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福州市八县（市）协作校 2025—2026 学年第二学期期中联考
高 二 数 学 试 卷 参 考 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C B A A D D BC ABC ACD
12． 或 13． 14．48
15．（1）因为二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为 128．
所以 ，解得 ．……4分
（2）二项式 展开式的通项为 ，
，……7分
令 ，解得： ，……8分
所以当 时， ，
故展开式中含 项的系数为 ．……10分
（3）根据（2）可得，二项式 展开式的通项为 ，
，
令 ，可得 ，所以展开式的第六项为 ．……13分
16．（1） ，……1分
由题意，得 和 3是关于 的方程 的两根，
由韦达定理，得 ……3分
解得 ……4分
此时 ．
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
答案第 5页，共 5页
所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，符合题意．……6分
综上， ．……7分
（2）直线 与曲线 有且仅有两个公共点，等价于关于 的方程
仅有两个实根，
即关于 的方程 仅有两个实根．……8分
设 ，则 ．……9分
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，……11分
所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，……12分
且 ， ．
根据题意，得 或 ……14分
解得 或 ．……15分
17．(1）设事件 表示回答被采纳，事件 表示问题表达清晰，……1分
则 ，……2分
则 .……4分
（2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率 ，且每次回答是否被采纳相互独立，
因此随机变量 服从二项分布 ，……5分
则 ，
，
答案第 4页，共 5页
，
，……9分
的分布列为：
0 1 2 3
……10分
，……11分
……12分，
（3）随机抽取 10个问题，设被采纳的次数为 ，则有 ，总得分 ，
则 ……14分
满足推广条件，因此该系统会得到推广.……15分
18．（1）由题意 的可能取值为 ，……1分
所以 ，……4分
所以 的分布列为
1 2
……5分
（2）令事件 表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件 表示“甲以 获胜”，事
件 表示“甲以 获胜”，事件 表示“甲前 2局比赛均获胜”，……6分
所以 ，……8分
答案第 5页，共 5页
所以 ，……9分
，……10分
所以 ；……13分
（3）
由已知有 ，所以 ，
所以 ，
……16分
所以高二年级学生体能检测合格.……17分
19.解析：（1） …………1分
当 时， 在 上恒成立，因此 在 上单调递增.…………2分
当 时，令 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
综上：
时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .…………4分
（2）当 ， 时， ，因此 不恒成立，
不符合题意，舍去. …………5分
当 时， ，符合题意。 …………6分
由（1）知，当 时， ，
要使不等式恒成立，只需 ，即 . …………7分
设 （ ），
答案第 4页，共 5页
令 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因此 在 处取得最小值 ，
故 对所有 恒成立， …………9分
综上，所求 a的取值范围为 . …………10分
（3） ， ， ，
则 ，
故 在 上单调递增. …………12分
由（1）可知，当 时， ，即 . …………13分
因为 ， ，
所以存在唯一 ，使得 . …………15分
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
又 ， ，
所以对任意 ，均有 ，
即 成立. …………17分
答案第 5页，共 5页福州市八县（市）协作校 2025—2026 学年第二学期期中联考
高 二 数 学 试 卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
命题：福州第七中学
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类.现有 4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、
药墨中选购 1种，则不同的选购方式有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
2．下列函数的求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．随机变量 X的分布列为：
X 1 2 3
P a
则 （ ）
A． B． C． D．
4．现有 4支救援队前往 3个受灾点执行救援任务.若每支救援队只能去其中的一个受灾点，
且每个受灾点至少安排 1支救援队，则不同的安排方法数是（ ）
A．24 B．36 C．48 D．56
5.已知函数 在定义域内单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．赵、钱、孙、李、周共 5名同学进行英语口语比赛，决出第 1名到第 5名的名次.赵和
钱去询问成绩，回答者对赵说：“很遗憾，你和钱都没有得到冠军”，又对钱说：“你肯定不
会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次的可能排列的种数是（ ）
A．54 B．48 C．36 D．18
7．一袋子里装有大小、形状完全相同的 3个红球、2个白球和 1个黄球，共 6个球.现从
数学试卷 第 4页，共 4页
袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为 ，则
的数学期望 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 是定义在 上的函数，且满足 ，其中 为 的
导数.设 ， ， ，则 , , 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分,有选错的得 0分.
9．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．某工厂生产产品的质量 （单位： ）服从正态分布 ，且 ，
．从该流水线上随机抽取 4件产品，这 4件产品中质量 在区间 上
的件数记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 与其导函数 的部分图象如图所示，若函数 ，则下列
关于函数 的结论正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递增
C．当 时，函数 有极小值 D．当 时，函数 有极大值
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二、填空题:本题共3小题，每小题 5分，共 15 分.
12．已知 ，则 __________．
13．已知函数 的图象在点 处的切线方程为______.
14．某学校工会组织“掷骰子赢奖品”活动．规则是将一枚质地均匀的骰子连续投掷三次，
依次将朝上的点数记为 a，b，c．若三次点数 a，b，c满足 ，则称该投掷序
列 为“幸运序列”．则不同的“幸运序列”共有________种．
三、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为 128．
(1)（4分）求 ；
(2)（6分）求展开式中含 项的系数；
(3)（3分）求展开式的第六项．
16.（15分）已知函数 的两个极值点分别为 和 3．
(1)（7分）求 的解析式；
(2)（8分）若直线 与曲线 有且仅有两个公共点，求 的值．
17．（15分）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员 AI助手”可实现批
量外呼、分堆播报等功能。圆通速递的 AI智能客服系统通过引入自然员处理 NLP和机
器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担。通过采集
使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为 ；
当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为 ．已知输入的问题
表达不清晰的概率为 ．每次回答是否被采纳相互独立．
(1)（4分）求 AI智能客服的回答被采纳的概率；
(2)（8分）在某次测试中输入了 3个问题，设 表示 AI智能客服的回答被采纳的次数，
求 的分布列及期望、方差；
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(3)（3分）公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了 10个问题，AI智能客
服的回答每被采纳 1次计 10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为 ，若
，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由．
18．（17分）2025年 7月 3日，教育部在新闻发布会上公布了第八次全国学生体质与健
康调研的详尽结果，据调研数据，我国学生的体质健康达标率呈现稳步上升趋势，同时，
学生的身体形态发育指标，如身高等也呈现出持续向好的态势。某校为了解全校学生身
体素质的情况，从高二年级 8个班学生中每班随机选出 5名学生参加“体能达标”测试，
并且规定“体能达标”测试成绩小于 60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”
的人数不超过总人数的 5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合
格”，需要加强锻炼．
(1)（5分）已知某班级的 5名学生中，甲、乙 2位同学体能预测不合格，从这 5名学生
中抽取 2名，记 X为抽取的 2名学生中体能合格的人数，求随机变量 X的分布列；
(2)（8分）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跑步比赛以提高体能，并约定
每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜
的概率均为 ，且每局比赛结果相互独立，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条
件下，前 2局比赛均获胜的概率；
(3)（4分）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能
检测成绩近似服从正态分布 ．已知 ，请估计该校高二年级学生该次
体能检测是否合格 附：
.
19．（17分）设函数 .
(1)（4分）讨论 的单调性；
(2)（6分）若 ，求 a的取值范围；
(3)（7分）设 ，证明：当 时， .
数学试卷 第 4页，共 4页

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