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2025-2026学年安徽省宣城市郎溪县梅渚中学等校九年级（下）调研数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，有理数是（　　）
A. B. C. π D.
2.一年365天有31536000秒.数31536000用科学记数法表示应为（　　）
A. 3.1536×108 B. 3.1536×107 C. 0.31536×106 D. 0.31536×107
3.如图，从左面看这个由5个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是（　　）
A. 2a+3b=5ab B. C. （mn3）2=m2n6 D. （x-3）2=x2-9
5.如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PBA=95°，则∠PCB的大小为（　　）
A. 135°
B. 125°
C. 115°
D. 105°
6.“六一儿童节”，文化路一小组织小朋友抽奖活动，用6张完全相同的卡片，上面分别写上1，2，3，4，5，6.随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，若第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍可以获奖，则获奖的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=6cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为（　　）
A. 22cm
B. 24cm
C. 26cm
D. 28cm
8.一元二次方程x2-2x+1=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 0
9.如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P，Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为O-A-D-O，点Q的运动路线为O-C-B-O，设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图②所示，当点P在A-D段上运动且P，Q两点间的距离最短时，P，Q两点的运动路程之和为（　　）厘米.
A. B. C. 8 D.
10.如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的⊙O上（O为坐标原点），过点P作⊙O的一条切线PR，R为切点，则PQ+PR的最小值为（　　）.
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.不等式3x+1＜2x的解集是 .
12.分解因式：a2m2-10a2mn+25a2n2，结果为 .
13.符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中，C、D两点都是AB的黄金分割点，若AB=2，则AC的长是______.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点 O在AC上，AD交x轴于点E.
①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为 ；
②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为 .
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：.
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（-5，2）、B（-2，5）、C（1，3）.
（1）在图中画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1.
（2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2.
17.(本小题10分)
茶叶促销活动前后，A，B两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表.已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同.
A茶叶销量 B茶叶销量 销售额
打折前 300 200 6900
打折后 500 400 9360
（1）每两A，B茶叶的原价分别是多少？
（2）促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案.
18.(本小题10分)
利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合.你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
（1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，， ，，根据图示我们可以知道：= ______；那么= ______；
（2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：计算：= ______；
（3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：= ______.（用含n的式子表示）
19.(本小题10分)
某山区为应对突发情况，设立救援指挥部.已知指挥部A，补给点B，山脚在同一条直线上，标记点C在指挥部A的东北方向，补给点B的北偏西60°方向，瞭望塔D在标记点C的北偏东75°方向米处，且距补给点B的距离与标记点C距补给点B的距离相等.瞭望塔D距山脚E米.（参考数据：，，）
（1）求指挥部A与山脚E的距离（结果保留整数）；
（2）某次救援行动中，有求救者在山脚E求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点B撤离，同时救援队员从瞭望塔D出发，并以求救者1.5倍的速度赶往补给点B，当救援队员与求救者相距100米时可建立联系.求救援队员行驶多少米后能与求救者联系.（结果保留小数点后一位）.
20.(本小题10分)
如图1，AB是半圆O的直径，AB=4，C，D为半圆上的两点，且=.
连结AC并延长，与BD的延长线相交于点E.
（1）求证：CD=DE；
（2）如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.AD与OC，BC分别交于点M，H.
①若BD=1，求△DEF的面积；
②若C是半圆上一动点（不与A，B重合），当△CMH是等腰三角形时，求EF的值.
21.(本小题13分)
某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛.发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x＜90“这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86.86，86，87，89.
竞赛成绩分组统计表
组别 竞赛成绩分组 频数 平均分
1 60≤x＜70 8 65
2 70≤x＜80 a 76
3 80≤x＜90 b 85
4 90≤x＜100 c 94
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）c= ______；
（2）“80≤x＜90”这组数据的众数是______分；
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______分；
（4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校4000名学生中优秀学生的人数.
（5）该校九年级（3）班追梦小组的四名同学（1名男生，3名女生）在该竞赛中均成绩优秀，从这四名同学中任选两人参加学校的五四青年节活动，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一名男生和一名女生的概率.
22.(本小题14分)
（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE=AD，连接CE.则线段BD和线段CE的数量关系是______，位置关系是______.
（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE.试探索BD2，CD2.AD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=5，CD=3，请求出线段AD的长.
23.(本小题7分)
综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A（-3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m,点N的横坐标为n.求证：mn是一个定值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】x＜-1
12.【答案】a2（m-5n）2
13.【答案】-1
14.【答案】（，-1）
12

15.【答案】解：
=1+-+2
=2．
16.【答案】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，△A2B2C2即为所求．

17.【答案】每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元 共有3种方案
18.【答案】（1），；
（2）；
（3）．
19.【答案】指挥部A与山脚E的距离约为1219米 救援队员行驶约486.4米后能与求救者联系
20.【答案】证明过程详见解答 ①S△DEF=；②EF=2-或
21.【答案】20；
86；
85.5；
2160人；
．
22.【答案】BD=CE;BD⊥CE （2）2DA2=BD2+CD2；证明：如图2，连接CE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴CD2+CE2=DE2，
∴CD2+BD2=DE2；∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴DE2=AD2+AE2=2AD2，
∴2AD2=BD2+CD2 （3）
23.【答案】（1）解：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A（-3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），把点A（-3，0）和点B（0，3）的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）解：如下图所示，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，
设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A和点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+3，
点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．设点P的横坐标为x,则点P的纵坐标为-x2-2x+3，
∴点H的横坐标为x,点H的纵坐标为x+3，
∴PH=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x,
∵S△APB=S△APH+S△BPH==-，
整理得：S△APB=x==，
∴可知当时，△APB的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点P的坐标为；
（3）证明：设直线MN的解析式为y=hx,
解方程组，
可得：-x2-2x+3=hx,
整理得：x2+（2+h）x-3=0，
一元二次方程x2+（2+h）x-3=0中，
Δ=b2-4ac=（2+h）2+12＞0，
∴一元二次方程x2+（2+h）x-3=0有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为m、n,
则有，
∴mn是一个定值．
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