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辽宁省大连市2026年高三综合模拟考试
数学试卷
一、单选题
1．的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列，若，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．“的展开式中的系数为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示：
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
根据表中的数据得到y关于x的回归直线方程，则（ ）
A．y与x之间的相关系数
B．回归系数的意义是x增大一个单位，增大0.5个单位
C．第8年的利润一定为6.3亿元
D．第6年利润的残差为亿元
10．已知函数（，，）的图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则（ ）
A．
B．
C．将的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．当时，函数的值域为
11．在正四棱台中，，侧棱与底面所成角为，是的中点，动点满足（其中，），且，则（ ）
A． B．点轨迹的长度为
C．当线段的长度最大时，， D．当线段的长度最小时，，
三、填空题
12．已知幂函数的图象过点，则___________.
13．在中，已知．则______．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________.
四、解答题
15．在数列中，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
16．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点.
(1)求证：；
(2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同.
(1)若每次从A盒中任取1个球，记录颜色后放回A盒，共取球三次，求恰好有两次取出的球颜色相同的概率；
(2)现设计如下试验流程：每次从A盒中任取2个球，将取出的红球用B盒中的白球替换；取出的白球不进行替换，然后把得到的2个球放回A盒，记作一次试验结束.设两次试验结束后A盒中红球的个数为X，求X的分布列及数学期望.
18．已知抛物线（）的焦点为，准线为，直线与相交于两点，点.
(1)求的方程；
(2)若，求证：过定点；
(3)若线段的中点在直线上，求面积的最大值.
19．在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间x（单位：月）满足函数（），其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征.
已知函数在上可导，且满足：
①震荡性：在上无限次正负交替；
②衰减性：任意给定正实数m，存在实数n，使得当时，.则称为震荡衰减函数.
(1)求在内的极值点；
(2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数.如果是，给出证明；如果不是，说明理由；
(3)设（）.求证：无最大值.
参考答案及解析
1．B
解析：因为，
所以的虚部为.
2．A
解析：因为集合是函数的定义域，根据对数函数性质，得，即.
因为全集，由补集的定义得
3．C
解析：在等差数列中，，解得，
所以.
4．D
解析：因为双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为，
又双曲线经过点，所以，解得，
所以双曲线方程为，化为标准方程为.
5．B
解析：的展开式中的系数为，
若的系数为，则，故，
所以“的展开式中的系数为”推不出“”，
反之，若，则展开式中的系数为，
故“”能推出“的展开式中的系数为”，
故“的展开式中的系数为”是“”的必要不充分条件.
6．A
解析：由于，所以，
设分别是的中点，连接，则，
所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角），
在中，，
所以，
所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为.
7．D
解析：由图像可知函数关于原点对称，是奇函数，
对于选项C，，，
故是偶函数，不符合，排除C；
对于选项A，，求导得，
故在上单调递增，
不符合图像中时先增后减的趋势，排除A；
根据图像，极大值点在左侧，
对于选项B，，求导得，
令，得，
1
0
单调递增 单调递减
故的极大值点为，不符合图像，排除B.
8．A
解析：由，进而，
又在上，
故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方，
，
所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点
令， 即得，令，单调递增且，
所以，即切点横坐标为，切点为，
所以的最小值为.
9．ABD
解析：由可知y与x之间的相关系数，故A正确；
回归系数的意义是x增大一个单位，增大0.5个单位，故B正确；
将代入回归方程，得 ，
第8年的利润估计约为6.3亿元，第8年的利润不一定为6.3亿元，故C错误；
将代入回归方程，得 ，
由表可知实际值为5.2，残差为， 故D正确；
10．BC
解析：由函数的图象在y轴右侧的第一个最低点为，得，
又函数的图象过点，在y轴右侧的第一个零点为，
得此零点在的递减区间上，则周期，
对于A，，则，A错误；
对于B，由，得，而，则，B正确；
对于C，函数，
，此函数为偶函数，C正确；
对于D，当时，，，
因此函数的值域为，D错误.
11．ABC
解析：取的中点，则，由，，
所以，即，所以点在以为直径的球面上.
因为，，，所以点在以，为相邻两边的平行四边形及其内部.
取中点，连接，.

因为且，所以四边形为所求平行四边形.
将棱台补成正四棱锥，因为与底面成角为，所以是等腰直角三角形，
所以，即，故A选项正确；
因为棱锥是正四棱锥，所以平面，所以，
因为，所以，所以平行四边形为矩形.
因为，所以，因为平面，所以.
因为，所以，平面，所以平面.
由底面是边长为4的正方形，得，
再由是等腰直角三角形，得棱锥的侧棱，所以棱锥的侧面为正三角形，得.
取中点，连接，则球心为与的交点，且.
在中，，
所以球半径.
因为，所以平面，
所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆在矩形内部的弧（含端点）.
因为，，所以弧所对的圆心角为，
所以点轨迹的长度为，故B选项正确；
将平面延展，与交于点.
因为平面，所以，且是正三角形，
所以是的中点，得，.
所以线段长度最大时，线段长度最大，线段长度最小时，线段长度最小.
如图所示，在多边形中，，，

设，则.
中，，即在单调递增.
所以当时，最大时，点在上，此时为中点，所以，，故C选项正确；
当时，最小时，点在上，此时，，故D选项错误.
综上所述，ABC正确.
12．/0.25
解析：设幂函数，
因为的图象过点，
所以，
解得
所以，得
.
故答案为：
13．/
解析：在中，由正弦定理，可得：
因为，由二倍角公式得，
所以代入，得：
因为，故，
所以，即.
14．
解析：
解法一：设，因为，所以，
由圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，所以，，
因为，且，所以，
又因为，
所以，即，所以椭圆的离心率
因为函数在上，所以
即椭圆离心率的取值范围是.
解法二：切线长定理、向量条件
由椭圆定义求焦半径
根据椭圆定义，结合，解得，
应用切线长定理设圆与延长线切于，与延长线切于，与切于.
根据切线长定理：，，
设，.
从点出发的切线长
从点出发的切线长
由，得：
又在线段上，故.
联立方程，
解得
由，可知.
代入和得
整理得.
因此，离心率为
已知，则.
代入，得
解法三：旁切圆性质公式
确定旁切圆切点位置
圆是的一个旁切圆，与边相切.
对于三角形的旁切圆，其与一边的切点到对应顶点的距离公式为
代入，，得
结合向量条件，由得.
联立，整理得
因此离心率为，
已知，则，
代入，即椭圆的离心率取值范围是.
15．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为，
且，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得，.
所以.
所以
.
16．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）取AC中点E，连接，DE.
因为，，
所以为等边三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为D，E分别为AB，AC的中点，所以.
因为，所以.
因为，，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）由（1）得为二面角的平面角，
因为，
所以，所以，
所以.
中，，
所以△ABC是等腰直角三角形.
连接BE，以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.
，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，
即，
令，则，，
所以，.
设直线与平面所成角为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)分布列见解析，
解析：（1）记恰好有两次取出红球，恰好有两次取出白球，
从5个小球中任取一个球，为红球的概率是，为白球的概率是，
则两次取出的球颜色相同的概率为：
.
（2）的取值范围是.
，
，
，
.
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）由题意可知，，，
所以C的方程为.
（2）方法1：设，，由题意得l存在斜率，设l：，联立得，
令，则，
因为，
所以，即.
因为，，
所以，
整理得.
因为，所以，
所以，得.
所以，
所以直线过定点.
方法2：设，，由题意得l存在斜率，设l：，
因为，
所以，，即.
因为，，
所以，
即，
整理得，
因为，所以，所以，
所以，
所以直线过定点.
（3）方法1：设，，由题意得l存在斜率，
设l：，联立得，
令，则，
由中点在上，得.
所以，
点P到直线l的距离.
面积，.
令，则，.
所以，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，
即△PAB面积的最大值为.
方法2：设AB的中点为，，，则，.
因为，，所以，.
因为抛物线与直线交点为，，所以.
所以,
，
.
因为直线l的斜率，且经过点，
所以直线l的方程为，
即：，
所以点到直线的距离，
所以面积，.
令，则，.
则，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，
即△PAB面积的最大值为.

19．(1)极小值点为，极大值点为
(2)是，证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1），
令，得，又，所以，.
当时，；当时，，
所以为极小值点；
当时，，
所以为极大值点.
（2）由（1）可知，.
当（）时，.
当（）时，.
所以无限次正负交替，满足震荡性.
又因为，令，可得，
令.
则当时，，
所以函数满足衰减性.
综上所述，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数.
（3）因为（），.
所以（）.
显然.
因为
.
所以，若存在最大值点，则.
下面研究在上的单调性：
①当时，，则，
因为，，所以.
②当时，，
所以.
③当时，，
则，
其中为锐角，，所以.
令，则
当时，，
当时，.
因为为连续函数，所以结合①②③可知在单调递减，在单调递增，
在单调递减.
因为，，
，.
所以，
所以时，.
综上所述，在上无最大值.

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