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陕西西安市铁一中学2025-2026学年八年级下学期数学第一次阶段学情自测
一、单选题
1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火 B．中国探月 C．中国火箭 D．中国行星探测
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．18
9．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可）
12．如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________．
13．若分式的值为零，则______．
14．如图；将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，则的度数为______．
15．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________．
三、解答题
16．因式分解：
(1)
(2)
17．解下列不等式（组）：
(1)；
(2)
18．如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：．
19．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出；
(2)画出关于原点中心对称的；
(3)直接写出的面积为______．
20．先化简，再求值：，其中满足．
21．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱．某水果超市为了解两种提子市场销售情况，花费420元购进了“青提”和“红提”各20千克供客户对比品尝，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
(1)求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元？
(2)若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的总费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元/千克，“青提”的销售单价为18元/千克，则该水果超市应如何进货，才能使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
23．问题探究：
(1)如图①，在和中，，，，求证：；
(2)如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：；
(3)问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长．
参考答案
1．C
【详解】解：只有选项C的图形能找到中心对称点，使图形绕该点旋转度后和原图形完全重合，
故选：C．
2．D
【详解】解：A．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
B．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
C．∵，
∴，则此项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，则此项正确，符合题意；
故选：D．
3．C
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、等式右边中的不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.
故选：C．
4．B
【详解】解：，，
，
是的平分线，，
，
点D在的垂直平分线上，
，
，
。
故选：B.
5．B
【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意；
B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意；
C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
6．B
【详解】解：根据题意得，．
故选：B．
7．B
【详解】解：由图像可知，一次函数与的图象交于点，
当时，，
故选：．
8．C
【详解】解：如图，过点E作，交于点D，如图所示：

∵点E在的平分线上，，
∴，，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的面积是，
故选：C．
9．A
【详解】解：当时，，
∴点的坐标为，
，
是以为底边的等腰三角形，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为.
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
故选： A．
10．D
【详解】解：连接，
，，O为的中点，
，，，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
．
故选：D
11．（答案不唯一，均可）
【详解】解：
系数化为得：
∵不等式的正整数解是
∴ ，
不等式两边同乘得：，
则满足条件的整数可以为．(答案不唯一，均可)．
12．
【详解】解：大长方形面积为，
故答案为：．
13．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且分母，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
/度
【详解】解：根据题意，，
∴，
∵，
∴ ．
15．
【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，

∵沿射线平移，得到，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，
∵是等边三角形，，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
（2）解：
解①，得，
解②，得，
∴原不等式组的解集为．
18．见解析
【详解】证明：，，
∴，
，
∴，即．
在和中，
，
∴．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：的面积为：．
20．，
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
21．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴
∴在中，．
22．(1)每千克“红提”9元，每千克“青提”12元
(2)超市应进“红提”10千克，“青提”30千克，最大利润为220元
【详解】（1）解：设每千克“红提”x元，每千克“青提”y元，
，
解得：，
答：每千克“红提”9元，每千克“青提”12元．
（2）解：设够买“红提”a千克，则够买“青提”千克，
，
解得：，
设获得利润为W，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W取最大值，此时，
∴超市应进“红提”10千克，“青提”30千克，最大利润为220元．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)的长为
【详解】（1）证明：，
，
在和中：
；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
；
如图，分别连接，，
点绕点逆时针旋转，得到点，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，
，
，
在和中：
，
；
，，
，
即，
是等边三角形，
；
（3）解：如图，以、为边作平行四边形，连接，
则，，，，
设，则，
，
，
又，
是等边三角形，
将绕点逆时针旋转得，连接，
是等边三角形，，，
，
，
，
即，
，
即的长为．

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