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福州市八县（市）协作校 2025-2026学年第二学期期中联考
高一数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据条件，利用复数的运算得到 ，再利用模长的计算公式，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：C.
2．若 ， 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）．
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基
底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】因为向量 ， 是平面内的一组基底，可得向量 ， 为平面内不共线向量，
对于 A中，设 ，可得 ，此时方程组无解，
所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底，A正确；
对于 B中，设 ，可得 ，解得 ，
试卷第 1页，共 3页
所以向量 和 为共线向量，不能作为平面的一组基底，B错误；
对于 C中，设 ，可得 ，此时方程组无解，
所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底，C正确；
对于 D中，设 ，可得 ，此时方程组无解，
所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底，D正确.
故选 B.
3.一物体在力 的作用下，由点 移动到点 ．若 ，则 对该物体
所做的功为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】D
【分析】根据功 ，即可求得物体所做的功．
【详解】由题意可知 ， ，
，
所以 对该物体所做的功为 ．
故选：D．
4．已知某圆锥的底面积为 ，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的底面积得到底面圆半径为 2，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线
长，再代入圆锥的侧面积公式求解.
【详解】因为底面积为 ，所以圆锥的底面半径为 2，轴截面为等边三角形，
所以该圆锥的母线长为 4，
所以 .
试卷第 1页，共 3页
故选：B.
5. 设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条
件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选：A.
6.三棱锥 中， ， 平面 ， ， ，球 是三棱
锥 的外接球，则球 的体积是( )
A. B． C． D．
【答案】A
【分析】构造长方体，求出长方体的外接球半径，最后利用体积公式即可.
【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥 补形为长、宽、高分别为 的长方
体，且三棱锥 的外接球与长方体的外接球为同一个球，
又该长方体的外接球半径为 ，
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则球 的体积是 .
故选 A.
7．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到 处时测得公路北侧一铁塔底部
在西偏北 的方向上，行驶 300m后到达 处，测得此铁塔底部 在西偏北 的方
向上，塔顶 的仰角为 ，则此铁塔的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设此铁塔高 ，在直角 中，可得 ，再在 中，利用正
弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】设此铁塔高 ，根据题意，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在 中，由 ，可得 ，
根据正弦定理，可得 ，解得 ．
故选：C.
8．在 中， ， ，点M为 所在平面内一点且
试卷第 1页，共 3页
，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】以 所在直线为 轴，以其上的高线为 轴建立平面直角坐标系，设出点 的
坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题.
【详解】在三角形 中，由余弦定理 ，故
为钝角；
又 ，故 点在三角形 底边 的高线上，
则以 所在直线为 轴，以其上的高线为 轴建立平面直角坐标系如下所示：
又 ，则 ，
故 ， ；
则 ，设 ，
，
故 ，当且仅当 时取得等号；
也即 的最小值为 .
故选：D.
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二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得
0分.
9．已知平面向量 ， ，则正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， 的夹角为钝角，则
D．若 ，则 在 方向上的投影向量是
【答案】ACD
【详解】解：因为 ， ，
对于 A：若 ，则 ，解得 ，故 A正确；
对于 B：若 ，则 ，解得 ，故 B错误；
对于 C：对于 B，若 与 夹角为炖角，则 且 与 不共线，
则 ，解得 ，故 C正确；
对于 D：因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 在 方向上的投影向量是
，故 D正确；
故选：ACD．
10. 根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】BD
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【解析】
【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即
大边对大角是否满足，若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解.
【详解】对于 A，由正弦定理得： ，解得 ，
根据 ，可得： ，显然不满足内角和为 ，故 A错误；
对于 B，由正弦定理得： ，解得 ，
根据 ，且 ，仅存在一个锐角 满足 ，故 B正确；
对于 C，由正弦定理得： ，解得 ，
根据 ，且 ，可得一个锐角 和钝角 都满足题意，故 C错误；
对于 D，由正弦定理得： ，解得 ，
根据 ，可得： ，显然满足唯一解，故 D正确；
故选：BD.
11．在 中， ，点 为 内一点， 的延长线交 于点
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为 的重心，则
B．若 为 的外心，则
C．若 为 的垂心，则
D．若 为 的内心，则
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【答案】ABD
【分析】利用向量数量积的运算律计算判断 A；利用正弦定理、余弦定理及等面积思想
计算判断 ABD.
【详解】对于 A，由 为 的重心，得 ，
则 ，A正确；
对于 B，由余弦定理得 ，而 为 的外心，
由正弦定理得 ，B正确；
对于 C，由 为 的垂心，则 为 边上的高，由面积相等可得
，
则 ，C错误；
对于 D，当 为 的内心时， 为 的角平分线，故 ，
由 ，可得 ，解得
，D正确.
故选：ABD
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12． 是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是 ，则
的面积是 .
【答案】
【分析】根据平面图形的直观图与原图形的面积比为 ，计算所求的面积即可.
【详解】已知直观图 是边长为 的正三角形，
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所以 的面积是 ，所以 的面积为 .
故答案为： .
13．若复数满足 ，则 的虚部为 .
【答案】
【详解】方法 1：设 ，则 ， ，解得 ， ，
故虚部为 1.
方法 2：因为在复平面内 表示到原点距离为 1的点，同理， 表示到点
（0，2）距离为 1的点，所以满足 的点为两个单位圆的公共点，结合图形
可
知点的坐标为（0，1），故虚部为 1.
14. 已知复数 ， ， ， ，在复平面内复数 对应
的向量分别为 ， ， .若 （其中 表示不超过 的最大整数，如：
， ，则 的取值范围为______.
【答案】
【详解】易得 ， ， ，则 ，
所以
，
当 时， ，显然不成立；
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当 时， ，显然成立，
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
所以 ， ， ，
，
，
因为 ，
所以 .
所以 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）已知 ， ，且 与 的夹角为120°，
(1)求 ；
(2)求 与 的夹角．
【答案】(1) ； (2)
试卷第 1页，共 3页
【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出 的值，再计算 的值.
（2）根据数量积的定义及运算律先算出 和 的值，再根据夹角公式计算即
可.
【详解】（1）因为 ， ，且 与 的夹角为 ，
所以 ，……………………………………………2分
所以 ， ………………5分
所以 . ……………………………………………6分
（2）因为 ，…………………………………………8分
，
…………………………………………………………………………………10分
所以 ，…………………………………12分
因为因为 ，
所以 与 的夹角为 .……………………………………………………………13分
16．已知 为复数， 为实数，且 为纯虚数，其中 是虚数单位.
(1)求 ；
(2)若复数 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）设 ，根据复数代数形式的乘法法则化简 与 ，
根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出 ；
（2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复
数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）设 ， ……………………………………………………1分
，
试卷第 1页，共 3页
因为 为实数，所以 ，即 ………………………………………………3分
所以 ， ………………………………………………5分
又因为 为纯虚数， 所以 即 ， ………………………………………6分
所以 . ……………………………………………………………………………7分
（2）由（1）知， ………………………………………………………………8分
所以 ， ………………………………………10分
又因为 在复平面上所对应的点在第四象限，
所以 ， ………………………………………………………………12分
解得： ………………………………………………………………14分
所以，实数 的取值范围为 .……………………………………………………15分
17.如图，在平面四边形 ABCD中， ， ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求三角形 ABD的面积．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）在 中利用余弦定理求出 ，然后在 中利用正弦定理可求得
结果；
（2）分别在 和 中利用余弦定理表示出 ，再由 可
求出 ，从而可求出 ，再求出 ，然后可求出 的面积.
【详解】（1）在 中， ， ，则由余弦定理得
试卷第 1页，共 3页
……………………………………………………2分
，
所以 ， ………………………………………………………………4分
在 中， ， ， ，所以由正弦定理得
，得 , ……………………………………5分
，得 ； ……………………………………………7分
（2）在 中， ，由余弦定理得
， …………………………………………………8分
在 中， ， ，则余弦定理得
, …………………………………………………9分
因为 ，所以 ，
解得 ，……………………………………………………………………………11分
所以 ， ……………………………………………12分
因为 ，所以 ， ……………………………13分
所以 的面积 . ………………………15分
18．如图，在菱形 中， ．
试卷第 1页，共 3页
(1)用 表示 ；
(2)求 ；
(3)若 是菱形 内（含边界）一动点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) ．
【分析】（1）由图形易得 用 线性表示；
（2）将（1）中求得的 的表示式代入所求式，运用向量数量积的定义和运算律计
算即得；
（3）将 分别用 表示，化简计算得 ，结合图形，得出当
与 重合时， 取最小值；当 与 重合时， 取最大值，利用余弦定理求出
的长，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）因 ，
则 ， ………………………………………………………2分
. ……………………………………………………4分
（2）由（1）可知， ，
则
．…………………………7分
试卷第 1页，共 3页
因为 ， ，则 ，………………8分
则 ，
故 ． ………………………………………………………10分
（3）由题可知 ，
则 ． …………………………12分
由图可知，当 与 重合时， ，此时 取得最小值为 ，……………13分
当 与 重合时， 最大， 取得最大值． …………………………14分
如图连接 ，在 中，由余弦定理，
，
所以 的最大值为 ，……………………………………………………16分
故 的取值范围为 ． ……………………………………………………17分
19.（17 分）“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法
国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：
当 的三个内角均小于 时，满足 的点 O为费马
点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知
识解决下面的问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)已知 ，点 为 的费马点.
（ⅰ）若 ，记 ，求 ；
（ⅱ）求 的取值范围.
试卷第 1页，共 3页
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合和差角、辅助角公式即可求解；
（2）（ⅰ）由正弦定理得 ，分别在 ， 中由正弦定理得到
， 联立进而可求解；（ⅱ）由三角形面积公式得到
，再由正弦定理得到 ，
再确定 ，进而可求解.
【详解】（1）根据正弦定理，
变为 ，……………………………………………1分
即 ，
又因为 ，
所以
即 ．
即
因为三角形中 ，
整理得 ，…………………………………………………………………3分
即 ，所以 ，
所以 ，则 ．…………………………………………………………………5分
（2）因为 ，所以 和 均小于 120°，
又M为费马点，则有 .………………………………6分
（ⅰ）在 中，由正弦定理得 ，
即 ，得 . ……………………………………………………………7分
试卷第 1页，共 3页
在 中，由正弦定理得 ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，……………………………………………………9分
①②两式相除得 ，化简得 ，
所以 . ………………………………………………………11分
（ⅱ） =
由 ，
得 ，
整理得 . ………………………………………13分
因为 ，
所以
. ………………………………………………………………15分
因为 是锐角三角形，所以 ，即
所以 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
试卷第 1页，共 3页
所以 的取值范围是 .……………………………17分
试卷第 1页，共 3页福州市八县（市）协作校 2025—2026学年第二学期期中联考
高一 数学试卷
【完卷时间：120 分钟；满分：150 分】
命题：福州延安中学
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
2．若 ， 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
3. 一物体在力 的作用下，由点 移动到点 ．若 ，则 对该
物体所做的功为（ ）
A． B． C．8 D．
4．已知某圆锥的底面积为 ，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 三棱锥 中， ， 平面 ， ， ，球 是三
棱锥 的外接球，则球 的体积是（ ）
A. B． C． D．
7．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，
到 处时测得公路北侧一铁塔底部 在西偏北
的方向上，行驶300m后到达 处，测得此铁塔底部
在西偏北 的方向上，塔顶 的仰角为 ，则
高一数学 － 1 －（共 4页）
此铁塔的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．在 中， ， ，点 M为 所在平面内一点且
，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．已知平面向量 ， ，则正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， 的夹角为钝角，则
D．若 ，则 在 方向上的投影向量是
10. 根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
11．在 中， ，点 为 内一点， 的延长线交 于
点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为 的重心，则 B．若 为 的外心，则
C．若 为 的垂心，则 D．若 为 的内心，则
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12． 是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是 ，则
的面积是 .
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13．若复数满足 ，则 的虚部为 .
14. 已知复数 ， ， ， ，在复平面内复数 对
应的向量分别为 ， ， .若 （其中 表示不超过 的最大整数，
如： ， ，则 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知 ， ，且 与 的夹角为120°，
(1)求 ；
(2)求 与 的夹角．
16．（15分）
已知 为复数， 为实数，且 为纯虚数，其中 是虚数单位.
(1)求 ；
(2)若复数 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围.
17. （15分）
如图，在平面四边形ABCD 中， ， ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的面积．
高一数学 － 3 －（共 4页）
18. （17 分）
如图，在菱形 中， ．
(1)用 表示 ；
(2)求 ；
(3)若 是菱形 内（含边界）一动点，求 的取值范围．
19. （17分）
“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马
在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当 的三
个内角均小于 时，满足 的点 O为费马点；当
有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的
问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 ，点 为 的费马点.
（ⅰ）若 ，记 ，求 ；
（ⅱ）求 的取值范围.
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