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21.3.2 菱形（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．添加下列一个条件，能使成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列四边形中，为菱形的是（ ）
A．一组邻边相等，一组对角相等
B．一组邻边相等，对角线互相垂直
C．一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角
D．一组邻边相等，另一组邻边也相等
3．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
6．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可）
7．如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形．
8．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则____．
9．如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ．
10．如图，在中，，，，的平分线交于点G，于点O，交于点F，连接，，则四边形的面积为_____ ．
三、解答题
11．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形．
12．如图，在矩形边上取一点C使，过点作，交的延长线于点B，垂足为点O，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，求线段的长．
答案与解析
21.3.2 菱形（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．添加下列一个条件，能使成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：A、添加，对边相等，不能使成为菱形；
B、添加，对角线相等，能使成矩形，不能使成为菱形；
C、添加，有一个内角是直角，能使成矩形，不能使成为菱形；
D、添加，邻边相等，能使成为菱形．
2．在下列四边形中，为菱形的是（ ）
A．一组邻边相等，一组对角相等
B．一组邻边相等，对角线互相垂直
C．一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角
D．一组邻边相等，另一组邻边也相等
【答案】C
【解析】本题主要考查了菱形的判定，如四条边都相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，熟练运用菱形的各种判定方法是解题关键．
利用菱形的判定定理逐项分析即可．
解：A、一组邻边相等，一组对角相等的四边形不是菱形，此选项错误，不符合题意；
B、一组邻边相等，对角线互相垂直，不是菱形，此选项错误，不符合题意；
C、一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角，那么这个四边形的四条边都相等，这个四边形是菱形，此选项正确，符合题意；
D、一组邻边相等，另一组邻边也相等的四边形不是菱形，此选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案．
解：由作图方法可得，
∴四边形是菱形，，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
4．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键．
先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长．
解：如图，过点作于点E，于点F，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形的周长为．
故选：．
5．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由四边形是矩形，得，由翻折的性质可知，，即知，从而，四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形；当，重合时，设，根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论．
解：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
当，重合时，如图：
设，
在中，
，
，
，即，
，，，
，
，
．
二、填空题
6．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可．
解：添加条件，那么为菱形．理由：
∵四边形是平行四边形，，
∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
7．如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形．
【答案】菱
【解析】利用勾股定理求出，再根据菱形的判定定理进行解答即可．
解：由于每个小正方形的边长均为1，
则，
因此，四边形是菱形．
8．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则____．
【答案】
【解析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：63．
9．如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ．
【答案】
【解析】过点作于点，根据平行四边形的性质求出，，根据勾股定理逆定理求出，即可判定四边形 是菱形，根据菱形的性质求出，再根据三角形面积公式求解即可．
解：如图，过点作于点，
由题意知，
，，
∵ ，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴平行四边形 是菱形，
∴，
∵，
∴，
即点 O 到的距离为．
10．如图，在中，，，，的平分线交于点G，于点O，交于点F，连接，，则四边形的面积为_____ ．
【答案】
【解析】由，，得，所以，由，得，由的平分线交于点，于点，交于点F，得，，可证明，得，则垂直平分，所以，，可推导出，则，进而证明四边形是菱形，推导出，则，求得，于是得到问题的答案．
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵的平分线交于点G，于点O，交于点F，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题
11．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形．
【答案】见详解
【解析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可．
证明：四边形是矩形
,
四边形，四边形都是平行四边形
四边形是平行四边形
四边形是菱形．
12．如图，在矩形边上取一点C使，过点作，交的延长线于点B，垂足为点O，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)线段的长为
【解析】（1）先推导出，，得到证明出，可得到，即可证明平行四边形是菱形．
（2）先求出，，，，根据勾股定理，得到，，可求出．
证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，即．
∴．
∵，
∴．
∴
∵
∴，
在和中，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）∵四边形是矩形，
∴．
∴，
在中， ．
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
在中，
．
∴．
在中，
．
∵四边形是菱形，
∴O为的中点．
∴．
答：线段的长为．
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