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湖南怀化市2025-2026学年高三下学期第二次仿真模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知复数z满足，则z＝（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下：甲市游客总量万人次，游客人均消费元；乙市游客总量万人次，游客人均消费元．此期间甲、乙两市游客的人均消费额为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
4．某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，这是函数的部分图象，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），若直线AB的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、多选题
9．已知双曲线C：，则下列结论正确的是（ ）
A．m的取值范围是
B．C的焦距与m的取值无关
C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为
D．存在实数，使得点在C上
10．已知，则的值可能为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，，使得
B．记的值域为A，对任意，存在，使得
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知数列，均为等差数列，若，，则________．
13．已知函数有且仅有1个零点，则＝________．
14．已知圆的圆心为，半径为，，，是圆上的动点，且，则的取值范围为________．
四、解答题
15．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，AB的中点．
(1)证明：CF⊥平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．在中，为边上一点，．
(1)若，，求的长；
(2)求的值．
17．某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点．
(2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？
18．已知函数．
(1)设．
①求曲线在点处的切线方程；
②求在上的最小值．
(2)若在上单调递减，求的取值范围．
19．已知O为坐标原点，椭圆E：的右顶点为，离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，与直线，分别交于点C，D．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若，求直线l的方程；
(3)证明：．
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．C
5．C
6．B
7．D
8．C
9．ABC
10．BCD
11．ACD
12．
13．1
14．
15．（1）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，
取，可得．
所以，所以平面．
（2）由（1）知，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
16．（1）由题意得，，，
根据余弦定理，，
故.
（2）因为，
所以，，．
设，则，，，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，由正弦定理可得，
即，
则，
化简可得，
则．
17．（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，，
则，令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点.
（2）由（1）知，
若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为，
则
；
若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为．
；
因为，所以应该选择方案一．
18．（1）当时，，．
①因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
②令，则．
当时，，，且两个等号不能同时成立，
所以，在上单调递减．
又，，所以存在，使得．
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减．
又，，，
所以在上的最小值为．
（2）．
令，则，
．
若，即，则存在，使得当时，，
所以在上单调递增．
因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意．
若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立，
所以当时，．
当时，，，
所以，在上单调递减．
因为，所以当时，，
所以当时，，在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围为．
19．（1）由题可知，解得，
所以椭圆E的方程为．
（2）因为直线，到x轴的距离均为，
过点作轴于点，交直线于点，所以，
因为，所以，所以．
因为，所以．
因为点的纵坐标为，所以点B的纵坐标为．
将代入，得，即．
故直线l的方程为或．
（3）由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
，，，．
当时，，．
由，得，．
因为，所以，，
所以．当时，．
又，
，
所以，所以．
当或时，以为例，
直线，与联立得，与联立得，
与椭圆方程联立解得另一交点，
因为，，所以，即，
因为，，所以，即,
因此，其他特殊值同理可证.
综上，．

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