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第八章　立体几何初步　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时,只需连接对“脚”,得到两条线段,看它们是否相交,就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是 (　　)
A.两条相交直线确定一个平面
B.两条平行直线确定一个平面
C.四点确定一个平面
D.直线及直线外一点确定一个平面
2.菱形ABCD在平面α内,PC⊥α,则PA与对角线BD的位置关系是 (　　)
A.平行　 B.相交但不垂直
C.相交垂直　 D.异面垂直
3.若水平放置的四边形AOBC按斜二测画法得到如图1所示的直观图,其中A'C'∥O'B',A'C'⊥B'C',A'C'=1,O'B'=2,则原四边形中AO的长度为 (　　)
图1
A. B.2 C.2 D.
4.某圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为120°的扇形,则该圆锥的体积为 (　　)
A.4π B.π C.2π D.π
5.如图2,在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则异面直线EF与CD所成的角是 (　　)
图2
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图3(1)所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图3(2)).假设内壁表面光滑,其内壁表面积为S cm2,半球的半径为R cm.当这种酒杯内壁表面积S为定值时,若要使酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值范围为 (　　)
（1） (2)
图3
A.(0,] B.[,+∞)
C.[,) D.(,]
7.刍甍是中国古代算数中的一种几何体,其结构特征是:底面为长方形,上棱和底面平行,且长度不等于底面中平行的棱长的五面体,是一个对称的楔形体,如图4所示.已知一个刍甍底面长方形长为4,宽为3,上棱长为2,高为2,则该刍甍的表面积是 (　　)
图4　　　
A.27+3 B.42+3 C.27+3 D.42+6
8.已知三棱锥P-ABC的底面是正三角形,PA=a,点A在侧面PBC内的射影H是△PBC的垂心,当三棱锥P-ABC的体积最大时,三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 (　　)
A.4a2 B.3πa2 C.πa2 D.12a2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.a,b为不重合直线,β为平面,下列结论正确的是 (　　)
A.若a⊥β,b⊥β,则a∥b
B.若a∥β,b∥β,则a∥b
C.若a∥β,b⊥β,则a⊥b
D.若a∥β,b β,则a∥b
10.如图5,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,则下列结论中正确的是 (　　)
A.PC∥平面OMN
B.平面PCD∥平面OMN
C.OM⊥PA
D.直线PD与直线MN所成角的大小为90°
图5 图6
11.如图6,矩形ABCD中,M为BC的中点,将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M,连接B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.存在某个位置,使得CN⊥AB1
B.翻折过程中,NC的长是定值
C.若AB=BM,则AM⊥B1D
D.若AB=BM=1,当三棱锥B1-AMD的体积最大时,三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.如图7,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E是SA上一点,当SE∶SA=　　　　时,SC∥平面EBD.
图7
13.在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA⊥PD,AD=2,AB=4,则异面直线PA与CD所成角的大小为　　　　;四棱锥P-ABCD外接球的表面积为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
14.已知三棱锥P-ABC的体积为8,且AB=6,AC=BC=AP=BP=5,则CP的长为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图8所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
求证:(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
图8
16.(15分)如图9,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上的点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)求证:GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
图9
17.(15分)如图10,平行四边形ABCD的边AD所在的直线与菱形ABEF所在的平面垂直,且GB=GE,AE=AF.
(1)求证:平面ACG⊥平面ADF;
(2)若AF=2,　　　　,求二面角C-AG-F的余弦值.从①BC=AB,②BC=AG这两个条件中任选一个填入上面的横线上,并解答问题.
注:若选择多个条件分别进行解答,则按第一个解答计分.
图10
18.(17分)如图11,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A'DE,使平面A'DE⊥平面EBCD,F为线段A'C的中点.
(1)求证:BF∥平面A'DE;
(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A'DE所成的角的大小.
图11
19.(17分)如图12,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,M为棱AC的中点.AB=BC,AC=2,AA1=.
(1)求证:B1C∥平面A1BM.
(2)求证:AC1⊥平面A1BM.
(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C 如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.
图12
第八章　立体几何初步　单元测试卷　参考答案
1.A　连接对“脚”形成两条线,当它们相交时,根据“两条相交直线确定一个平面”就知道四个“脚”位于同一个平面,也就是椅子合格.
2.D　∵PC⊥平面α,BD 平面α,∴PC⊥BD.又在菱形ABCD中,AC⊥BD,PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.又PA 平面PAC,∴BD⊥PA.显然PA与BD异面,故PA与BD异面垂直.
3.B　根据题意,作A'D⊥x'轴,与x'轴交于点D,
又A'C'∥O'B',A'C'⊥B'C',A'C'=1,O'B'=2,
则O'D=O'B'-A'C'=2-1=1,又∠A'O'B'=45°,则A'D=O'D=1,故O'A'==,
则原四边形AOBC中,OA=2O'A'=2.
4.D　因为圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为120°的扇形,所以该扇形的弧长为×3=2π.
设圆锥的底面半径为r,则2πr=2π,解得r=1,
因为圆锥的母线长为3,所以圆锥的高为h==2,
故该圆锥的体积为πr2h=π×12×2=π.
5.A　取AD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别是AC,BD的中点,所以EG=CD,FG=AB,又CD=2AB=4,所以EG=2FG=2,∠FEG为EF与CD所成的角(或其补角).
因为EF⊥AB,所以EF⊥FG,所以∠FEG=30°.
6.C　设圆柱的高度为h,
则表面积S=2πR2+2πRh,故πRh=-πR2,
所以酒杯的容积V=πR3+πR2h=-πR3+R≤πR3,所以≤πR2,
又 -πR2>0,所以πR2<≤πR2,
解得≤R<.
故R的取值范围为[,).
图D 1
7.A　根据题意,如图D 1所示,刍甍的底面为长方形ABCD,AB=4,BC=3,则其面积S1=4×3=12.
因为刍甍为对称的楔形体,所以四个侧面分别为等腰△ADE,等腰△BFC,等腰梯形ABFE和等腰梯形CDEF.
过点F作FH⊥底面ABCD,则FH=2.
在△BFC中,过F作FN⊥BC,交BC于点N,连接HN,则斜高FN==,则其面积S2=×3×=,
同理,△ADE的面积S3=.
梯形ABFE中,EF=2,AB=4,过E作EG⊥底面ABCD,EM⊥AB,连接MG,则斜高EM=,则其面积S4=×(2+4)×=,
同理,梯形CDEF的面积S5=,
则该刍甍的表面积S=12+×2+×2=27+3.
图D 2
8.B　如图D 2,延长PH交BC于D,连接AD,∵H是△PBC的垂心,∴BC⊥PD,
连接AH,则AH⊥平面PBC,又BC 平面PBC,
∴AH⊥BC,
又AH 平面PAD,PD 平面PAD,AH∩PD=H,
∴BC⊥平面PAD,又AD 平面PAD,∴BC⊥AD.
连接BH并延长交PC于E,则BE⊥PC.连接AE,
由AH⊥平面PBC,PC 平面PBC,可得AH⊥PC,
又BE⊥PC,AH∩BE=H,
∴PC⊥平面ABE,AB 平面ABE,∴AB⊥PC.
设P在平面ABC上的射影为O,连接PO,则PO⊥平面ABC,连接CO并延长交AB于F,连接PF.
∵PO⊥AB,PC∩PO=P,∴AB⊥平面PCF.
∴PF⊥AB,CF⊥AB.
又△ABC为正三角形,∴O是△ABC的中心,F是AB的中点,
∴PB=PA=PC=a,
则当PA,PB,PC两两垂直时,三棱锥P-ABC体积取得最大值.
将PA,PB,PC作为正方体的相邻的三条棱,将三棱锥P-ABC补成正方体,则其外接球的直径即为正方体的体对角线长,
∴三棱锥P-ABC的外接球的半径R满足(2R)2=a2+a2+a2=3a2,解得R=a,
故外接球的表面积为S=4πR2=4π×a2=3πa2.
9.AC　若a⊥β,b⊥β,由直线与平面垂直的性质可得a∥b,故A正确;
若a∥β,b∥β,则a∥b或a与b相交或a与b异面,故B错误;
若b⊥β,则b垂直于β内的所有直线,b也垂直于平行于β的所有直线,又a∥β,可得a⊥b,故C正确;
若a∥β,b β,则a∥b或a与b异面,故D错误.故选AC.
10.ABC　连接AC,易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,故A正确.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,故B正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,故C正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角,即∠PDC.又△PDC为等边三角形,所以∠PDC=60°,故D错误.
11.BD　对于A,如图D 3,取AD中点E,连接EC交MD于F,连接NE,NF,则NE∥AB1,NF∥MB1,∵∠AB1M=∠ABM=90°,∴可得到EN⊥NF,
如果CN⊥AB1,则EN⊥CN,且三线NE,NF,NC共面共点,这是不可能的,故A错误.
对于B,如图 D 3,易得∠NEC=∠MAB1(定值),NE=AB1(定值),EC=AM(定值),
在△NEC中,由余弦定理可得NC2=NE2+EC2-2NE·ECcos∠NEC,∴NC的长是定值,故B正确.
图D 3
图D 4
对于C,如图D 4,取AM中点O,连接B1O,DO,假设AM⊥B1D成立,由AB=BM知B1O⊥AM,易得AM⊥平面ODB1,即可得OD⊥AM,从而AD=MD,由题意不成立,故C错误.
对于D,当平面B1AM⊥平面AMD 时,三棱锥B1-AMD的体积最大,易得AD的中点H就是三棱锥B1-AMD外接球的球心,球半径为1,表面积是4π,故D正确.故选BD.
12.1∶2　连接AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴点O是AC的中点.
∵SC∥平面EBD,且平面EBD∩平面SAC=EO,∴SC∥EO,
∴点E是SA的中点,此时SE∶SA=1∶2.
图D 5
13.90°　20π　由题意知,该四棱锥可补形为如图D 5所示的长方体.
易知CD⊥平面PAD,CD⊥PA,故异面直线PA与CD所成角的大小为90°.
连接BD,如图D 5,易知BD为四棱锥P-ABCD的外接球的直径,设外接球半径为R,则(2R)2=42+22=20,
所以外接球表面积为20π.
14.4或4　如图D 6,取 AB的中点D,连接PD,CD,易知AB⊥CD,AB⊥PD,
图D 6
又PD∩CD=D且PD,CD 平面PCD,所以 AB⊥平面 PDC.
因为AB 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面PCD,
那么P点到CD的距离即P点到平面ABC的距离.
依题意可得CD==4,
PD==4,S△ABC=AB·CD=12,
所以V三棱锥P-ABC=S△ABC·PDsin∠PDC=8,
解得sin∠PDC=,所以cos∠PDC=±,
在△PDC中,由余弦定理可得cos∠PDC=,解得CP=4或CP=4.
图D 7
15.(1)如图D 7,连接EF,CD1,BA1.
因为E,F分别是AB,AA1的中点,
所以EF∥BA1.又BA1∥CD1,所以EF∥CD1.
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF由P在直线CE上,CE 平面ABCD,得P在平面ABCD内.
同理,得P在平面ADD1A1内.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P在直线DA上.
所以CE,D1F,DA三线共点.
16.(1)因为BC∥平面GEFH,BC 平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC.所以GH∥EF.
(2)如图D 8,连接AC,BD,设交点为O,并设BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,
同理可得PO⊥BD.
图D 8
又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD内,所以PO⊥平面ABCD.
又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO 平面GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥平面ABCD,从而GK⊥EF,所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2,得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.
由PO∥GK,得GK=PO,
则G是PB的中点,且GH=BC=4.
由已知可得OB=4,PO===6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S=×GK=×3=18.
17.(1)∵AE=AF,∴AE=AB=EB,∴△ABE是等边三角形.
∵GB=GE,∴G为BE中点,故AG⊥BE,∴AG⊥AF.
∵AD⊥平面ABEF,∴AD⊥AG.
∵AF∩AD=A,∴AG⊥平面ADF.
∵AG 平面ACG,∴平面ACG⊥平面ADF.
(2)选①.由(1)知AG⊥平面ADF,
∵BC∥AD,BE∥AF,BC∩BE=B,
∴平面BCE∥平面ADF,∴AG⊥平面BCE.
∵CG 平面BCE,GE 平面BCE,∴AG⊥CG,AG⊥GE,
∴∠CGE是二面角C-AG-F的平面角.
∵BC=AB=2,BG=1,
∴CG=3,∴cos∠CGB=,∴cos∠CGE=-,
∴二面角C-AG-F的余弦值为-.
选②.由(1)得AG⊥平面ADF,
∵BC∥AD,BE∥AF,BC∩BE=B,
∴平面BCE∥平面ADF,∴AG⊥平面BCE.
∵CG 平面BCE,GE 平面BCE,∴AG⊥CG,AG⊥GE,
∴∠CGE为二面角C-AG-F的平面角.
∵BC=AG=,BG=1,∴CG=2,∴cos∠CGB=,
∴cos∠CGE=-,∴二面角C-AG-F的余弦值为-.
18.(1)取A'D的中点G,连接GF,GE.
由已知易得FG=CD,且FG∥CD.
又BE=CD,且BE∥CD,所以FG∥BE且FG=BE.
所以四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.
因为EG 平面A'DE,BF 平面A'DE,
所以BF∥平面A'DE.
(2)在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,连接CE,A'M.
因为∠ABC=120°,所以在△BCE中,可得CE=a.
在△ADE中,可得DE=a.
在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.
在正三角形A'DE中,M为DE的中点,所以A'M⊥DE.
由平面A'DE⊥平面EBCD,且平面A'DE∩平面EBCD=DE,A'M 平面A'DE,可知A'M⊥平面EBCD,所以A'M⊥CE.
取A'E的中点N,连接NM,NF,则NF∥CE,
所以NF⊥DE,NF⊥A'M.
因为DE∩A'M=M,所以NF⊥平面A'DE,
则∠FMN为直线FM与平面A'DE所成的角.
在Rt△FNM中,NF=a,MN=a,
则FM=a,cos∠FMN=,所以∠FMN=60°.
所以直线FM与平面A'DE所成的角为60°.
19.(1)如图D 8-10,连接AB1交A1B于O,连接OM.
在△B1AC中,因为M,O分别为AC,AB1的中点,
所以OM∥B1C.
又OM 平面A1BM,B1C 平面A1BM,
所以B1C∥平面A1BM.
(2)因为侧棱AA1⊥底面ABC,BM 平面ABC,
所以AA1⊥BM.
因为M为棱AC的中点,AB=BC,所以BM⊥AC.
又AA1∩AC=A,所以BM⊥平面ACC1A1,
所以BM⊥AC1.
因为M为棱AC的中点,AC=2,所以AM=1.
又AA1=,所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,tan∠AC1C=tan∠A1MA=,
所以∠AC1C=∠A1MA,所以∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,所以A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M=M,所以AC1⊥平面A1BM.
(3)存在点N,且当点N为BB1的中点,即=时,平面AC1N⊥平面AA1C1C.
设AC1的中点为D,连接DM,DN,如图D 9.
图D 9
因为D,M分别为AC1,AC的中点,
所以DM∥CC1,且DM=CC1.
又N为BB1的中点,所以BN∥CC1,且BN=CC1,
所以DM∥BN,且DM=BN,
所以四边形BMDN为平行四边形,
所以BM∥DN.
因为BM⊥平面AA1C1C,
所以DN⊥平面AA1C1C.
又DN 平面AC1N,所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.

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