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第二十一章 四边形
21.3.2 菱形（第2课时）
1．掌握菱形的判定定理；
2．能综合运用平行四边形与菱形的知识进行判定；
3．能解决菱形判定的综合问题．
1．说一说菱形的定义？
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
2．说一说菱形的性质？
（1）角：菱形的对角相等．
（2）边：菱形对边平行且四条边都相等．
（3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
（4）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴．
接下来研究菱形的判定．由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除了此方法，还有没有其他判定方法呢？
与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立．
思考1：我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
你能证明这个猜想吗？
已知：在平行四边形 ABCD 中，AC⊥BD．
求证：平行四边形 ABCD 是菱形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB＝OD．
∵AC⊥BD，
∴BA＝AD．
∴平行四边形 ABCD 是菱形．
即：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
菱形的判定定理1：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
符号语言：
在平行四边形ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
思考2：我们知道，菱形是四条边相等的四边形．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形．
你能证明这个猜想吗？
已知：在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝DA．
求证：四边形 ABCD 是菱形．
证明：∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵AB＝BC，
∴平行四边形 ABCD 是菱形．
即：四条边相等的四边形是菱形．
菱形的判定定理2：
四条边相等的四边形是菱形．
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形．
菱形的判定方法
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）边：四条边相等的四边形是菱形．
例：如图所示，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形．由题意可知AO＝CO，还需证明EO＝FO．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF．
∴∠1＝∠2．
又∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF．
∴EO＝FO．
∴四边形AFCE是平行四边形．
又AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗？
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
菱形的判定
边
定义法
对角线
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边相等的四边形是菱形
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十二课时《21.3.2 菱形（第2课时） 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是特殊平行四边形知识体系的重要组成部分，承接菱形的定义与性质，是平行四边形判定方法的延伸与拓展，也是后续学习正方形判定的基础．本节课通过探究菱形性质的逆命题，推导并证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”“四条边相等的四边形是菱形”等判定定理，既是对平行四边形判定方法的深化，也是对全等三角形、垂直平分线性质等知识的综合运用，为解决菱形相关的几何证明、实际应用问题提供了新的工具．通过本节课的学习，学生能进一步完善特殊平行四边形的知识体系，掌握“性质—逆命题—证明—判定”的几何探究方法，体会类比、转化的数学思想，提升逻辑推理与综合应用能力，在初中几何教学中起到承上启下、巩固提升的关键作用．
学习者分析 学生已掌握平行四边形的判定、菱形的定义与性质，具备一定的几何推理、逻辑证明能力，对“性质与判定互逆”的探究方法有初步认知．但学生对菱形判定定理的理解不够深入，易混淆菱形与平行四边形、矩形的判定条件，在综合运用平行四边形与菱形的知识解决判定问题时，难以快速选择合适的判定路径，部分学生对证明过程中条件的组织、推理的严谨性把握不足，需要教师通过对比辨析、例题引导，帮助学生梳理思路，提升知识的综合应用能力．
教学目标 1．掌握菱形的判定定理； 2．能综合运用平行四边形与菱形的知识进行判定； 3．能解决菱形判定的综合问题．
教学重点 掌握菱形的判定定理，能运用定理判定一个四边形或平行四边形为菱形．
教学难点 综合运用平行四边形与菱形的知识，灵活选择判定方法解决复杂几何证明问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握菱形的判定定理； 2．能综合运用平行四边形与菱形的知识进行判定； 3．能解决菱形判定的综合问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说菱形的定义？ 答案：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 2．说一说菱形的性质？ 答案：（1）角：菱形的对角相等． （2）边：菱形对边平行且四条边都相等． （3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． （4）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴． 导言：接下来研究菱形的判定．由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习菱形的定义和性质，为探究菱形的判定做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考1：我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 追问：你能证明这个猜想吗？ 已知：在平行四边形 ABCD 中，AC⊥BD． 求证：平行四边形 ABCD 是菱形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD． ∵AC⊥BD， ∴BA＝AD． ∴平行四边形 ABCD 是菱形． 即：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 归纳：菱形的判定定理1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 思考2：我们知道，菱形是四条边相等的四边形．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形． 追问：你能证明这个猜想吗？ 已知：在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝DA． 求证：四边形 ABCD 是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵AB＝BC， ∴平行四边形 ABCD 是菱形． 即：四条边相等的四边形是菱形． 归纳：菱形的判定定理2： 四条边相等的四边形是菱形． 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形． 归纳：菱形的判定方法 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）边：四条边相等的四边形是菱形． 例：如图所示，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． 求证：四边形AFCE是菱形． 分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形．由题意可知AO＝CO，还需证明EO＝FO． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF． ∴∠1＝∠2． 又∠AOE＝∠COF，AO＝CO， ∴△AOE≌△COF． ∴EO＝FO． ∴四边形AFCE是平行四边形． 又AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形． 追问：你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗？学生活动3： 学生先独立思考，然后小组合作探究并班内交流，并听老师的点评和讲解活动意图说明： 以菱形性质的逆命题为切入点，引导学生猜想并证明菱形的判定定理，渗透类比思想，完善特殊平行四边形判定体系；例题结合平行四边形背景，训练学生综合运用多种判定方法解决问题的能力，强化定理应用，落实几何推理核心素养环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.3.2菱形（第2课时）菱形的判定方法 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）边：四条边相等的四边形是菱形．教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形为菱形的是（　 ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是___________．（写出符合题意的一个条件即可） 答案：（答案不唯一） 3．如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 选做题： 4．如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点E，连接、、，与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，过上一点作，交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 证明：（1）， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）四边形是菱形，理由如下： ， ． ， ， ， ， 点为的中点， ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 答案：③ 3．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ,，， ， 平行四边形是菱形． 选做题： 4．如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类作业】 5．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，，平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)是直角三角形，，求的度数． 解：（1）， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形， ， 又 是直角三角形， ， 由（1）知， ， 是的外角， ．
教学反思 本节课通过逆命题探究、定理证明与例题应用，多数学生能掌握菱形的判定定理．但部分学生易混淆菱形与矩形的判定条件，综合运用多种判定方法解决问题时思路不清晰，证明步骤的严谨性不足．后续需加强判定条件的对比辨析，强化证明过程的规范训练，增加变式练习，引导学生梳理判定思路，提升逻辑推理与知识迁移能力，落实几何核心素养．
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同步探究学案
课题 21.3.2 菱形（第2课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握菱形的判定定理； 2．能综合运用平行四边形与菱形的知识进行判定； 3．能解决菱形判定的综合问题．
重点 掌握菱形的判定定理，能运用定理判定一个四边形或平行四边形为菱形．
难点 综合运用平行四边形与菱形的知识，灵活选择判定方法解决复杂几何证明问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说菱形的定义？ 2．说一说菱形的性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助菱形的定义和性质，研究菱形的判定。 思考1：我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 猜想：对角线____________的平行四边形是菱形． 请你证明这个猜想． 已知：在平行四边形 ABCD 中，AC⊥BD． 求证：平行四边形 ABCD 是菱形． 归纳：菱形的判定定理1：对角线___________的平行四边形是菱形． 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥______， ∴平行四边形ABCD是______． 思考2：我们知道，菱形是四条边相等的四边形．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？ 猜想：四条边________的四边形是菱形． 请你证明这个猜想． 已知：在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝DA． 求证：四边形 ABCD 是菱形． 归纳：菱形的判定定理2：四条边________的四边形是菱形． 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵AB＝BC＝CD＝____， ∴四边形ABCD是______． 归纳：菱形的判定方法 （1）定义法：有一组邻边________的平行四边形是菱形． （2）对角线：对角线_________的平行四边形是菱形． （3）边：四条边________的四边形是菱形． 例：如图所示，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． 求证：四边形AFCE是菱形． 分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形．由题意可知AO＝CO，还需证明EO＝FO． 问题：你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形为菱形的是（　 ） A． B． C． D． 2．如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是___________．（写出符合题意的一个条件即可） 3．如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 选做题： 4．如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点E，连接、、，与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，过上一点作，交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 3．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 选做题： 4．如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，，平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)是直角三角形，，求的度数．
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