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北京景山学校远洋分校 2025~2026 学年第二学期
八年级数学期中测试参考答案
一、选择题（每题 2 分）
1-4．CCDA 5-8 DCAD
二、填空题（每题 2 分）
9. 20m 10. 11 2． 12. (2, 3) 13. 15 14.
2 4
60°＜ A＜90° 15. 5 16. 2；10
2
三、解答题（17-22 题每题 5 分，23-26 题每题 6 分，27-28 题每题 7 分）
17.解：原式 1 2 2 2 4 2
2
1 2 2 2 2 2 ………………………………………………4分
1 ……………………………………………5分
18.解：∵∠B＝90°，
∴ cos
AB 5
A ． ………………………………………………1分
AC 7
∵AB＝10，
∴AC＝14， ……………………………………………3分
∴BC AC2 AB2 142 102 96 4 6．
∴BC的长为 4 6． ……………………………………………5分
19.解： ∵ C 90 ，∠B=60°，
∴ A 90 B 90 60 30 ． ………………………………1分
AC
由tanB = 知：AC=BC tanB=4 tan 6 0 =4 3， ……3分BC
由cosB = BC知，AB= BC =
4 =8
AB cosB
． ………5分
cos 6 0
∴ A 30 ，AC=4 3，AB=8．
1
20.解：过 A作 AD BC于 D，则 ADC ADB 90 ， …………1分
tanC 2 AD∵ ， sin B
1 AD

2 CD 3 AB
，
AD 2∴ DC， AB 3AD，
2
∵AB=3，
∴ AD 1，CD 2， ………4分
2
在Rt ADC中，由勾股定理得： AC AD 2 CD 2 12 2 3 ．…5分
1, 2 y m21．（1）解：把点 代入 ，得 2 m 1 ，x
解得m 2； ………1分
（2 2）解：由（1）反比例函数的解析式为 y x，
x … 1 1 4 2 1 1 2 4 …2 2
y … 12 1 2 4
1
4 2 1 …2
列表如下，描点，连线，该函数的图象如下；
…………3分
（3）y>2或 y< 2． ………5分
22．（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为 y k1x(k1 0)，
6
由题意得：12 10k1，解得： k1 5，
6燃烧时的函数关系式为 y x(0 x 10)5 ； …………2分
2
k
（2）解：设燃烧后函数解析式为 y 2 (k2 0)，x
k
由题意得：12 210，解得：
k2 120，
120燃烧后的函数关系式为 y (x 10)； …………4分
x
119
（3） …………5分
6
23.解：（1）将B 3, 1 代入 y m2 得，m 3 1 3
3
x ，所以
y2 x ；……1分
将 A a,3 代入 y 32 得，a 1x ，
∴ A 1,3 ； ………2分
将 A 1,3 ,B
k b 3
3, 1 代入 y1 kx b得，
3k b 1
，
解得 k 1,b 2，
∴ y1 x 2 . …………3分
3
所以一次函数和反比例函数的关系式分别为： y1 x 2， y2 x ；
（2）4； ……4分
（3） x 1或0 x 3 . ……6分
24. 解：如图，延长 AB交DC延长线于点 F，则 BFC 90 ， ……1分
BF 1
在Rt BCF 中， i CF ， ………2分3
CF 3BF ，
设BF k米，则CF 3k 米，
BC BF 2 CF 2 2k （米），
又 BC 8米，
2k 8，
解得： k 4， ………3分
CF 4 3（米）， ………4分
3
∵CD 30米，
DF CD CF 30 4 3 米，
tan D AF在Rt ADF中， tan 37 DF ，
AF DF tan37 45 3 3（米）， ………5分
2
AB AF 37 BF 3 3（米）． ………6分
2
37
答：教学楼 AB的高度约为 3 3米．
2
25.（1）解：∵ x 2 0，
∴ x 2 0，即 x 2， ………1分
1
（2）解：当 x 3时， y 3 1 3 4， ………2分
3 2
（3）①描点，连线得，
……………5分
②观察函数图象可知，在直线 y 4时即 n 4，直线 y 4与函数
y 1 x
x 2 有 2个交点，在n 4时，有 3个交点，
∴n 4． ………6分
26.解：（1）= …………… 1分
（2）当 x0 2， 0 x0＜1时，不合题意 …………… 2分
当 3＜x0＜ 2时，经分析点 A，B，（0，1）位置如图所示：
4
（0，1）关于 x=b的对称点为（2b，1）
∵开口向上，m＞n＞1，
∴ x0 2＜2b .
x0＜2b 2 .
∵ 3＜x0＜ 2，
b 1∴ ＞ . ………………………… 4分
2
当 2＜x0＜0时，经分析点 A，B，（0，1）位置如图所示：
（x0+2，n）关于 x=b的对称点为（2b-x0-2，1）
∵开口向上，m＞n＞1，
∴ x0＜2b x0 2＜0 .
2b 2＜x0＜b 1 .
∵ 2＜x0＜0，
∴ 1＜b＜1.
综上所述：b＞ 1 ………………………… 6分
5
27.解：（1）①依题意补全图形，如图． …………… 1分
连接 BF，
∵等边三角形 ABC，
线段 AB绕点 A顺时针旋转 60°得到线段 AF
∴△AFB为等边三角形，∠C=∠ABC=60°，AB=AC.
∴∠ABF=60°，BF=AB=BC.
∵DE∥BC，
BD CE
∴ .
AB AC
∴BD=CE， ……… 2分
∴△FDB≌△BEC.
∴∠BFD=∠CBE，
∴∠DFA=∠DBG.
又∠ADF=∠GDB，
∴∠FGB=∠FAB=60°. ………… 3分
②数量关系： FG AG BG ………… 4分
在线段 FG上取一点 H使得 HG=BG.
∵∠FGB=60°，
∴△HGB为等边三角形.
∴∠HBG=60°，HB=GB=HG.
∵AB=BF，∠ABF=60°，
∴∠HBF=∠GBA. … 5分
∴△HBF≌△GBA.
∴FH=AG.
∵FG=FH+HG，
∴FG=AG+BG. …………… 6分
（2）数量关系： FG AG BG . …………… 7分
28. 1 k 1 3解：（ ） ，b 2， d 正方形ABCD，l1 l2 10 ；…………… 3分3 5
（2）6 2 4 3 d 2 …………… 7分
6景山远洋教育集团 2025-2026 学年度第二学期
八年级数学期中测试试卷
学校 班级 姓名
1.本试卷共 6页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。
考
2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
生
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题请用 2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字
须
迹签字笔作答，在试卷上作答无效。
知
4.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题
1．如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为
A． B． C． D．
2．下列函数是 y关于 x的反比例函数的是
1 y 1A． y 2 x B． C． y D． y
x 1 x2 x 2
3．在 Rt△ABC中，∠C=90 ，BC=4，AB=5，则 sin A的值是
A 2 3 3 4． B． C． D．
3 5 4 5
4．若 3 tan (α+10 )= 3，则锐角 α的度数是
A． 20 B．30 C．40 D．50
5．已知点 a,b 3在函数 y x的图象上，下列说法错．误．的是
A．当 x = 1时，y = 3
B．点 b,a 和 a, b 在此函数图象上
C．图象位于第二、第四象限
D．当 x 0时，y随 x的增大而减小
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6．已知蓄电池的电压为定值，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位： ）
是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法错．误．的是
40
A．这个反比例函数解析式是 I B．蓄电池的电压是40V
R
C．当 R 7 时， I 5A D．当 I 10A时，R ≥ 4Ω
7 k．如图，反比例函数 y 的图象经过点 A 4,1 ，当 y < 1时，
x
x的取值范围是
A． x 0或 x 4 B．0 x 4 C． x 4 D．x 4
8 a．在同一直角坐标系中，反比例函数 y 与一次函数
x
y ax a a 0 的图象大致是
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高 BC=10m，坡比是1：3，
则坡面 AB的长度为_______．
10．已知点 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，均在反比例函数 y
5

x的图象上，
且 x1 x2 0，则 y1___ y2（填“ ”或“ ”或“ ”）．
11．如图，在2 3的正方形网格中，点 A，B，C是正方形网格
中网格线的交点，则 ABC的正弦值为______．
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k
12．如图，一次函数 y=ax（a为常数）与反比例函数 y （ k
x
为常数）的图象相交于 A、B两点，若点 A的坐标为( 2,3)，
则点 B的坐标为________．
13．如图，在 Rt ABC中， BAC 90 ，斜边 BC上的高
AD 3,cos B 4 ，则 AC ______．
5
14 A sin A 3．若∠ 是锐角， ＞ ，则∠A取值范围为_________．
2
15 2．点 A在函数 y (x 0)的图象上，点 B 3在函数 y (x 0)
x x
的图象上，如图所示，O为坐标原点，AB∥x轴，则△OAB
的面积为_____．
16．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有 30盏无差别的小灯，每个灯
只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每
一盏灯只能拍一次.现 30盏小灯中，已知有 10盏灯亮，其余都是暗的.要求玩家
蒙上双眼，将 30盏小灯分成 2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中
亮着的小灯数一样多，即算挑战成功.
（1）将灯平均分成 2组，经检查第一组里有 4盏灯亮，如果只拍第一组的灯，
则最少需要拍________________盏灯，挑战成功.
（2）小云的做法是：从 30盏灯中任意选出 n盏作为一组，然后将这 n盏灯
逐一拍一下.他挑战成功了，那么 n=____________.
三、解答题
17 1 2026．计算： 8 4sin 45 2 .
18．如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90 5°， cos A 7，若 AB＝10，
求 BC的长．
19．在 Rt△ABC中， C 90 ， B=60 ，BC=4，解这个直角三角形．
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1
20 2．如图，在△ABC中， sinB ， tanC ，AB=3，求 AC的长．
3 2
m
21．已知反比例函数 y 的图象经过点 1, 2 ．
x
（1）求 m的值；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中
画出该函数的图象；
（3）根据图象，当 < 1时，
直接写出 y的取值范围为_________．
22．为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，
室内每立方米空气中的含药量 y（mg）与燃烧时间 x（分钟）成正比例；
燃烧后，y与 x成反比例（如图所示）．现测得药物 10分钟燃完，
此时教室内每立方米空气含药量为 12mg．
根据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时 y与 x的函数关系式；
（2）求药物燃烧后 y与 x的函数关系式；
（3）当每立方米空气中含药量不低于 5mg时，对病毒有作用，在这个过程中，
对病毒有作用的时间总共为_________________分钟.
23．如图，已知一次函数y1 = kx+b与反比例函数 y
m
2 x 的图像分别
交于 A（a，3）和 B（3，-1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）连接 OA，OB，直接写出△AOB的面积；
（3）当 y1＞y2时，直接写出 x的取值范围．
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24．某班同学想测量教学楼 AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡 BC，已知 BC的长
为 8米，它的坡比 i 1: 3，在离 C点 30米的 D处测得教学楼顶端 A的仰角为37 ．
求教学楼 AB的高度约为多少米？（参考数据：sin37 0.60， cos37 0.80，
tan37 0.75，）
1
25．小平在学习过程中遇到一个函数 y xx 2 ，下面是小平对其研究的过程，
请补充完整：
（1）函数 y
1
x x
x 2 的自变量 的取值范围是______；
（2）下表是 y与 x的几组对应值．
x 2 1 0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6
y 1.75 0.67 0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 m 4.5 5.35 6.25
其中 的值为______；
（3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系 xOy中，画出函数图象；
②过点 0,n 作平行于 轴的直线 ，结合图像解决问题：若直线 l与函数
y 1 x
x 2 的图象有三个交点，直接写出 n的取值范围___________．
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26．在平面直角坐标系 xOy中，点 A（x0，m），B（x0+2，n）在抛物线 y x2 2bx 1上．
（1）若 b=5，x0=4，直接比较 m与 n的大小关系：m______n（填“＞”，“＝”，“＜”）；
（2）若存在 3＜x0＜1，使得m＞n＞1，求 b的取值范围.
27．如图，在等边三角形 ABC中，将线段 AB绕点 A顺时针旋转 60°得到线段 AF．
（1）①若点 D在线段 AB上（不与端点重合），过点 D作 DE∥BC交 AC于点 E，
连接 BE，连接 FD并延长交 BE于点 G，依题意补全图形，
并求∠FGB的度数；
②连接 AG，用等式表示线段 AG，BG，FG之间的数量关系，并证明．
（2）若点 D在线段 AB的延长线上，过点 D作 DE∥BC交 AC的延长线于点 E，
连接 FD，连接 EB并延长交 FD于 G，连接 AG，直接用等式表示
线段 AG，BG，FG之间的数量关系.
备用图
28．在平面直角坐标系 xOy中，对于封闭图形 M，若存在两条平行直线 l1和 l2使得
图形 M被分为面积相等的三个部分，则称直线 l1和 l2为图形 M的一组“三分平
行线”，且称直线 l1和 l2间的距离为图形 M的一个“三分距离”，记为 d（M，l1-l2）.
如图，点 A（0，3），B（6，3）；
若图形 M为正方形 ABCD，其中点 C在第四象限，
（1）已知直线 l1：y=kx和 l2：y=kx+b（b＜0）是正方形 ABCD的
一组“三分平行线”，则 k=___________，b=_____________，
此时对应的“三分距离”d（正方形 ABCD，l1-l2）=______________；
（2）直接写出正方形 ABCD的“三分距离”d的取值范围______________.
备用图
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