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2025-2026学年四川省成都市青羊区树德中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.几种气体的沸点（标准大气压）如下表：
气体 氢气 氮气 氧气 氦气
沸点温度（℃） -252.8 -195.8 -183 -268.9
其中沸点最低的气体是（　　）
A. 氢气 B. 氮气 C. 氧气 D. 氦气
2.由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是（　　）
A. 2a+3b=5ab B. （ab2）3=a3b5 C. （a+b）2=a2+b2 D. 2a2 a=2a3
4.在平面直角坐标系内，点P（-5，4）到y轴的距离为（　　）
A. -4 B. 4 C. -5 D. 5
5.2026年4月上旬哈尔滨市每天中午12时的气温（单位：℃）分别是18，18，14，17，16，15，18，17，16，14，则这10天中午12时的气温的中位数和众数分别是（　　）
A. 16和18 B. 18和16.5 C. 16.5和18 D. 17和18
6.下列命题是假命题的是（　　）
A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两.问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. abc＞0
B. 2a+b＜0
C. 关于x的方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根
D. 9a+3b+c＜0
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.已知，则=______．
10.按如图所示的程序计算，当输入x的值为5时，则输出的结果为 .
11.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是⊙O上的一个动点，当F沿着B→A→E→D→C的路径在圆上运动的过程中（不包括B，C两点），∠BFC的度数是 .
12.如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是______．
13.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=6，则平行四边形ABCD周长为 .
14.已知a+3b=2026，则的值为 .
15.已知a,b是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两个实数根，其中b=a+2，则k= .
16.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，∠A=30°，以点A为圆心、AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心、BC为半径画弧，交AB于点F，在Rt△ABC内随机取一点，落在阴影部分的概率为 .
17.已知四边形ABCD是矩形，AB=4，E为BC边上一动点且不与B，C重合，连结AE如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N.将△ECN沿EN翻折，点C的对应点为C′.
（1）若BC=8，BE=2DN，则BE的长为 ；
（2）若C′恰好落在边AD上，这样的点C′有且仅有一个，则BC的长为 .
18.已知二次函数y=ax2+2ax+a2+2（a≠0），若a=2，当t-1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n,当x=x0时，总有y≥n,则实数x0的取值范围是 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
（1）计算：；
（2）解不等式组：.
20.(本小题8分)
为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目.现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
根据以上信息.解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）.
（2）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中喜爱“测量”的人数.
（3）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法.求恰好选中B，E这两项活动的概率.
21.(本小题8分)
图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2和图3，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处（杯托深度忽略不计），CE=10cm.如图2，当靠背AB垂直于地面BH时，小桌板CD平行于地面BH，∠ABC=30°，点E到AB的距离EF=30cm.如图3，在图2的基础上现将靠背AB绕点B旋转倾斜，使其与地面BH的夹角∠ABH为65°，支架BC、小桌板CD高度及位置均不动，此时在点E处竖直放置一个大杯子，大杯子顶部G恰好接触靠背AB，求大杯子的高.（结果精确到0.1，参考数据：，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
22.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D为BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点F.
（1）求证：FD=FC；
（2）若，求⊙O的半径和sin∠F的值.
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+2与直线y=x+5相交于点A（-1，m），与x轴相交于点B，点C在反比例函数图象上.
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，求点C的坐标；
（3）过点A，C的直线与x轴交于点D，点E与点D关于点B对称，若存在AD=2CD，使得∠EAO=∠EDA，请直接写出k的值.
24.(本小题8分)
某书店为了迎接“读书节“决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
种别 A种 B种
进价（元） 18 12
备注 ①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本；
②A种图书不少于600本；
（1）已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
25.(本小题10分)
已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）.
（1）直接写出b,c的值；
（2）如图1，平行于x轴的直线EF在BC下方交抛物线于E，F两点，点D在直线BC上，若△DEF为等边三角形，求边EF的长；
（3）如图2，过点D（1，a）分别作直线EF：y=k1x+b1（k1≠0）交抛物线于点E、F，直线GH：y=k2x+b2（k2≠0，且k2≠k1）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段EF、GH的中点，若k1 k2=2a,则直线MN必经过一定点，求该定点的坐标.
26.(本小题12分)
在等腰△ABC中，AC=AB，∠A=45°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC.
【初步感知】
（1）如图1，当点D恰好落在边BC上时，求证：CD2=AB BD；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，如图2，连接BE，交AC于点F，交CD于点G，求的值.
【拓展延伸】
（3）若AB=5，在旋转过程中，试探究是否存在△BDE是以点D或点E为直角顶点的直角三角形，若存在，直接写出BE的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】131
11.【答案】36°
12.【答案】-6
13.【答案】30
14.【答案】1013
15.【答案】24
16.【答案】
17.【答案】2．
4

18.【答案】或
19.【答案】9-3 2≤x＜3
20.【答案】120 估计该校2400名学生中喜爱“测量”的人数为600人
21.【答案】大杯子的高约为29.6cm．
22.【答案】连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，
∴OA=OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠OCF=∠OCB+∠FCD=90°，
∴∠OBC+∠FCD=90°，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠BED=90°，
∴△BED是直角三角形，
在Rt△BED中，∠OBC+∠BDE=90°，
∴∠FCD=∠BDE，
又∵∠FDC=∠BDE，
∴∠FCD=∠FDC，
∴FD=FC
23.【答案】a=-2，点B（1，0）；
点C（5，2）；
-1．
24.【答案】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得：=-10，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27-a）元（0＜a＜5），
由题意得，w=（27-a-18）t+（18-12）（1000-t）=（3-a）t+6000，
根据题意得：，
解得：600≤t≤800，
∵0＜a＜5，
∴①当5-a＞0，即0＜a＜3时，w随t的增大而增大，
∴当t=800时，即A类图书购进800本，B类图书购进200本时，总利润最大；
②当3-a=0，即a=3时，w与t的取值无关，购进A类图书600～800本，书店应能获得最大利润；
③当3-a＜0，即3＜a＜5时，w随t的增大而减小，
∴当t=600，即A类图书购进600本，B类图书购进400本时，总利润最大；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．
25.【答案】b=-2，c=-3 定点（1，0）
26.【答案】证明：∵AC=AB，
∴∠B=∠ACB，
由旋转得：CD=CB，
∴∠B=∠BDC，
∴∠BDC=∠ACB，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴=，
∴CB2=AB BD，
∴CD2=AB BD = 5或5或5-5
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