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福建省泉州市丰泽区2026年初中毕业班适应性考试 九年级数学试题
一、单选题
1．下列实数中，最大的数为（ ）
A． B． C． D．
2．截至今年3月，我国某大模型日均处理用户请求约86400000次，有效提升了教育、办公、医疗等领域的服务效率．将86400000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称
4．若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
5．为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了14名同学的每天锻炼时间如下表：
每天锻炼时间（分钟） 50 60 80 90 100
学生人数 2 5 4 2 1
则这些同学每天锻炼时间的众数和中位数分别是（ ）
A．60，70 B．60，80 C．80，60 D．70，60
6．用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点G是的重心，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图，为的直径，点，在上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二、填空题
11．已知，则的值为______．
12．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为_____．
13．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于_______度．
14．从一组数据“3，3，5，7”中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为______．
15．已知实数x，y满足，则的最大值为____．
16．如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组
19．先化简，再求值：，其中
20．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：．
21．为传承“蟳埔簪花”非遗文化，丰泽区某中学组织学生开展非遗体验活动，分为甲、乙两组，每组各10人．活动记录了每位学生的簪花数量（单位：朵）、创意评分（单位：分）和文化讲解时长（单位：分钟），相关数据如下：
两组学生簪花数量统计图
两组学生活动的平均数统计表
项目 簪花数量（a朵） 创意评分（b分） 讲解时长（c分钟）
甲组 5 20 1.8
乙组 5 19 2.2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知甲、乙两组簪花数量的方差分别为，，求x的值，并结合两组簪花数量的平均数和方差，评价甲、乙两组的表现稳定性；
(2)规定学生的综合表现指数为，指数越大该组学生的综合表现越好．试通过计算，判断哪一组的综合表现更好．
22．如图，内接于，点为直径的延长线上一点．
(1)在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径．
23．综合与实践
【阅读材料】
如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一．
【问题提出】
洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案．
【方案设计】
测量工具：
测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角；
测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：．
测量过程：
步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）；
步骤二：分别站在A、B两处测得，；
步骤三：测得．
【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题：
(1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，）
(2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求．
24．在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F．
(1)如图1，若E为中点，求证：；
(2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
(3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长．
25．已知抛物线．
(1)当时，证明此抛物线与轴必有两个交点；
(2)设抛物线与x轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点．已知点在第一象限，若，且．
①求证：；
②过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标．
参考答案
1．D
【详解】解：
∴四个数中最大的数为，对应选项为D．
2．C
【详解】解：．
3．A
【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移，
故选：A．
4．D
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
∴实数的值可以为．
5．A
【详解】解：∵总数据个数为，
∵众数是一组数据中出现次数最多的数，60对应的学生人数为5，次数最多，
∴众数为，
∵数据总个数14是偶数，
∴中位数是将所有数据从小到大排列后第7个和第8个数据的平均数，
由排列可知：第1~2个数据为50，第3~7个数据为60，第8~11个数据为80，
∴第7个数据为60，第8个数据为80，
∴中位数为，
综上所述：众数为60，中位数为70．
故选：A．
6．C
【详解】解：∵ 反证法第一步是假设命题结论不成立，
本题原结论为 ，
其否定为 ，
∴ 第一步应假设．
7．C
【详解】解：延长交于，
点G是的重心，，
，，
，
．
8．A
【详解】解：∵，
∴，即当电功率一定时，其图象是反比例函数的图象，
∵乙、丁两点在曲线上，
∴乙、丁两用电器的功率相等，
∵甲点在曲线上方，丙点在曲线下方，
∴功率最大的是甲．
故选：A．
9．D
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
10．B
【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线，
∵，由勾股定理得：，
代入坐标得：，
展开化简得：，
∵在抛物线上，
∴，
两边除以得：，
设是抛物线与轴交点，
∴，
两边除以得，
∵，
∴，
代入坐标得：
，
展开化简并代入，得：
，
∴，
把代入得：
，
化简得：，
∵，
∴．
11．
【详解】解：∵，
∴．
12．-2
【详解】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．30
【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，
可得BD=AC，BC=AF，
∴CD=CF，
同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，
∴∠1=，
∴∠2=180°-120°=60°，
∴∠ABC=30°，
故答案为：30．
14．
【详解】解：这组数据的平均数为，
∵一共有4个数，其中小于它们的平均数的数有2个，
∴任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为．
15．18
【详解】解：由题意，设①，
又②，
得，，
即，
得，，
∴，
，
的最大值为18．
16．
【详解】解：如图，作于点，设，
在直角中，，
由勾股定理可得，，
由旋转的性质可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，解得，
∴．
17．3
【详解】解：
．
18．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴原不等式组的解集为．
19．，
【详解】解：
；
当时，原式．
20．见解析
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴．
21．(1)，见解析
(2)乙组的综合表现更好．
【详解】（1）解：甲组簪花数量的平均数为（朵），
甲组簪花数量的方差
，
甲、乙两组簪花数量的平均数相等，但乙组的方差更小，表现得稳定性更好；
（2）解：由题意可知，甲组的综合表现指数为，
乙组的综合表现指数为，
，
乙组的综合表现更好．
22．(1)见解析
(2)的半径为
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：设与交于点，的半径为，
点为中点，
垂直平分，即，
，，
，
，即，
，
，，
，
，即，
解得，
的半径为．
23．(1)A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米；
(2)
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
，
解得：（米），
答：A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，，
，
，
，
．
24．(1)见解析
(2)或
(3)
【详解】（1）证明：E为中点，
，
由翻折性质得：、，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：由翻折性质得：、、，
四边形是矩形，
、，
①当时：
，
，
点在的垂直平分线上，
取中点，连接，过点作于点，
、，
在中，由勾股定理得：
，
、，
、，
，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
解得，
；
②当时：
点在的垂直平分线上，
取中点，连接，过点作于点、于点，
、，
、，
在中，由勾股定理：，
设，则，
在中，由勾股定理：，
解得，
，
综上所述，的长为或；
（3）解：由翻折可知：，且的中点在上，
过点作于点，
、
、
，即
作点关于直线的对称点，则，此时，当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，
、、，
由勾股定理得：，
的最小值为：；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
、，
，
，
，
，
即，
．
25．(1)见解析
(2)①见解析；②
【详解】（1）证明：当时，抛物线
当时，
即
∴
∴此抛物线与轴必有两个交点；
（2）解：①当时，，即
∴
解得：或
∴，
∴
∵，
∴
∴当时，
解得：
∴，，，
∵点在第一象限，
当时，，则在上，
如图，设交轴于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为，代入，，
∴，
解得：，
∴，
当时，，则，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
解得：（负值舍去）
∴
∴
∴
∵，，，
∴，，
∴且
∴
②如图，过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点．
设，经过点的直线为
联立
∴
∴
∵是的中点
∴，
∴
∵
∴
∵是一个定值，
∴是一个定值，
∵
∴时，是一个定值，
∴
∴点的坐标为

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