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数学半期考参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C D D D C ABC AB
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】利用复数乘法的几何意义求复数的模即可.
【详解】由 .
故选：B
2．C
【分析】由 知 ， ， 的模都等于 1，先计算 的平方，再开方即得模长.
【详解】解：因为向量 ， 满足 ， ， ，
所以 ，
则
故选：C
3．D
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：D
4．C
【详解】依题意，设球的半径为 ，则圆锥的底面半径是 ，再设圆锥的高为 ，
则有 ，解得 ，
所以圆锥的高与底面半径之比为 ．
5．D
【分析】在直观图中求出 ，画出原图形，求出边长和面积.
【详解】在直观图中， ，
在三角形 中，过点 作 ⊥ 于点 ，则 ， ，
故 ，
还原直观图得 原图如下，
，
由 得 ，
所以 的面积为 .
故选：D
6．D
【分析】根据已知条件先求出 中的两边，再利用余弦定理求 即可.
【详解】由题意，可得
，
且 ，在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
在 中，由余弦定理得：
所以 ．
故选：D．
7．D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出 ，结合
的范围即可得解.
【详解】以 A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ，
因为 的取值范围是 ，所以 的取值范围是 .
故选：D．
8．C
【分析】根据题意以及共轭复数的概念，复数的运算，复数的几何意义，复数模的计算公式
等即可判断各选项的真假．
【详解】对 A，由题意可知，当 时， ，所以
，A错误；
对 B， ，所以 B错误；
对 C， ， ，所以 C正确；
对 D，由 ，所以 在复
平面内对应的点的坐标 在第四象限，D错误．
故选：AC．
9．ABC
【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断 A、B、C、D
的结论．
【详解】解：复数 满足 ，整理得 ．
对于 A：由于 ，故 ，故 A错误；
对于 B：由于 ，故 ，故 B错误；
对于 C：复数 的虚部为 ，故 C错误；
对于 D：复数 在复平面内对应的点为 ，故该点在第一象限内，故 D正确；
故选：ABC．
10．AB
【分析】对于 A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于 B，利用单位向量的定义计算可
判断；对于 C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于 D，利用两向量夹角为锐角的
充要条件列方程组求解可判断．
【详解】对于 ，故 A正确；
对于 B，与 共线的单位向量 ，同向为 ，故 B正确；
对于 在 上的投影向量为 ，故 C错误；
对于 D，因 ，则
，
由 与 的夹角为锐角，可得： ，解得 且 ，故 D错误．
故选：AB.
11．ABD
【分析】首先求圆锥的高，再代入圆锥的侧面积，体积公式，即可判断 ABD，利用圆锥与
外接球的几何关系，构造关于 的方程，即可求解外接球的表面积，判断 D.
【详解】对 A，母线 的长为 10m，底面半径 OA长为 6m，圆锥 SO的高为
，A选项正确；
对 B，圆锥 SO的侧面积 ，B选项正确；
对 C,圆锥 的体积 ,C选项错误，
对 D，设圆锥 SO的外接球半径为 ，则 ，解得 ，
所以圆锥 SO外接球的表面积为 ，D选项正确.
故选：ABD
12．4
【分析】利用复数的几何意义进行求解.
【详解】复数 z满足 ，则复数 z对应的点 在以 为圆心，半径 的圆
上，
而 表示圆上的点 到定点 的距离 ，
圆心 到定点 距离为：
所以 （ 是虚数单位）的最小值为： .
13．
【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积．
【详解】在正方体 中，
,
所以 ，
所以三棱锥 的表面积 ．
14．4
【分析】先用 表示 ， 代入表达式，结合 三点共线可得
，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】在 中，由 ，
又 ，所以 ，
所以
，
又 ，所以 ，
所以
又 D，E，F三点共线，且 在直线外，
所以有： ，且 ，
所以， ，
当且仅当 时，等式成立，
所以 的最小值为 4．
故答案为：4．
15．(1)
(2) .
【分析】（1）利用复数的除法运算以及实数的概念求解；
（2）利用复数的乘法运算化简，结合复数的几何意义求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 .
又因为 是实数，所以 ，所以 .
所以 .
（2）因为 ，
所以 .
又因为复数 在复平面内对应的点在第一象限，所以 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 .
16．（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【解析】(1)根据向量的坐标运算求解即可.
(2)分别求得 再利用平行的公式求解即可.
(3)根据平行与模长的公式列式求解 即可.
【详解】（1）∵ ,
∴ .
∴ 解得
（2）∵ ,∴ .
解得 .
（3）∵ , ,
∴
解得 或
∴ 或 .
【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算以及平行的与模长的公式,属于中等题型.
17．(1)3
(2)
【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径.
（2）根据三棱柱的体积公式求其体积.
【详解】（1）设圆柱的底面半径为 ，则圆柱的高为 .
由题意： .
即圆柱的底面半径为 3.
（2）因为 为等边三角形，且其外接圆半径为 3，
所以 ，
又三棱柱的高为 6，所以 .
18．(1)
(2)证明见解析
(3)点 为线段 的中点
【分析】（1）将 用基底 表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出 的
值；
（2）将向量 用基底 表示，利用平面向量数量积的运算性质计算 的值，
即可证得结论成立；
（3）设 ，其中 ，将 用基底 表示，利用平面向量的基本定
理可求出 的值，即可得出结论.
【详解】（1）因为 ，则 ，可得 ，
因为 ， ， ，
由平面向量数量积的定义可得 ，
所以，
.
（2）因为 为 的中点，则 ，
由平面向量数量积的定义可得 ，
所以， ，
又因为 、 均为非零向量，故 ，即 .
（3）因为点 在线段 上的一点，设 ，其中 ，
则 ，所以， ，
又因为 ，且 、 不共线，
所以， ，解得 ，此时，点 为线段 的中点.
19．(1)
(2)(i) (ii)
【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得 .
（2）(i)由 得 ，结合题意得 ，即可得到 ，由边角关系求得 ，
即求得 .
(ii)由条件得到边 的关系，以及角 的取值范围.然后由正弦定理求得 ，然后由角
的取值范围求得结果.
【详解】（1）∵ ，
由正弦定理可得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，即 ，
∵ ，∴ .
（2）(i)∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ .
∴ ，
∴
∴ .
(ii) ∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由∵点 在边 上且不包含端点，
∴ ，
在 中， ，
在 中由正弦定理可得 ，又∵ ，
∴
，
∵ ，则 ，∴ ，
∴ 的取值范围是 .2025-2026 学年第二学期半期考
高一数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
一、单选题（共 8 题，每题 5 分，共 40 分）
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， 为相互垂直的单位向量，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
3．已知 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的 3倍，圆锥的高与底面半
径之比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是 的斜二测直观图，其中 为正三角形， ，则
的面积是（ ）
A． B． C．2 D．
6．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得
名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如
图，计划在猫儿山的两个山顶 间架设一条索道．为测量 间的距离，工作人员在同
一水平面选取三个观测点 ，在 处测得山顶 的仰角分别为 和 ，测得两个
山顶的高分别为 ，且测得 ，则 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．在梯形 ABCD中， ， ， ，E为 的中点，F为
试卷第 1页，共 3页
上的动点（含端点），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．任何一个复数 z＝a＋b （其中 a、b∈R， 为虚数单位）都可以表示成：
的形式，通常称之为复数 z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以
上信息，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．
C．
D． 在复平面内对应的点的坐标在第三象限
二、多选题（共 3 小题，每题 6 分，共 18 分）
9．已知 i为虚数单位，复数 z满足 z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ）
A．复数 z的模为 B．复数 z的共轭复数为
C．复数 z的虚部为 D．复数 z在复平面内对应的点在第一象限
10．已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与 同向的单位向量为
C． 在 上的投影向量为
D．若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
11．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名
叫 ，于 1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个 的屋顶，得到圆锥 （其
中 为顶点， 为底面圆心），母线 的长为 10m，底面半径 长为 6m．下面说法正确的
是（ ）
A．圆锥 SO的高为 8m B．圆锥 SO的侧面积为
C．圆锥 SO的体积为 D．圆锥 SO外接球的表面积为
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三、填空题（共 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
12．已知复数 z满足 ，则 （ 是虚数单位）的最小值为______．
13．在棱长为 2的正方体 中，三棱锥 的表面积为__________．
14．如图，在 中， 为 BC边上一点，且 ．过 点的直线 与直线 相
交于 点，与直线 AC相交于 点（E，F两点不重合）．若
，则 的最小值为_______________．
四、解答题（共 5 小题，共 77 分）
15．（13分）已知复数 是实数， 是虚数单位．
(1)求复数 ；
(2)在复平面内，若复数 对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
16．（15分）平面内给定三个向量 ．
（1）求满足 的实数 m，n；
（2）若 ，求实数 k；
（3）设 满足 ，且 ，求 ．
17．（15分）如图，正三棱柱 内接于一个圆柱，圆柱的体积是 ，且底面直
径与母线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱 的体积．
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18．（17分）已知在 中， 为 中点， ， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)设 和 的夹角为 ，若 ，求证： ；
(3)若线段 上一动点 满足 ，试确定点 的位置.
19．（17分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
(1)求角 ；
(2)若 为边 上一点(不包含端点)，且满足 ，
(i) 若 ， 求 的长；
(ii) 求 的取值范围.
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