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4月份数学月考 A卷
一．选择题（共 8小题）
1．若 ，则 x＝（ ）
A．2或 6 B．2或 3 C．3 D．6
2．设集合 A B，且 P（A）＝0.2，P（B）＝0.7，则 P（B|A）＝（ ）
A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2
3．我们称各个数位上的数字之和为 6的三位数为“吉祥数”，例如 105和 123，则所有的“吉祥数”共有
（ ）
A．21个 B．20个 C．19个 D．18个
4．在等差数列{an}中，Sn为其前 n项和，若 S4＝16，S8＝64，则 S12＝（ ）
A．112 B．128 C．144 D．160
5．已知（2+ax）（1+x）5的展开式中 x2的系数为 35，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A．﹣90 B．97 C．160 D．﹣145
6．离散型随机变量ξ的取值为 1，2，3，…，9，P（ξ＝k）＝ak（k＝1，2，3，…，9）．若数列{ak}为等差
数列，则 a5＝（ ）
A． B． C． D．
7． 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放 1个、2个、3个花盆，形
成三角形排列，其中有虚线连接的 2个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供
选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ）
A．18种 B．32种 C．54种 D．72种
二．多选题（共 3小题）
第 1页（共 13页）
（多选）9．已知 的展开式中第 3项与第 5项的系数之比为 3：14，则下列结论成立的是（ ）
A．n＝10
B．展开式中的常数项为 45
C．含 x5的项的系数为 210
D．展开式中的有理项有 5项
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A．将 5封信投入 3个邮筒，不同的投法共有 35种
B．有三张参观券，要在 5人中确定 3人去参观，不同方法的种数是
C．从 6男 4女中选 4人参加比赛，若 4人中必须有男有女，则共有 种选法
D．有 5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多
住两人，则不同的住宿安排有 72种
（多选）11．关于函数 ，下列判断正确的是（ ）
A．x＝1是 f（x）的极小值点
B．函数 y＝f（x）﹣x有且只有 1个零点
C．存在正实数 k，使得 y＝f（x）＞kx恒成立
D．对任意两个正实数 x1，x2，且 x2＞x1，若 f（x1）＝f（x2），则 x1+x2＞2
三．填空题（共 3小题）
12．已知随机变量 X服从两点分布，且 P（X＝0）＝2a，P（X＝1）＝a，那么 a＝ ．
13．已知数列{an}的通项公式为 ，前 n项和为 Sn，则 S6＝ ．
14．定义域为 R的函数 f（x），满足 f′（x）＞1，则关于 x的不等式 f（2x﹣1）＞f（x）+x﹣1的解集
为 ．
四．解答题（共 5小题）
15．3个女生（含甲）和 4个男生（含乙）排成一排．
（1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？
（2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？
（3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？
（4）如果选 2个女生和 2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？
16．已知数列{an}的前 n项和为 是首项和公差均为 1的等差数列．
第 2页（共 13页）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{bn}的前 n项和 Tn．
17．两台车床加工同样的零件，第一台车床出现不合格品的概率是 0.04，第二台车床出现不合格品的概率
是 0.08，将加工出来的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数量是第二台车床加工的零件数量的
2倍．
（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）若取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．
18．已知 f（x）＝（2x+3）n展开式的二项式系数和为 512，且（2x+3）n＝a +a （x+1）+a （x+1）20 1 2 +…+
an（x+1）n．
（1）求 a2的值；
（2）求 a1+a2+a3+…+an的值；
（3）求 f（20）除以 6的余数．
19．已知函数 f（x）＝lnx﹣ax．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若 f（x）≤0恒成立，求 a的取值范围；
（3）当 a＝1时，求证：f（x）＜ex+x﹣2．
第 3页（共 13页）
4月份数学月考 A卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A C C B C C
二．多选题（共 3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC ACD ABD
一．选择题（共 8小题）
1．若 ，则 x＝（ ）
A．2或 6 B．2或 3 C．3 D．6
【解答】解：根据题意，若 ，
则有 2x＝x+6或 2x+x+6＝12，
解得 x＝6或 2．
经检验均满足题意．
故选：A．
2．设集合 A B，且 P（A）＝0.2，P（B）＝0.7，则 P（B|A）＝（ ）
A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2
【解答】解：根据题意，因为 A B，且 P（A）＝0.2，则 P（AB）＝P（A）＝0.2，
故 ．
故选：A．
3．我们称各个数位上的数字之和为 6的三位数为“吉祥数”，例如 105和 123，则所有的“吉祥数”共有
（ ）
A．21个 B．20个 C．19个 D．18个
【解答】解：各个数位上的数字之和为 6的三位数为“吉祥数”，可有 1、1、4；1、5、0；1、2、3；2、
2、2；2、4、0；3、3、0；6、0、0；7个组合．
第 4页（共 13页）
1、1、4组合共有 3个；
1、5、0组合共有 4个；
1、2、3组合共有 6个；
2、2、2组合共有 1个；
2、4、0组合共有 4个；
3、3、0组合共有 2个；
6、0、0组合共有 1个；
则所有的“吉祥数”共有：3+4+6+1+4+2+1＝21个．
故选：A．
4．在等差数列{an}中，Sn为其前 n项和，若 S4＝16，S8＝64，则 S12＝（ ）
A．112 B．128 C．144 D．160
【解答】解：等差数列中，S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，
所以 2（S8﹣S4）＝S4+S12﹣S8，即 2×（64﹣16）＝16+S12﹣64，
解得 S12＝144．
故选：C．
5．已知（2+ax）（1+x）5的展开式中 x2的系数为 35，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A．﹣90 B．97 C．160 D．﹣145
【解答】解：在（1+x）5的展开式中，第 r+1项为 ，其中 r＝0、1、2、…、5，
其中第 2项为 T2 5x，第 3项为 T3 10x2，
所以在（2+ax）（1+x）5的展开式中，x2的系数为 5a+2×10＝35，解得 a＝3，
所以（2+ax）（1+x）5＝（2+3x）（1+x）5，
取 x＝1，可得展开式所有项的系数和为（2+3×1）（1+1）5＝5×32＝160．
故选：C．
6．离散型随机变量ξ的取值为 1，2，3，…，9，P（ξ＝k）＝ak（k＝1，2，3，…，9）．若数列{ak}为等差
数列，则 a5＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，离散型随机变量ξ的取值为 1，2，3，…，9，P（ξ＝k）＝ak（k＝1，2，3，…，
9）．
则 a1+a2+a3+……+a8+a9＝1，
第 5页（共 13页）
又由数列{ak}为等差数列，则 a1+a2+a3+……+a8+a9＝9a5＝1，则有 a5 ．
故选：B．
7． 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ，
所以原式整理得 ．
故选：C．
8．如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放 1个、2个、3个花盆，形
成三角形排列，其中有虚线连接的 2个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供
选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ）
A．18种 B．32种 C．54种 D．72种
【解答】解：记上层花盆为 A，中层花盆从左到右依次为 B1，B2，下层花盆从左到右依次为 C1，C2，C3
．
由题可知 A有 3种颜色可选，当 B1，B2同色时，有 2种颜色可选，C1，C2，C3各有 2种颜色可选，其
中 C1，C2，C3同色时有 2种颜色可选，
此时花盆摆放的不同方式有 3×2×（2×2×2﹣2）＝36种；
当 B1，B2不同色时，B1有 2种颜色可选，B2只有 1种颜色可选，则 C1有 2种颜色可选，C2只有 1种
颜色可选，C3有 2种颜色可选，其中 C1学 C2学 C3同色时只有 1种颜色可选，
此时花盆摆放的不同方式有 3×2×1×（2×1×2﹣1）＝18种．
综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有 36+18＝54种．
故选：C．
二．多选题（共 3小题）
（多选）9．已知 的展开式中第 3项与第 5项的系数之比为 3：14，则下列结论成立的是（ ）
A．n＝10
第 6页（共 13页）
B．展开式中的常数项为 45
C．含 x5的项的系数为 210
D．展开式中的有理项有 5项
【解答】解：二项式的展开式的通项为 ，
由于第 3项与第 5项的系数之比为 3：14，
则 ，解得 n＝10，故 A正确；
则 ，
令 ，解得 r＝8，
则展开式中的常数项为 ，故 B正确；
令 ，解得 r＝6，则含 x5的项的系数为 ，故 C正确；
令 ，则 k∈Z，则 r应该为偶数，此时 r＝0，2，4，6，8，10，故有 6项有理项．
故选：ABC．
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A．将 5封信投入 3个邮筒，不同的投法共有 35种
B．有三张参观券，要在 5人中确定 3人去参观，不同方法的种数是
C．从 6男 4女中选 4人参加比赛，若 4人中必须有男有女，则共有 种选法
D．有 5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多
住两人，则不同的住宿安排有 72种
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A，每封信有 3种投法，5封信的投法数为 3×3×3×3×3＝35，A正确．
对于 B，从 5人中选 3人，参观券无顺序差异，应使用组合数 ，而非排列数 ，B错误．
对于 C，需选“有男有女”的 4人，分 3种情况：1男 3女、2男 2女、3男 1女，对应选法为 、
、 ，C正确．
对于 D，5人住 3个房间（每间最多 2人），人数分配为 2，2，1．
①先分组：将 5人分为 2，2，1的三组，分法为 ；
第 7页（共 13页）
②安排房间：分组后分配到 3个房间，方法数为 ；
③减去甲乙同住的情况：甲乙在同一 2人组，剩余 3人分为 2，1，分法为 ，分配房间数为
；
最终符合条件的安排数为 90﹣18＝72，D正确．
故选：ACD．
（多选）11．关于函数 ，下列判断正确的是（ ）
A．x＝1是 f（x）的极小值点
B．函数 y＝f（x）﹣x有且只有 1个零点
C．存在正实数 k，使得 y＝f（x）＞kx恒成立
D．对任意两个正实数 x1，x2，且 x2＞x1，若 f（x1）＝f（x2），则 x1+x2＞2
【解答】解：A：函数 f（x）的定义域为（0，+∞）， ，
当 x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴x＝1是 f（x）的极小值点，即 A正确；
B： ，
∴ ，函数 g（x）在（0，+∞）上单调递减，且 g（1）＝0，
∴函数 y＝f（x）﹣x有且只有 1个零点，即 B正确；
C：若 f（x）＞k恒成立，即 恒成立．
令 ，则 ，
令 h（x）＝x﹣xlnx﹣2，则 h（x）＝﹣lnx，
当 x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当 x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
∴在 x∈（0，1）上，函数 h（x）单调递增，x∈（1，+∞）上，函数 h（x）单调递减，
∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴ 在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
当 x→+∞时，g（x）→0，
∴不存在正实数 k，使得 f（x）＞kx恒成立，即 C不正确；
第 8页（共 13页）
D．由单调性可知，x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），
令 t∈（0，1），则 1﹣t∈（0，1），1+t＞1，
令 ，
则 ，
∴g（t）在（0，1）上单调递减，则 g（t）＜g（0）＝0，
∴t∈（0，1）时，f（1﹣t）＞f（1+t），
令 x1＝1﹣t，由 f（x1）＝f（x2）＞f（1+t），得 x2＞1+t，
则 x1+x2＞1﹣t+1+t＝2，故 D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共 3小题）
12．已知随机变量 X服从两点分布，且 P（X＝0）＝2a，P（X＝1）＝a，那么 a＝ ．
【解答】解：由题意可知 P（X＝0）+P（X＝1）＝2a+a＝1，解得 ．
故答案为： ．
13．已知数列{an}的通项公式为 ，前 n项和为 Sn，则 S6＝ 147 ．
【解答】解：由数列{an}的通项公式为 ，前 n项和为 Sn，
可得
．
故答案为：147．
14．定义域为R的函数 f（x），满足 f′（x）＞1，则关于 x的不等式 f（2x﹣1）＞f（x）+x﹣1的解集为 （1，
+∞） ．
【解答】解：令 g（x）＝f（x）﹣x，求导得 g′（x）＝f′（x）﹣1，
又 f′（x）＞1，因此 g′（x）＞0，因此 g（x）在 R上单调递增．
由 f（2x﹣1）＞f（x）+x﹣1，得 f（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＞f（x）﹣x，
因此 2x﹣1＞x，解得 x＞1，
因此 f（2x﹣1）＞f（x）+x﹣1的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
四．解答题（共 5小题）
第 9页（共 13页）
15．3个女生（含甲）和 4个男生（含乙）排成一排．
（1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？
（2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？
（3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？
（4）如果选 2个女生和 2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？
【解答】解：（1）3个女生（含甲）和 4个男生（含乙）排成一排．∵甲必须排在中间，只有 1种排法，
其他 6人全排列，排法有 种，
故甲必须排在中间的排法有 720种．
（2）3个女生（含甲）和 4个男生（含乙）排成一排．将 3个女生看成一个整体，与 4个男生全排列，
此时相当于 5个元素全排列，有 种，
3个女生内部全排列有 种，
故女生必须全排在一起有 120×6＝720种．
（3）7人全排列，排法有 种，
将女生甲和男生乙看作一个整体，与其余 5人全排列，此时相当于 6个元素全排列，有 种，
女生甲和男生乙内部交换位置有 种，故女生甲和男生乙相邻的排法有 720×2＝1440种，
故女生甲和男生乙不能相邻的排法有 5040﹣1440＝3600种．
（4）从 3个女生中选出 2个的选法有 种，从 4个男生中选出 2个的选法有 种，
选 2个女生和 2个男生的选法有 3×6＝18种，
将选出的 4人全排列有 种，
故选 2个女生和 2个男生去高一年级四个班作演讲有 18×24＝432种．
16．已知数列{an}的前 n项和为 是首项和公差均为 1的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{bn}的前 n项和 Tn．
【解答】解：（1）由题意得 ，则 ，
当 n＝1时，a1＝1，
当 n≥2时， ，
第 10页（共 13页）
因为 a1＝1满足上式，
所以数列{an}的通项公式 an＝2n﹣1．
（2）由（1）得： ，
所以 ．
17．两台车床加工同样的零件，第一台车床出现不合格品的概率是 0.04，第二台车床出现不合格品的概率
是 0.08，将加工出来的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数量是第二台车床加工的零件数量的
2倍．
（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）若取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．
【解答】解：（1）设 Ai表示“第 i台机床加工的零件”（i＝1，2），B表示“出现不合格品”；C表示“出
现合格品”，
则 ， ， ，
， ，
所以 P（C）＝P（A1）P（C|A1）+P（A2）P（C|A2） ；
（2）由（1）得， ，
．
18．已知 f（x）＝（2x+3）n展开式的二项式系数和为 512，且（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a 22（x+1） +…+
a （x+1）nn ．
（1）求 a2的值；
（2）求 a1+a2+a3+…+an的值；
（3）求 f（20）除以 6的余数．
【解答】解：（1）因为（2x+3）n展开式的二项式系数和为 512，
所以 2n＝512，
解得 n＝9，
又因为（2x+3）9＝[2（x+1）+1]9，
所以 a2 144；
（2）令 x+1＝0，即 x＝﹣1，可得 ，
第 11页（共 13页）
令 x+1＝1，即 x＝0，可得 ，
所以 ；
（3）由 f（x）＝（2x+3）9，可得 ，
因为 能被 6整除，
所以 f（20）除以 6的余数为 1．
19．已知函数 f（x）＝lnx﹣ax．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若 f（x）≤0恒成立，求 a的取值范围；
（3）当 a＝1时，求证：f（x）＜ex+x﹣2．
【解答】解：（1）由题 ，
当 a≤0时，f′（x）＞0，因此 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当 a＞0时，令 f′（x）＞0，解得 单调递增，
令 f′（x）＜0，解得 单调递减，
因此，当 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当 a＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）当 a＝0时，f（x）＝lnx，不合题意，舍去，
当 a＜0时，f（1）＝﹣a＞0，不合题意，舍去，
当 a＞0时，由（1）知 f（x）的最大值为 ，
由已知 ，解得 a的取值范围为[ ）；
（3）证明：由（2）可得，当 a＝1时，f（x）＝lnx﹣x≤f（1）＝﹣1，
因此 lnx﹣x≤﹣1（当且仅当 x＝1取等号）．
设 h（x）＝ex﹣x，则 h′（x）＝ex﹣1，
由 h′（x）＞0 x＞0；由 h′（x）＜0 x＜0．
因此 h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且 h（0）＝1．
因此 ex﹣x≥1 ex≥x+1（当且仅当 x＝0取等号）．
因此 ex+x﹣2≥2x﹣1＞﹣1（x＞0），
第 12页（共 13页）
因此 ex+x﹣2＞f（x）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 0 2 6 /4 /1 6 9 :4 9 :2 5；用户：程永雷；邮箱：1 5 8 9 6 7 3 3 1 9 6；学号：4 1 0 8 1 2 7 1
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