的一次函数； 2.令函数相等，求交点（方案费用/利润相等点）； 3.分区间判断最优方案，规范作答。
1．（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠．
活动一：所购商品均按原价八折出售；
活动二：所购商品按原价每满200元减50元．
(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元．
(2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱．
【答案】(1)256，270
(2)活动一：；活动二：
当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱．
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）根据活动一的八折规则和活动二每满200减50的规则，分别计算购买原价320元商品的实付金额．
（2）先分别写出两种活动实付金额与原价x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种活动更省钱．
【详解】（1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元），
，
则选择活动二时需付（元），
故答案为：256，270；
（2）当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为，
活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为，
当时，得，解得500，
当时，得，解得500，
当时，得，解得500，
∴当时，选择活动一更省钱；
当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；
当时，选择活动二更省钱．
2．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？
(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？
【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元
(2)共有6种购买方案，最低费用为900元
【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键．
（1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．
则，
得．
答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元．
（2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元．
则，
解得，
又a为正整数，
，11，12，13，14，15．
由题意得．
，
w随a的增大而增大，
时，w有最小值，最小值为（元）．
答：共有6种购买方案，最低费用为900元．
3．（2025·河南郑州·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个．
(1)请求出A，B两种书架的单价；
(2)该小区现需购进15个书架用于摆放书籍，且A种书架数量不少于种书架数量的，请设计费用最少的购买方案．
【答案】(1)种书架的单价是1200元，种书架的单价是1000元
(2)费用最少时的购买方案为：购买6个种书架，9个种书架
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，根据用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种书架a个，则购进B种书架个，根据A种书架数量不少于B种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设种书架的单价是元，则种书架的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：种书架的单价是1200元，种书架的单价是1000元；
（2）解：现需购进15个书架用于摆放书籍，且购买个种书架，
购买个种书架．
购买种书架数量不少于种书架数量的，
，解得：．
设购买总费用为元，
，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，
费用最少时的购买方案为：购买6个种书架，9个种书架．
题型四： 二次函数应用---面积问题
【例题4】（2026·辽宁沈阳·一模）下面是数学小组的活动报告单：
活动主题 为校园花圃设计方案
活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具．
设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图：
采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为．
设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题：
(1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）；
(2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米
【答案】(1)
(2)栅栏与墙平行的边的长度为21米
【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达；
（2）根据（1）中的函数表达式，令，求出对应的的值，再根据墙的长度是，则，取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为，则与墙垂直的边的长度为，
．
（2）解：令，
，解得，，
∵墙的长度是，
．
．
答：栅栏与墙平行的边的长度为21米．
1.设关键边长为x，用x表示相关边长； 2.面积公式，列二次函数解析式； 3.确定x的取值范围（边长为正等）； 4.根据二次函数性质，结合定义域求面积最值，规范作答。
1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定，的长；
(2)方案二：如图2，在Ⅰ区保留面积为 的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大总种植面积为多少？
【答案】(1)，
(2)当时，
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一元一次方程的应用．
（1）由围墙的长为，可得篱笆墙的宽为，设为，为，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为y， 长为，那么，，由围成的两块矩形总种植面积最大，再建立二次函数求解即可．
【详解】（1）解：∵围墙的长为，
∴篱笆墙的宽为，
设为，为，那么
，
即，
解得：，
∴，．
（2）解：设两块矩形总种植面积为，长为，那么，，
由题意得：，
∴
∵，，
∴，
∴当时，．
2．（2026·河南周口·一模）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为．
(1)的长为___________；（用含的代数式表示）
(2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
(3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少．
【答案】(1)
(2)能，12
(3)当时，花园面积最大，最大值为
【分析】（1）根据列出代数式即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程解答即可求解；
（3）根据矩形的面积公式列出S与x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：的长为；
（2）解：根据题意，得．
整理，得．解得．
∵墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，
∴．
∴．
∴的值为12．
（3）解：由题意得：．
∵．
∴当时，花园面积最大，最大值为．
3．（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】
【问题情境】
王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥．
【问题提出】
为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路．
【方案设计】
方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路；
方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地．
【问题解决】
(1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式．
(2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式．
(3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积．
【答案】(1)
(2)
(3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为
【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解；
（2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解；
（3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设菜地的宽为米，
∵长、宽比为的长方形菜地，
∴菜地的长为米，
∴小路面积S关于的函数表达式为；
（2）解：设道路的宽为米，根据题意得：
，
即菜地面积关于的函数表达式；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
由（2）得：菜地面积关于的函数表达式，
∵，，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为．
题型五： 二次函数应用---拱桥问题
【例题5】（2026·河南周口·二模）南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度）
(1)请求出拱门最高点距地面的高度；
(2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管；
(3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围．
【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为米
(2)最多需准备米该种钢管
(3)
【分析】（1）由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，设点的横坐标为，那么，则点的横坐标为，求出，，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果；
（3）令，则，求得，，再结合题意计算即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得：米，米，
∴，米，
∴，
设抛物线形花墙拱门的解析式为，
将，，代入解析式可得，
解得：，
∴抛物线形花墙拱门的解析式为，
∵，
∴拱门最高点距地面的高度为米；
（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线，
设点的横坐标为，那么，
由题意可得，点和点关于对称轴对称，
∴点的横坐标为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的值最大，为米，
故最多需准备米该种钢管；
（3）解：令，则，
解得：，，
∴（米），
∵仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，负责人准备将队形设计成每排6人，
∴（米），
∵当每两人间的距离为d米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门，
∴d的取值范围．
1.以桥面为x轴、拱桥对称轴为y轴（或顶点为原点）建坐标系； 2.设合适的二次函数解析式，代入关键点求参数； 3.代入数值求解问题（高度、宽度等），检验合理性。
1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践
问题情境：窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1和图2是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图．
数学建模：
如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点O离地面，点A离地面．
(1)在图3中画出以点O为原点，平行于的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数解析式；
(2)问题解决：如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的C，D处安装水平吊顶（吊顶为长方形，长为窑洞的深度），若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出，，得到，即可求出答案；
【详解】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系，
窑洞顶部最高点O离地面3.75m，点A离地面2.25m，
，
点A，B的纵坐标为，
，
点A的坐标为，点B的坐标为，
点O为抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
；
（2）如图，
离地面3m，
，
点C，D的纵坐标为，
点C，D在抛物线上，
将代入，
得，
解得，，
，，
，
．
答：吊顶所需材料的面积约为．
2．（2026·河南南阳·一模）为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为．
(1)请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标．
(2)求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度．
【答案】(1)图见解析，点的坐标为
(2)
(3)
【分析】（1）根据要求建立平面直角坐标系，根据矩形的性质得到，，根据二次函数的对称性可知B、C关于对称，进而求出，根据，求出，即可求出点的坐标；
（2）设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可；
（3）分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据对称性求出，求出当时y的值，即可得到灯笼最底端离地面的高度．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
∵矩形，
∴，，
∵P是抛物线最高点，
∴B、C关于对称，
∴，
即，
∵，，
∴，
即点的坐标为；
（2）解：设抛物线的函数表达式为．
由题意，得，
将代入表达式，得，
解得．
抛物线的函数表达式为；
（3）解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，．
，
∴
∵点，关于对称，
．
当时，．
，
灯笼最底端离地面的高度为．
3．（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 隧道限高问题
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具 皮尺、标杆等
测量示意图 说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中EF为标杆．
测量数据 测量项目 数值
矩形的尺寸 长，宽；
标杆的尺寸 标杆，标杆底端到左墙的距离为；
问题解决
(1)任务1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点P到路面的距离；
(2)任务2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为能否安全通过．
【答案】(1)，隧道最高点P到路面的距离为
(2)大货车可以安全通过，理由见解析
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，设函数表达式为，根据题意，得点的坐标为，，利用待定系数法求解即可；
（2）隧道内设双向行车道，求出纵坐标与作比较即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图：
设函数表达式为，
根据题意，得点的坐标为，，
代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：，
当时，，
∴隧道最高点P到路面的距离为；
（2）解：大货车可以安全通过，理由如下：
隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道，
∴当时，，
∴这辆大货车能安全通过这个隧道．
题型六： 二次函数应用---销售问题
【例题6】（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元．
〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本．
问题解决：
(1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？
(2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？
(3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)5
(3)售价为元时，每天最大利润为3310元
【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可；
（2）设应降y元，依素材2可列方程求解；
（3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用．
【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，
依素材1，可得：，
解得，（不合题意，舍去）．
答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为．
（2）解：设应降y元，依素材2，可列方程，
解得．
答：应降5元．
（3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得：
，
当时，W取得最大值为3310．
答：售价为元时，每天最大利润为3310元．
1.明确进价、售价、销量关系，设变量x； 2.用总利润公式，列二次函数解析式； 3.确定x的取值范围（销量、售价合理）； 4.结合二次函数顶点和定义域，求最大利润，规范作答。
1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价．
【答案】(1)海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元
(2)
(3)最大利润为1750元，此时海鲜粽每盒售价为65元
【分析】（1）设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，根据用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可；
（2）分为当时及当时，两种情况分类讨论，列出关系式即可；
（3）分两种情况，分别求出一次函数及二次函数的最值，再进行比较即可求出该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润．
【详解】（1）解：设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）解：当时，此时销量固定为100盒．单盒利润为元．
则总利润：
当时，售价比50元提高了元，销量减少盒．此时销量为：（盒）．单盒利润为元．
则总利润：
；
∴与之间的关系式
（3）解：根据题意得：，
解得：，
∴，
当时，，
因为，
所以随的增大而增大．
当时，取得最大值，为：，
当时：
∵
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，y取得最大值，，
∵，
该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为元，此时海鲜粽每盒售价为65元．
2．（2026·四川德阳·一模）为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要元、元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多元．
(1)服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？
(2)若服装甲以每件元的价格出售，每天可售出件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低元，每天可多售出件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元
(2)当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元
【分析】（1）设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，根据题意列出分式方程，求解并检验即可得到答案；
（2）设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，根据题意可得，变形得，该二次函数的图象开口向下，因此在顶点处取得最大值．
【详解】（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元；
（2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，
根据题意得：，
，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元．
3．（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
门票单价（元）
游客人数（人）
景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．
(1)求游客人数与门票单价的函数表达式；
(2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？
(3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值．
【答案】(1)
(2) ；单价为元时利润最大，最大利润为元
(3)；的值为
【分析】（1）用待定系数法求游客人数与门票单价的一次函数表达式即可；
（2）先用待定系数法求环保费的二次函数表达式，再根据利润公式列总利润表达式，利用二次函数性质求最大值即可；
（3）列出成本降低后的新利润表达式，求出对称轴，结合的取值范围确定能取到最大值的值，代入计算即可得出在此条件下利润的最大值，再将最大利润代入，解方程即可求出此时的值．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得
，
解得，
∴游客人数与门票单价的函数表达式为；
（2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得
，
解得
∴，
∴
，
∵，
∴二次函数开口向下，函数有最大值，
∵对称轴，满足，
∴当时，，
即单价为元时利润最大，最大利润为元；
（3）解：运营成本每人降低元后，
，
∵，
∴二次函数开口向下，
∵对称轴为，
∴当时，随增大而减小，
∵，
∴，
∴，
∵，即，，
∴当时，，
当时，，
解得，
∴当利润最大值为元时的值为．
题型七： 二次函数应用---投球问题
【例题7】（2026·陕西渭南·一模）如图，在某次网球训练中，运动员甲在距离球网水平距离为的位置点将网球击出，网球的运动路线是抛物线形状，点到地面的距离为，在距离球网水平距离为时，网球运动到最大高度，落地点为点．以为坐标原点，地面所在直线为轴，球网所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求网球运动路线所在抛物线的函数表达式；
(2)球网在网球场地的正中间位置，若这个网球场地的长度为，请你判断该网球的落地点是否在网球场地外？并说明理由．
【答案】(1)
(2)该网球的落地点在网球场地内．
【分析】（1）根据题意可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，求出的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）当时，可得方程，解方程可得：，根据网球场地的长度为，球网在网球场地的正中间位置，所以对面场地的长度为，所以点在场地内．
【详解】（1）解：由题意可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：点在场地内，理由如下：
当时，
可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
网球场地的长度为，球网在网球场地的正中间位置，
，
，
该网球的落地点在网球场地内．
1.建立坐标系（通常以出手点或地面为x轴）； 2.二次函数解析式，代入已知点（如出手点、最高点）求参数； 3.根据题意求解（最大高度、落地时间、投中与否等）。
1．（2026·辽宁铁岭·二模）足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以球门底部点为原点，水平地面为轴建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若球门米，守门员最大防守高度米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动米再射门，足球恰好从之间射进球门（不含点和），求的取值范围．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)的取值范围为
【分析】（1）根据题意，先得出对应的顶点坐标和点坐标，由顶点式即可得出结果；
（2）先得出移动后的函数表达式，由点，坐标即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意可判断，抛物线顶点坐标为，，
令抛物线的函数表达式为，
将点代入 ，
得，
解得，
故抛物线的函数表达式为．
（2）解：令移动米后得抛物线表达式为，
若恰达到点，即时，，
解得或（舍去）；
若恰达到点，即时，，
解得或（舍去）；
综上，的取值范围为．
2．（2026·山东青岛·一模）某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米）
(3)鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？
【答案】(1)
(2)球离球网顶端的高度差为米
(3)的最小值是2米
【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解；
（3）把代入（1）中解析式，求得，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的函数表达式为，
把代入可得，
解得，，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题意，把代入得，
，
，
∴球离球网顶端的高度差为米．
（3）解：由题意，把代入得，，
解得，（舍去），
（米），
∴的最小值是米．
3．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线．
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图．
设抛物线的表达式为．
… …
… …
(1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式；
(2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离；
(3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米．
【答案】(1)
(2)，投掷的距离为米
(3)改进后投掷实心球的距离能超过10米
【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出的值即可；
（2）由（1）可得顶点坐标，令求出对应的的值即可；
（3）先根据题意写出新的函数表达式，再令求出对应的的值即可．
【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
结合表格可知，顶点坐标为，
∴，，，
将点代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米；
（3）解：根据题意，改进后，，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去）．
∵，
又∵，
∴，
∴．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10米．
题型八： 二次函数应用---喷水问题
【例题8】（2026·江苏扬州·一模）综合与实践
问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：
0 10 20 30 40
0 7.5 10 7.5 0
问题解决：
(1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式．
(2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）．
(3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式；
（2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度；
（3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围．
【详解】（1）解：描点画图如答图所示：
根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为，
设与的函数关系式为，
∵当时，
∴
解得
∴与的函数关系式为；
（2）解：由题意得，对于，令，
则
解得，
∴，
答：观赏灯带可铺设的最大长度为；
（3）解：在中，令
则
解得（舍去），
根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)，
则，即，
∴
解得．
1.以喷水起点为原点或对称轴为y轴建坐标系； 2.设二次函数，代入喷水轨迹上的关键点求解析式； 3.喷水最大高度、最远水平距离等问题。
1．（2026·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为．
(1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式；
(2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？
(3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令，解一元二次方程即可；
（3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点．
把、代入，
得：
解得：
所以洗手液轨迹的函数关系式为．
（2）解：令，得．
解得或（舍去）．
与喷口水平距离为cm．
故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置．
（3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为．
当洗手液恰好落到手心左端M时：
令，得，
当洗手液恰好落到手心右端N时：
令，得，
∵，抛物线开口向下；
∴在时，y随x增大而减小．
∴手心离台面的高度h的范围是．
2．（2026·山东聊城·一模）如图1所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水点O的距离，建立如图1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处．
(1)求抛物线的关系式；
(2)如图2，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）延长交x轴于点H，求出点坐标，推出点B为抛物线的顶点，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，设，则，将转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点H，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵水路到达的最大高度是6米，且恰好经过小树的顶端点B，则点B为抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为，
将代入得，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）知，，设直线的解析式为，则，
解得：，
∴，
如图2，设，则，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，
答：的最大值为．
3．（2026·内蒙古锡林郭勒·一模）洒水车是城市绿化的主力军．如图1，洒水车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线．数学兴趣小组成员为了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，通过建立数学模型进行探索．
如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为米．可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大射程为6米．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米．竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．
【问题解决】
(1)直接写出点C，H的坐标；
(2)求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与轴交点B的坐标；
(3)若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)上边缘抛物线的解析式为；下边缘抛物线的解析式为；B的坐标为
(3)
【分析】（1）直接根据题意得出点C、H的坐标即可；
（2）先推导出上边缘抛物线的顶点为，且过点和，设上边缘抛物线的顶点式为，将，分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点，设下边缘抛物线的解析式为，将代入，求出下边缘抛物线的解析式为，继而求出点B的坐标即可；
（3）先求出，则，将代入，解得（不符合题意，舍去）或，此时，则，即可解答；
【详解】（1）解：∵喷水口H离地面竖直高度h为米，
∴；
∵喷出水的最大射程为6米，
∴；
（2）解：∵上边缘抛物线的顶点为，且过点和，
所以设上边缘抛物线的顶点式为，
将，分别代入，得：
，
解得，
∴上边缘抛物线的解析式为：，
即，
∵下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点，
∴设下边缘抛物线的解析式为，
将代入，得
，
解得或（与上边缘重合，舍去），
∴下边缘抛物线的解析式为：，
令，则，
即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为．
（3）解：∵，
∴，则，
将代入，得
解得（不符合题意，舍去）或，
∴当时，点F在上边缘抛物线上，此时，
∴．
题型九： 二次函数应用---图形运动问题
【例题9】（2026·吉林·一模）如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为．
(1)当点在边上时，用含的代数式表示的长；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求与的函数解析式，并写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，点落在边上
(3)
【分析】本题属于四边形动点问题，计算量较大，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，三角函数，解题的关键是利用分类讨论思想分别画出图形，利用三角函数进行求解．
（1）根据题意得出，再由三角函数确定，，即可求解；
（2）依据题意，当点落在上时，，得到，通过求解三角形得到，进而完成求解．
（3）需要分三种情况讨论，①当点在上，点在矩形内部或者边上时，全部在矩形内部，求出，即可得到答案；②当点在上，点不在矩形边上时，重叠部分的面积即与面积之差，先求出的值，列出，求解三角形得到，进而得到的面积，最终完成求解；③当点在上，利用三角形的面积公式即可完成求解．
【详解】（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵点在边上，
∴当点F与点D重合时，，
∴；
（2）解：如图所示，当点落在上时，
∵为等边三角形，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵点运动速度为每秒个单位长度，
∴点落在边上时，运动了秒．
故当时，点落在边上．
（3）解：因，故的最大值为，
①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部，
此时为直角三角形，，，
∵，
∴，
∴等边三角形的高为，
∴面积为，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
②当点在上，点不在矩形边上时，
此时，，，
∴，
∵为直角三角形，且，
∴，
∴，，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，
当时，达到临界值，即时，，
，此时．
③当时，点在上，点不在矩形边上时，
此时，，
∴，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
∴与的函数解析式为
1.设运动时间为t，用t表示运动后的边长、距离等； 2.结合图形面积、距离公式，列二次函数； 3.确定t的取值范围（运动不超出图形范围）； 4.求最值或特定条件下的t值，规范作答。
1．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值；
(3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，当时，四边形的面积最小，最小值为
(3)存在，
【分析】（1）根据矩形的性质，结合旋转的性质，得到，用t表示两条线段的长，建立等式求解即可；
（2）证明，得到，表示，利用二次函数的最值解答即可；
（3）证明，得到，整理得到一元二次方程，求解即可；
【详解】（1）解：由题意得，，
∴
∵四边形是矩形
∴
∴当时，
∴
∴
即
解得 ；
（2）∵四边形是矩形
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴ 即，
∴，
∴
，
，
∴当时，四边形的面积最小，最小值为．
（3）解：假设存在合题意的，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，延长交于点
∵，，
∴
∴，
∴，，，
∵
∴
∴ 即，
解得，(舍)
∴当时，线段经过点．
2．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动．
(1)当______s时，的面积是2．
(2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分．
①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象；
②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值．
【答案】(1)当或时，的面积是2
(2)①；见解析；②或
【分析】（1）分三种情况，当点P在上时；当点P在上，点Q未到达点C时；当点P在上，点Q到达点C时，即可求解；
（2）①结合（1）分三种情况：当时；当时；当时，结合二次函数的和一次函数的性质解答即可；②结合①中函数关系式，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：当点P在上时，此时，其中，
∵，的面积是2，
∴，即，
解得：（负值舍去）；
当点P在上，点Q未到达点C时，过点Q作于点D，过点A作于点E，此时，，，其中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
∵的面积是2，
∴，
即，
解得：（均不符合题意）；
当点P在上，点Q到达点C时，过点A作于点E，此时，，其中，
∵的面积是2，
∴，即，
解得：；
综上所述，当或时，的面积是2；
（2）解：①由（1）得：当时，，
此时当时，S取得最大值，为；
当时，，
∵，
此时当时，S取得最大值，为；
当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴此时当时，S取得最大值，为；
综上所述，S的最大值为；
对于，当时，，
∴函数的图象过点，
画出时的函数图象如下：
②当时，，
此时（负值舍去）；
当时，，
此时（不符合题意，舍去）；
当时，，
此时；
综上所述，的面积为3时，对应的的值为或．
3．（2026·吉林辽源·一模）如图，在等边三角形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以为边作矩形，设点的运动时间为（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为．
(1)_________（用含的代数式表示）；
(2)求当点落在上时的值；
(3)求在运动过程中与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)；
(2)的值为；
(3)．
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由是等边三角形，，，得，而，，则；
（）由矩形的性质得，，，则，，当点落在上，则，此时，而，则，所以；
（）当落在上时，则，得；当点与点重合，则，得，当点与点重合，则，得，再分三种情况讨论，当时；当时；当时即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
如图，当点落在上，则，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴当点落在上时，的值为；
（3）解：∵，
∴如图，当落在上时，，
∴，
∴，解得，
如图，当点与点重合，
则，解得；
当点与点重合，
则，解得；
当时，如图，
∵，
∴；
当时，如图，交于点，交于点，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
当时，如图，，
∴，
∴，
综上所述，．
1．（2025 深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
【答案】（1）篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
（2）购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元．
【分析】（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条件①②，列出方程组，解方程组即可；
（2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个，根据“足球的个数不超过篮球个数的2倍”，列出不等式求出m的取值范围；再设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，根据总费用＝购买篮球和足球的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【详解】解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
选择条件①②：
根据题意得：，
解得，
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
（2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个，
根据题意得：10﹣m≤2m，
解得m，
又∵m≤10，
∴m≤10，
设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，
根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∵m≤10，且m为正整数，
∴当m＝4时，w最小，最小值为540．
答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元．
【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组．
2．（2025 黑龙江）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】（1）88，68；
（2）共有三种购买方案，分别是：（方案1）购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个；（方案2）购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个；（方案1）购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个；
（3）方案一，2160元．
【分析】（1）分别设“蜀宝”和“锦仔”的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”（30﹣x）个，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，求出所用的x的非负整数解及对应30﹣x的值即可；
（3）写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值即可．
【详解】解：（1）设购买一个“蜀宝”需要a元，购买一个“锦仔”需要b元．
根据题意，得，
解得．
答：购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元．
（2）设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”（30﹣x）个．
根据题意，得，
解得6≤x≤8，
∵x为非负整数，
∴x＝6，7，8，
当x＝6时，30﹣6＝24（个），
当x＝7时，30﹣7＝23（个），
当x＝8时，30﹣8＝22（个），
∴共有三种购买方案，分别是：
（方案1）购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个，
（方案2）购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个，
（方案1）购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个．
（3）W＝88x+68（30﹣x）＝20x+2040，
∵20＞0，
∴W随x的增大而增大，
∵x＝6，7，8，
∴当x＝6时W值最小，W最小＝20×6+2040＝2160．
答：购买方案1需要的资金最少，最少资金是2160元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
3．（2025 黑龙江）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 　 　 ，b的值是 　 　 ；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．
【答案】（1）300，2；
（2）y＝﹣90x+240（x）；
（3）h或h或h．
【分析】（1）观察图象，可知A、B两地之间的距离，B、C两地之间的距离，从而求出A、C两地之间的距离，即a的值；根据速度＝路程÷时间求出轿车的速度，由时间＝路程÷速度求出轿车行驶的时间，再根据图象列关于b的方程并求解即可；
（2）求出点N的坐标，从而求出点M的坐标，根据速度＝路程÷时间求出货车的速度，进而求出在货车从B地返回C地的过程中y与x之间的函数解析式即可；
（3）分别求出货车到达B地之前、轿车到达B地至接人结束准备继续驶往C地时、轿车从B地开始驶往C地至货车到达C地三处过程中两车相距40km时对应x的值即可．
【详解】解：（1）由图象可知，A、B两地之间的距离为180km，B、C两地之间的距离为120km，
180+120＝300（km），
∴a＝300，
轿车的速度为180÷1.5＝120（km/h），
300÷120＝2.5（h），
根据图象，得1.5+（3﹣b）＝2.5，
解得b＝2．
故答案为：300，2．
（2）3（h），
∴N（，0），
2（h），
∴M（，120），
货车的速度为12090（km/h），
y＝120﹣90（x）＝﹣90x+240，
∴在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式为y＝﹣90x+240（x）．
（3）当0≤x时，得（120+90）x+40＝300，
解得x，
当1.5≤x≤2时，得90（x）＝40，
解得x，
当2＜x时，得180+120（x﹣2）+40﹣90x+240＝300，
解得x，
∴出轿车出发h或h或h与货车相距40km．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
4．（2025 吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
【答案】（1）2.8N，2.5N；
（2）F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）；
（3）0.6，1.6．
【分析】（1）观察图象即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）当x＝8时，求出弹簧测力计A的示数F拉力，根据F拉力＝G重力﹣F浮力求出m的值；利用待定系数法求出当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，求出对应x的值并再减去6cm，即n的值．
【详解】解：（1）当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，
当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
5．（2025 深圳）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 ．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】（1）18x，w＝﹣x2+42x+100；
（2）排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；
（3）最少开7条通道．理由见解析．
【分析】（1）根据题意得安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100；
（2）根据二次函数的性质可得出结论；
（3）运用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100；
故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100；
（2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541，
∴当x＝21时，Wmax＝541；
答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；
（3）设开了m条通道，
则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100，
∴对称轴为x＝3（10﹣m），
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少，
∴0≤3（10﹣m）≤10，即：，
又∵最多开通9条，
∴，
∵m为正整数，
∴m最小值为7，
∴最少开7条通道．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键．
6．（2025 陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用．
【答案】（1）；（2）12（m）．
【分析】（1）理解题意，先设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，结合二次函数的对称性得A（﹣8，0），C（8，0），再代入y＝a（x﹣0）2+4进行求解，即可作答；
（2）理解题意，得出，再结合抛物线L1L3的函数表达式分别为y，代入y＝yN﹣yQ＝2，整理得x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，再解方程，可作答．
【解答】解：（1）∵BO＝4m，
∴抛物线L1的顶点B坐标为（0，4），
设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，
∵AC＝16m，
结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0），
将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，
得0＝64a+4，
则，
∴；
（2）由（1）得抛物线L1的函数表达式，
∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.，且抛物线L3的函数表达式为，
∴，
整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，
∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，
∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，
解得x1＝x2＝6，
∴MN＝2×6＝12（m）．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
7．（2025 内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；（2）至少需要购进B款纪念品200个；（3）W＝﹣5（a﹣70）2+4500（60≤a≤100），W的最大值为4500．
【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品 m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m） 个，根据购买资金不超过 12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为 （a﹣40）元，销售量为[200﹣5（a﹣60）]个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个，
由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）]
＝（a﹣40）（200﹣5a+300）
＝（a﹣40）（500﹣5a）
＝500a﹣20000﹣5a2+200a
＝﹣5（a﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，60≤a≤100，
∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
8．（2025 山西）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm．
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）（80，60），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm；（3）6cm．
【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为160cm，得到对称轴为直线x＝80，根据运动路线的最高点距地面60cm，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把（0，0）代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令y＝0，求出x的值，进而求出OQ的长即可；
（3）设该平台的高度为kcm，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点（128，51），代入求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60，
∴顶点坐标为（80，60），
设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60，
∵图象过原点，
∴a（0﹣80）2+60＝0，
解得，
∴；
（2）∵抛物线的形状不变，点（0，75），
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，
当y＝0时，，
解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去），
故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm；
（3）设该平台的高度为k cm，由题意，设新的函数解析式为：y60+k，
∵AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点（80+40，48+3），即：（128，51），
∴把（128，51）代入y，
得51，
解得：k＝6，
故该平台的高度为6cm．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式是解题的关键．
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专题08 一次函数与二次函数的实际应用问题（9大题型）
一次函数与二次函数的实际应用是中考数学解答题必考核心考点，以销售利润、方案选择、行程问题、几何面积、抛物线建模为常考背景，重点考查函数建模、自变量取值范围、最值求解，分值稳定在8–12 分，是二轮复习必须满分突破的专题。
题型一： 一次函数的应用---商品销售利润问题
【例题1】（2026·陕西西安·模拟预测）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影．近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 80 100
乙 100 200
若设甲汉服的数量为x件（），销售完甲、乙两种汉服的利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润．
1.找准基本量：进价、售价、单件利润、销售量. 2.核心公式：总利润＝单件利润 × 销售量. 3.设涨价 / 降价为 x，用 x 表示销量变化，列出一次函数. 4.结合题意确定自变量 x 的取值范围. 5.一次函数最值看端点，二次函数看顶点 + 端点.
1．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元．
(1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价；
(2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？
2．（2026·湖南湘潭·一模）某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答：
型号 甲 乙
每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600
每台价格（万元） 5 3
(1)方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？
(2)方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？
3．（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务．
为村民小组设计总费用最少的购进方案
背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓 万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售．
素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元．
解决问题：
(1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？
(2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用．
题型二： 一次函数的应用---行程问题
【例题2】（2026·黑龙江佳木斯·一模）A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象．
(1)客车的速度为_______，货车的速度为_______；
(2)求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式；
(3)请直接写出货车出发多长时间，两车相距．
1.识别 s-t、v-t 图像，明确横纵坐标意义. 2.求解析式：找两点→代入 y＝k x+b→求 k、b. 3.交点意义：相遇、追及、到达. 4.分段行程要写分段函数，注意每段定义域.
1．（2026·天津河北·一模）已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家，图书馆离家，小华从家出发，先匀速步行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中x表示时间，y表示小华离家的距离，图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小华离开家的时间/ 2 5 11 24
小华离开家的距离/
②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度为________；
③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)小华的妈妈在小华离开家后从家以的速度匀速步行直接去图书馆，在小华的妈妈离家后到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义；
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；
(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
3．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度；
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；
(3)货车出发多长时间后，两车相距？
题型三： 一次函数的应用---方案选择问题
【例题3】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
1.设自变量x，列两种（或多种）方案的一次函数； 2.令函数相等，求交点（方案费用/利润相等点）； 3.分区间判断最优方案，规范作答。
1．（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠．
活动一：所购商品均按原价八折出售；
活动二：所购商品按原价每满200元减50元．
(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元．
(2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱．
2．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？
(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？
3．（2025·河南郑州·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个．
(1)请求出A，B两种书架的单价；
(2)该小区现需购进15个书架用于摆放书籍，且A种书架数量不少于种书架数量的，请设计费用最少的购买方案．
题型四： 二次函数应用---面积问题
【例题4】（2026·辽宁沈阳·一模）下面是数学小组的活动报告单：
活动主题 为校园花圃设计方案
活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具．
设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图：
采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为．
设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题：
(1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）；
(2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米
1.设关键边长为x，用x表示相关边长； 2.面积公式，列二次函数解析式； 3.确定x的取值范围（边长为正等）； 4.根据二次函数性质，结合定义域求面积最值，规范作答。
1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定，的长；
(2)方案二：如图2，在Ⅰ区保留面积为 的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大总种植面积为多少？
2．（2026·河南周口·一模）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为．
(1)的长为___________；（用含的代数式表示）
(2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
(3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少．
3．（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】
【问题情境】
王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥．
【问题提出】
为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路．
【方案设计】
方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路；
方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地．
【问题解决】
(1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式．
(2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式．
(3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积．
题型五： 二次函数应用---拱桥问题
【例题5】（2026·河南周口·二模）南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度）
(1)请求出拱门最高点距地面的高度；
(2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管；
(3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围．
1.以桥面为x轴、拱桥对称轴为y轴（或顶点为原点）建坐标系； 2.设合适的二次函数解析式，代入关键点求参数； 3.代入数值求解问题（高度、宽度等），检验合理性。
1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践
问题情境：窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1和图2是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图．
数学建模：
如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点O离地面，点A离地面．
(1)在图3中画出以点O为原点，平行于的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数解析式；
(2)问题解决：如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的C，D处安装水平吊顶（吊顶为长方形，长为窑洞的深度），若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）．
2．（2026·河南南阳·一模）为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为．
(1)请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标．
(2)求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度．
3．（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 隧道限高问题
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具 皮尺、标杆等
测量示意图 说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中EF为标杆．
测量数据 测量项目 数值
矩形的尺寸 长，宽；
标杆的尺寸 标杆，标杆底端到左墙的距离为；
问题解决
(1)任务1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点P到路面的距离；
(2)任务2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为能否安全通过．
题型六： 二次函数应用---销售问题
【例题6】（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元．
〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本．
问题解决：
(1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？
(2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？
(3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
1.明确进价、售价、销量关系，设变量x； 2.用总利润公式，列二次函数解析式； 3.确定x的取值范围（销量、售价合理）； 4.结合二次函数顶点和定义域，求最大利润，规范作答。
1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价．
2．（2026·四川德阳·一模）为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要元、元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多元．
(1)服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？
(2)若服装甲以每件元的价格出售，每天可售出件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低元，每天可多售出件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润．
3．（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
门票单价（元）
游客人数（人）
景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．
(1)求游客人数与门票单价的函数表达式；
(2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？
(3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值．
题型七： 二次函数应用---投球问题
【例题7】（2026·陕西渭南·一模）如图，在某次网球训练中，运动员甲在距离球网水平距离为的位置点将网球击出，网球的运动路线是抛物线形状，点到地面的距离为，在距离球网水平距离为时，网球运动到最大高度，落地点为点．以为坐标原点，地面所在直线为轴，球网所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求网球运动路线所在抛物线的函数表达式；
(2)球网在网球场地的正中间位置，若这个网球场地的长度为，请你判断该网球的落地点是否在网球场地外？并说明理由．
1.建立坐标系（通常以出手点或地面为x轴）； 2.二次函数解析式，代入已知点（如出手点、最高点）求参数； 3.根据题意求解（最大高度、落地时间、投中与否等）。
1．（2026·辽宁铁岭·二模）足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以球门底部点为原点，水平地面为轴建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若球门米，守门员最大防守高度米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动米再射门，足球恰好从之间射进球门（不含点和），求的取值范围．
2．（2026·山东青岛·一模）某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米）
(3)鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？
3．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线．
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图．
设抛物线的表达式为．
… …
… …
(1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式；
(2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离；
(3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米．
题型八： 二次函数应用---喷水问题
【例题8】（2026·江苏扬州·一模）综合与实践
问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：
0 10 20 30 40
0 7.5 10 7.5 0
问题解决：
(1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式．
(2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）．
(3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围．
1.以喷水起点为原点或对称轴为y轴建坐标系； 2.设二次函数，代入喷水轨迹上的关键点求解析式； 3.喷水最大高度、最远水平距离等问题。
1．（2026·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为．
(1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式；
(2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？
(3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围．
2．（2026·山东聊城·一模）如图1所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水点O的距离，建立如图1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处．
(1)求抛物线的关系式；
(2)如图2，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
3．（2026·内蒙古锡林郭勒·一模）洒水车是城市绿化的主力军．如图1，洒水车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线．数学兴趣小组成员为了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，通过建立数学模型进行探索．
如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为米．可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大射程为6米．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米．竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．
【问题解决】
(1)直接写出点C，H的坐标；
(2)求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与轴交点B的坐标；
(3)若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求的取值范围．
题型九： 二次函数应用---图形运动问题
【例题9】（2026·吉林·一模）如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为．
(1)当点在边上时，用含的代数式表示的长；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求与的函数解析式，并写出的取值范围．
1.设运动时间为t，用t表示运动后的边长、距离等； 2.结合图形面积、距离公式，列二次函数； 3.确定t的取值范围（运动不超出图形范围）； 4.求最值或特定条件下的t值，规范作答。
1．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值；
(3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动．
(1)当______s时，的面积是2．
(2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分．
①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象；
②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值．
3．（2026·吉林辽源·一模）如图，在等边三角形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以为边作矩形，设点的运动时间为（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为．
(1)_________（用含的代数式表示）；
(2)求当点落在上时的值；
(3)求在运动过程中与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
1．（2025 深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
2．（2025 黑龙江）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
3．（2025 黑龙江）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 　 　 ，b的值是 　 　 ；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．
4．（2025 吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
5．（2025 深圳）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 ．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
6．（2025 陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长．
7．（2025 内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
8．（2025 山西）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm．
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
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