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福建泉州市培元中学2025-2026学年下学期九年级期中阶段评价数学试题
一、单选题
1．实数的倒数是（ ）
A． B． C．3 D．
2．华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )．
A． B． C． D．
3．下列二次根式中能与2合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ）
A． B． C． D．
5．某校为了解学生在校一周的体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果如图所示，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为（ ）
A． B． C．15人 D．10人
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
8．随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，M是的中点，平分，，则的长为（ ）．
A．10 B．9 C．8 D．7
10．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，点在该函数图象上，若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
二、填空题
11．____．
12．因式分解：_____．
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________．
14．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l=______．
15．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，PC，则的面积为___．
16．如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，连接，，则的最小值为_____．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，，E是上的一点，且，，求证：．
20．仁寿县鳌峰中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图
(1)本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2)若本校共有3200人参加本次竞赛活动，请估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
(3)学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
21．如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上分别确定点，使四边形是菱形．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，求（1）中所作菱形的边长．
22．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接．
(1)求b的值及点M的坐标；
(2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：．
24．综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究．
【结论初探】
（1）小明发现，并给出了如下说理过程．
，
请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由；
【作图再探】
（2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论：
①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即．
小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系；
【拓展延伸】
（3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系；
【结论应用】
（4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由．
25．已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长．
参考答案
1．C
【详解】解：实数的倒数是3，
故选：C．
2．D
【详解】解：；
故选：D．
3．B
【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误；
B、能与2合并，故该选项正确；
C、＝3不能与2合并，故该选项错误；
D、＝3不能与2合并，错误；
故选B．
4．A
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：A
5．A
【详解】解：由图可知，出现15人，人数最多，
∴这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为．
6．D
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
7．D
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．B
【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：．
故选：B．
9．B
【详解】解：如图，过点D作的平行线，交于点E，则，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由得，
∴，，即，
∴，
已知，，代入得．
设，则，故，
∵M是的中点，
∴．
∵，由平行线分线段成比例定理：，
∴，
解得．
故答案为：9．
10．A
【详解】解：二次函数，
对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
，
∵，，
∴，，
∵，
则，
∴，
故选：A．
11．5
【详解】解：∵，
∴．
12．
【详解】解：．
13．
【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D，
连接AD、BD，根据圆周角定理可得，
每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均
在网格交点上，
，
则，
，
故答案为：．
14．．
【详解】扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：，解得：l＝
15．6
【详解】解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
则△AOC和△APC面积相等，
∵A在上，C在上，AB⊥x轴，
∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=9-3=6，
∴△APC的面积为6，
故答案为：6．
．
16．
【详解】解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，
在矩形中，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设点的坐标为，
如下图所示，过点作，过点作，
则，，，
由旋转可知，，
，，
，
在和中，，
，
，，
，，
点的坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为．
17．
【详解】解：
．
18．
【详解】
；
当时，
原式．
19．证明见解析
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
20．(1)，补全图见详解
(2)估计竞赛成绩为B等级的学生人数为名
(3)
【详解】（1）解：本次共抽取的人数为：（名），
故答案为：；
等级的人数为：（名），
补全图，如下
（2）解：由题意得
（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为名；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲，乙 甲，并 甲，丁
乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁
丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁
丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙
共有种等可能结果，甲、乙两人同时被选中的结果有种，
，
故甲、乙两人同时被选中的概率为．
21．(1)作图见解析；
(2)
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求，
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
菱形的边长．
22．(1)x的值为2m；
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x≤0，
∴0＜x≤，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
23．(1)，
(2)见解析
【详解】（1）解：∵，
∴当，解得，
∴，
把代入，得，解得；
∵抛物线的对称轴为直线，当时，，
∴点的坐标为；
（2）证明：由（1）可知，直线的解析式为，
直线向下平移后过点，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设直线与轴交于点，
∵，
∴令，解得，令，则，
点，点，
，，
，
，
过点作于点，
，，，
，，
，
，
，
．
24．（1），见解析（2）见解析（3）（4）
【详解】（1）解：，四个正数，
，
．
（2）解：①如图，作出点；作射线，在射线上截取，因为，则点落在线段上；
②作出点；在射线截取，，则点落在线段上；
③过点A作，过点C作，二线交于点E,同理作出交点F，
④根据作图，得到四边形都是矩形，且；；
⑤根据矩形在矩形内部，根据整体大于部分的原理，得到，
⑥故．
（3）解：．理由如下：
过点B作于点E，根据直线三角形的斜边大于任何一条直角边，
得，故
而为的高，
故，
故，
故．
（4）解：．理由如下：
如图，四边形中，，垂足为，
根据（3）中的结论，得，
故，
故，
故．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，连接，
由（1）知：，，
是的直径，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，，
，
；
（3）解：如图，取的中点，连接，
是的中点，
，，
，
由（2）知：，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．

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