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2025-2026学年高三下学期第三次测试数学试卷 A． B． C． D．
注意事项： 7．如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体 A﹣BCD的内切球，中等球与最大球和正四
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切．已知正四面体 A﹣BCD棱长
题卡上填写清楚. 为 ，则模型中九个球的表面积的和为（ ）
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A＝{x|x2﹣9x+8＝0}，B＝{﹣8，﹣5，1，5}，则 A∩B＝（ ）
A．6π B．9π C． D．21π
A．{1} B．{﹣8} C．{﹣8，1} D．{1，5}
2．设复数 z＝1﹣i，则 z的虚部是（ ） 8．若函数 的定义域与区间（0，1）的交集由 n
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 个开区间组成，则 n的值为（ ）
3．若 ，则 tanα＝（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四
A． B． C． D．
个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分
4．已知钝角△ABC的面积为 3，AB＝4，AC＝2，则 的值是（ ） 分，有选错的得 0分）
A．﹣6 B． C． 或 D．﹣6或 6 9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a＞b，c＜d，则 a﹣c＞b﹣d
5．定义在 R上的奇函数 f（x）满足 f（x）＝f（2﹣x），f（1）＝2，则 f（2024）+f（2027）＝
B．若 a＜b，c＜0，则 ac＜bc
（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．4 C．若 c＞a＞b＞0，则
6．已知直线 l：x+ay﹣2﹣2a＝0与圆 C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9交于 A，B两点，则 cos∠ACB D．若 a＜b， ，则 ab＜0
的最大值为（ ）
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10．下列说法正确的是（ ） （1）求 b的值；
A．数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第 70%分位数是 23 （2）若 ，求△ABC的面积．
B．若随机变量 X～N（2，σ2），且 P（X＜1）＝0.3，则 P（2＜X＜3）＝0.2
16．（15分）如图，在三棱锥 A﹣BCD中，AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠CBD．
C．在回归分析中，可用决定系数 R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果
（1）证明：BC⊥AD；
越好
（2）若△ABC和△DBC所在平面垂直，且平面 ABD与平面 BCD所成角的余弦值为 ，求
D．在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高
∠CBA．
11．已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P为 C的右支上任意一点，
点 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．|PF1|﹣|PF2|＝4
B．双曲线 C的渐近线方程为
C．过点 M且与双曲线 C只有一个公共点的直线有 2条
D．|PM|+|PF1|的最小值为 17．（15分）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为 A区和 B区，每一个球可以选择在 A
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 区投篮也可以选择在 B区投篮，在 A区每投进一球得 2分，没有投进得 0分；在 B区每投进
12．已知 f（x）＝ex+2x2﹣ax，函数 y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率是 4，则实数 a 一球得 3分，没有投进得 0分．
＝ ． 学生甲在 A，B两区的投篮练习情况统计如表：
13．已知椭圆 1（a＞b＞0）的左焦点为 F，过原点且斜率为 的直线与椭圆交于 P 甲 A区 B区
投篮次数 30 20
，Q两点，若 ，则椭圆的离心率为 ．
得分 40 30
14． 已 知 ， 若
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
，则 a1＝ ． （1）试分别估计甲在 A区，B区投篮命中的概率；
（2）若甲在 A区投 3个球，在 B区投 2个球，
四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ⅰ）记甲在 A区投篮得分为 X，求 X的分布列及期望；
15．（13分）已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 ． （ⅱ）求甲在 A区投篮得分高于在 B区投篮得分的概率；
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（3）若甲在 A区，B区一共投篮 5次，投篮得分的期望值不低于 7分，求甲选择在 A区投
篮的最多次数．
18．（17分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ax+1的最大值为 0．
（1）求实数 a的值；
（2）若 f（ex）+kx2≤0对 x∈（0，+∞）恒成立，求 k的取值范围；
（3）证明： ．
19．（17分）已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）上一点 K（a，a）（a≠0）到焦点 F的距离为 5．
（1）求抛物线 C的方程；
（2）过点 F的直线 l与抛物线 C交于 A、B两点．
（ⅰ）过原点 O且垂直于 l的直线与抛物线 C的准线交于 H点．设△OAB、△HAB的面积
分别为 S1、S2，求 的最大值；
（ⅱ）抛物线 C上的点 D，使得△ABD的重心 G在 x轴的正半轴上，直线 AD，BD分别交 x
轴于点 P，Q．记 P，Q，G的横坐标分别为 xP，xQ，xG，试问 2（xP+xQ）﹣3xG是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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参考答案 又 ，整理得 a2﹣3a﹣10＝0，
一．选择题 解得 a＝5或 a＝﹣2（舍），
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 所以△ABC的面积 ．
答案 A D D C B A B B 16．解：（1）证明：取 AD中点 M，连接 BM，CM，
因为 BA＝BD，所以 BM⊥AD，
二．多选题 又由题 AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠CBD，
题号 9 10 11 可得△ABC≌△DBC，则 AC＝DC，
答案 ACD BCD ABD 故 CM⊥AD，
因为 CM∩BM＝M，CM，BM 平面 CBM，
所以 AD⊥平面 CBM，
三．填空题
12 e 又 BC 平面 CBM，． ．
所以 BC⊥AD．
13． ．
（2）设∠CBA＝∠CBD＝θ，AB＝BC＝BD＝1，
14．﹣6075．
由平面 ABC⊥平面 DBC且平面 ABC∩平面 DBC＝BC，由面面垂直的性质定理可知，
可以点 B为坐标原点，过点 B垂直于平面 ABC的直线为 x轴，直线 BC为 y轴，
四．解答题
过点 B垂直于平面 DBC的直线为 z轴建立空间直角坐标系，
15．解：（1）因为 6b＝ab+6ccosA，由正弦定理，
得 6sinB＝bsinA+6sinCcosA，又 B＝π﹣（A+C），
所以 6sin（A+C）＝bsinA+6sinCcosA，
即 6sinAcosC+6cosAsinC＝bsinA+6sinCcosA，
整理得 6sinAcosC＝bsinA，
因为 A∈（0，π），可得 sinA≠0，所以 b＝6cosC，
则有 B（0，0，0），A（0，cosθ，sinθ），D（sinθ，cosθ，0），
又因为 ，所以 b＝3；
（2）由余弦定理，可得 ， 则 ，
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设平面 ABD的一个法向量为 ， 所以 ；
（ii）设事件 A为“甲在 A区投篮得分高于在 B区投篮得分”，
则有 ，
甲在 A区投 3个球，得分可能是 0，2，4，6，在 B区投 2个球，得分可能是 0，3，6，
故可取 ， 则甲在 A区投篮得分高于在 B区投篮得分的情况有：
A区 2分 B区 0分，概率为 ，
易知平面 DBC的一个法向量为 ，
A区 4分 B区 0分，概率为 ，
则 ，
A区 4分 B区 3分，概率为 ，
解得 ，
所以∠CBA＝60°或∠CBA＝120°． A区 6分 B区 0分，概率为 ，
17．解：（1）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为 A区和 B区， A区 6分 B区 3分，概率为 ，
每一个球可以选择在 A区投篮也可以选择在 B区投篮，
所以甲在 A区投篮得分高于在 B区投篮得分的概率为 ；
在 A区每投进一球得 2分，没有投进得 0分，在 B区每投进一球得 3分，没有投进得 0分，
（3）若甲在 A区，B区一共投篮 5次，投篮得分的期望值不低于 7分，
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立，
甲在 A区投篮一次得分的期望为： ，
则可估计甲在 A区投篮进球的概率为 ，
甲在 B区投篮一次得分的期望为： ，
甲在 B区投篮进球的概率为 ；
设甲在 A区投篮 x次，则在 B区投篮（5﹣x）次，
（2）若甲在 A区投 3个球，在 B区投 2个球，
（i）记甲在 A区投篮得分为 X，X所有可能的取值为 0，2，4，6，结合（1）可得： 则总的期望值 ，解得 x≤3，
所以甲选择在 A区投篮的次数最多是 3次．
， ，
18．解：（1）函数 f（x）＝lnx﹣ax+1的定义域为（0，+∞），
， ，
求导得 ，令 f′（x）＝0，解得 （a＞0，否则 f（x）单调递增，无最大
所以 X的分布列为：
值），
X 0 2 4 6
当 0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
P
当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
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故 为极大值点，也是最大值点， 令 ，得 ，
最大值为 ，
2ln 2ln 2ln 2ln 3nln2＜1 ，
由题意﹣lna＝0，得 a＝1．
左边
（2）由（1）可知，f（x）＝lnx﹣x+1，故 f（ex）＝lnex﹣ex+1＝x﹣ex+1，
不等式 f（ex）+kx2≤0，化简为 x﹣ex+1+kx2≤0，
即 ex﹣kx2﹣x﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立， ＝2ln 3nln2＝2[ln（n+1）（n+2）﹣ln2]﹣3nln2
设 g（x）＝ex﹣kx2﹣x﹣1，x∈（0，+∞），求导得 g'（x）＝ex﹣2kx﹣1，
＝2ln（n2+3n+2）﹣（3n+2）ln2，
令 h（x）＝ex﹣2kx﹣1，求导得 h'（x）＝ex﹣2k，
即 ．
当 时，h'（x）＝ex﹣2k＞0在（0，+∞）上恒成立，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以 h（x）＞h（0）＝0，即 g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增， 19．解：（1）依题意可得 ，因为 a≠0，解得 ，
g（x）＞g（0）＝0，符合题意；
所以抛物线 C的方程为 y2＝4x；
当 时，令 h′（x）＝0，解得 x＝ln2k， （2）（i）由（1）可得 F（1，0），设直线 l的方程为 x＝ky+1，
0＜x＜ln2k时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x＞ln2k时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 与抛物线的方程 y2＝4x联立，消去 x，
又 h（0）＝0，则 h（x）＜0在（0，ln2k）上恒成立，即 g′（x）＜0在（0，ln2k）上恒成 可得 y2﹣4ky﹣4＝0，Δ＝16k2+16＞0恒成立，
立， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），
g（x）在（0，ln2k）上单调递减， 则 y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4，
又 g（0）＝0，所以存在 x0∈（0，ln2k），使 g（x0）＜0，与已知矛盾，不合题意． 所以| ，
综上，实数 k的取值范围为 ．
则原点 O到直线 l的距离为 ，
（3）证明：由（2）知，当 时， 在（0，+∞）上恒成立，
所以 ，
所以 ，
易得 H（﹣1，k），则 H到直线 l的距离为 ，
即 ，
所以 ，
两边取对数得，x＞2ln（2x+1）﹣3ln2，
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则 2（x
故 P
+xQ）﹣3xG为定值﹣2．
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，
设 ，
则 ，
当且仅当 ，即 t＝1时，取得等号，所以 的最大值为 ；
（ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），G（xG，0），P（xP，0），Q（xQ，0），
由（i）知 ，
则 ，因此 y3＝﹣4k， ，
则 D（4k2，﹣4k），
又 因 为 ，
，
由 A，D，P三点共线，则 ，
故 ，
因为 y1≠y3，因此 ，
同理可得： ，
又 ，
则 2（xP+xQ）﹣3xG
8k2﹣2＝﹣2，
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